考研数学历年真题(2008-2017)年数学一公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_真题集（仅是真题，可以直接打印的）

2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1cos x  ,x0 （1）若函数 f(x) ax 在x0处连续，则（ ）   b,x0 1 1 (A)ab (B)ab (C)ab0 (D)ab2 2 2 （2）设函数 f  x  可导，且 f  x  f x 0则（ ） (A) f  1  f 1  (B) f  1  f 1  (C) f  1   f 1  (D) f  1   f 1  （3）函数 f  x,y,z  x2yz2在点  1,2,0  处沿向量n  1,2,2  的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线v v  t  （单 1 位:m/s）虚线表示乙的速度曲线vv  t  ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时 2 刻记为t （单位:s）,则（ ） 0 (A)t 10 (B)15t 20 (C)t 25 (D)t 25 0 0 0 0 （5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） (A) ET不可逆 (B) ET不可逆 (C) E2T 不可逆 (D)E2T不可逆 2 0 0 2 1 0 1 0 0       （6）已知矩阵A 0 2 1 B 0 2 0 C  0 2 0 ，则（ ）        0 0 1   0 0 1   0 0 2  1(A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似     （7）设A,B为随机事件，若0 P(A)1,0 P(B)1,则P A B  P A B 的充分必要条件是（ ）         A.P B A  P B A BP B A  P B A         C. P B A P B A D. P B A P B A 1 n （8）设X ,X ......X (n 2) 来自总体 N(,1)的简单随机样本，记X  X 则下列结论中不正确的是：（ ） 1 2 n n i i1 (A) (X )2服从2分布 (B) 2(X  X )2服从2分布 i n 1 n (C) (X X)2 服从2分布 (D) n(X )2 服从2分布 i i1 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 1 f(x) 1x2 f (3)(0) （9） 已知函数 ,则 __________ （10）微分方程 y2y3y 0的通解为 y __________ （11）若曲线积分 xdxdydy 在区域D  x,y  x2  y2 1  内与路径无关，则a L x2  y2 1  （12）幂级数 1 n1 nxn1在区间（-1,1）内的和函数S(x) n1 1 0 1   （13）设矩阵A 1 1 2 ，,,为线性无关的3维列向量组，则向量组A,A,A的秩为   1 2 3 1 2 3  0 1 1   x4 （14）设随机变量X的分布函数为F  x 0.5 x 0.5  ，其中 x  为标准正态分布函数，则EX=  2  三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 设函数 f  u,v  具有2阶连续偏导数， y  f  ex,cosx  ,求 dy ， d2y dx dx2 x0 x0 2（16）（本题满分10分） n k  k  求lim ln1  nk n2  n k1 （17）（本题满分10分） 已知函数 y  x  由方程x3  y3 3x3y20确定，求 y  x  得极值 （18）（本题满分10分） f(x) f(x)在  0,1  上具有2阶导数， f(1)0,lim 0 设函数 x0 x 证（1） 方程 f (x)0在区间(0,1)至少存在一个根； （2） 方程 f(x)f(x)[f(x)]2 0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根. （19）（本题满分10分） 设薄片型物体S 是圆锥面 Z  x2  y2 被 柱 面 Z2 2x 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 弧 度 为 u(x,y,z)9 x2  y2 z2 。记圆锥与柱面的交线为C （1）求C在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M （20）（本题满分11分） 设三阶行列式A(,,)有3个不同的特征值，且  2 1 2 3 3 1 2 证明r(A)2 （1） （2）如果  求方程组Ax 的通解 1 2 3 3（21）（本题满分11分） 设二次型 f(x ,x ,x ) 2x2 x2 ax2 2x x 8x x 2x x 在正交变换x Qy下的标准型为y2 y2 求 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ， 1 1 2 2 a的值及一个正交矩阵Q. （22）（本题满分11分） 1 2y,0 y1 设随机变量X，Y互独立，且 的概率分布为P  X 0 P  X 2  ，Y概率密度为 f  y  2  0,其他 (1)求P  Y  EY  (2)求ZXY的概率密度 （23）（本题满分11分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结   果 x ,x ,,x 相互独立，且均服从正态分布 N ,2 ，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 1 2 n z  x ,  i 1,2,,n  ，利用z ,z ,,z 估计 i i 1 2 n z (I)求 1的概率密度 (II)利用一阶矩求的矩估计量 (III)求的最大似然估计量 42016 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将 所选项前的字母填在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.  1 （1）若反常积分 dx收敛，则（ ） 0 xa 1x b  A  a1且b1  B  a 1且b1  C  a1且ab1  D  a 1且ab1 2  x1  ,x1 （2）已知函数 f  x  ，则 f  x  的一个原函数是（ ） lnx,x1    x1 2 ,x1    x1 2 ,x1  A  F  x   B  F  x   x  lnx1  ,x1  x  lnx1 1,x1    x1 2 ,x1    x1 2 ,x1  C  F  x   D  F  x   x  lnx1 1,x1  x  lnx1 1,x1 （3）若 y   1x2 2  1x2,y   1x2 2  1x2 是微分方程y p  x  y q  x 的两个解，则q  x （ ）  A  3x  1x2   B 3x  1x2   C  x  D  x 1x2 1x2 x,x0  （4）已知函数 f  x 1 1 1 ，则（ ）  ,  x ,n1,2, n n1 n （A）x 0是 f  x 的第一类间断点 （B）x 0是 f  x 的第二类间断点 （C） f  x 在x 0处连续但不可导 （D） f  x 在x 0处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）AT 与BT 相似 （B）A1与B1相似 （C）A AT与BBT相似 （D）A A1与BB1相似 （6）设二次型 f  x ,x ,x x 2 x 2 x 2 4x x 4x x 4x x ，则 f  x ,x ,x 2在空间直角坐标下表示的 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲 （C）椭球面 （D）柱面 （7）设随机变量X ~ N  ,2  0  ，记 p P  X 2  ，则（ ） （A） p随着的增加而增加 （B） p随着的增加而增加 （C） p随着的增加而减少 （D） p随着的增加而减少 51 （8）随机试验E有三种两两不相容的结果A ,A ,A ，且三种结果发生的概率均为 ，将试验E独立重复做2次， 1 2 3 3 X 表示2次试验中结果A 发生的次数，Y表示2次试验中结果A 发生的次数，则X 与Y的相关系数为（ ） 1 2 1 1 1 1 （A） （B） （C） （D） 2 3 2 3 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.  x tln  1tsint  dt （9）lim 0  __________ x0 1cosx2 （10）向量场A  x,y,z    x y z  i xyj zk 的旋度rotA _________ （11）设函数 f  u,v  可微，z  z  x,y  由方程  x1  z y2  x2 f  xz,y  确定，则dz  _________ 0,1 x （12）设函数 f  x  arctanx ，且 f(0)1，则a ________ 1ax2  1 0 0 0  1 0 （13）行列式 ____________. 0 0  1 4 3 2 1   （14）设x ,x ,...,x 为来自总体N ,2 的简单随机样本，样本均值x 9.5，参数的置信度为0.95的双侧置 1 2 n 信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.    （15）（本题满分10分）已知平面区域D  r, 2r 2  1cos ,  ，计算二重积分xdxdy.  2 2 D （16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程 y2yky 0其中0k 1.  证明：反常积分 y(x)dx收敛； 0  若y(0)1,y(0)1，求 y(x)dx的值. 0 6f(x,y) （17）（本题满分10分）设函数 f(x,y)满足 (2x1)e2xy,且 f(0,y) y1,L 是从点(0,0)到点(1,t) x t f(x,y) f(x,y) 的光滑曲线，计算曲线积分I(t) dx dy，并求I(t)的最小值 L x y t （18）设有界区域由平面2x y2z 2与三个坐标平面围成，为 整个表面的外侧，计算曲面积分   I  x2 1dydz2ydzdx3zdxdy  1 （19）（本题满分10分）已知函数 f(x)可导，且 f(0)1，0 f '(x) ，设数列 x 满足x  f(x )(n1,2...)， 2 n n1 n 证明：  （I）级数(x x )绝对收敛； n1 n n1 （II）limx 存在，且0limx 2. n n n n  1 1 1  2 2      （20）（本题满分11分）设矩阵A 2 a 1 ,B  1 a          1 1 a   a1 2 当a为何值时，方程AX  B无解、有唯一解、有无穷多解？ 0 1 1   （21）（本题满分11分）已知矩阵A 2 3 0     0 0 0 （I）求A99 7（II）设3阶矩阵B (,,)满足B2  BA，记B100 (,,)将,,分别表示为,,的线性组 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 合。 （22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D   x,y  0 x1,x2  y x  上服从均匀分布，令 1,X Y U  0,X Y （I）写出(X,Y)的概率密度； （II）问U 与X 是否相互独立？并说明理由； （III）求Z U  X 的分布函数F(z). 3x2  ,0 x （23）设总体X 的概率密度为 f  x,  3 ，其中  0，  为未知参数，X ,X ,X 为来自总体X 1 2 3  0,其他   的简单随机样本，令T max X ,X ,X 。 1 2 3 （1）求T的概率密度 （2）确定a，使得aT 为的无偏估计 82015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题 （1）设函数 f(x)在（-,+）连续，其2阶导函数 f(x)的图形如下图所示，则曲线y  f(x)的拐点个数为（ ） （A）0 （B）1 (C) 2 (D) 3 1  1 （2）设y e2x x ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解， （ ） 2  3 则： (A)a 3,b1,c1. (B)a 3,b2,c1. (C)a 3,b2,c1. (D)a 3,b2,c1.   (3)若级数a 条件收敛，则x  3与x 3依次为幂级数na  x1 n的： n n n1 n1 (A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. （ ） (C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点. （4）设D是第一象限中曲线2xy 1,4xy 1与直线 y  x,y  3x围成的平面区域，函数 f(x,y)在D上连续，则  f(x,y)dxdy（ ） D  1  1 （A）3dsin2 f (rcos,rsin)rdr （B）3d sin2 f(rcos,rsin)rdr  1  1 4 2sin2 4 2sin2  1  1 (C)3dsin2 f (rcos,rsin)dr ( D) 3d sin2 f(rcos,rsin)dr  1  1 4 2sin2 4 2sin2 91 1 1   1      （5）设矩阵A 1 2 a ，b d ，若集合{1,2}，则线性方程组Ax b有无穷多个解的充分必要条件         1 4 a2  d2  为（ ） （A）a,d （B）a,d （C）a,d （D）a,d （6）设二次型 f(x ,x ,x )在正交变换xPy下的标准形为2y2  y2  y2，其中P(e ,e ,e )，若Q (e ,e ,e )， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 则 f(x ,x ,x )在正交变换xQy下的标准形为（ ） 1 2 3 （A）2y2  y2  y2 （B）2y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 （C）2y2  y2  y2 （D）2y2  y2  y2 1 2 3 1 2 3 （7）若A,B为任意两个随机事件，则（ ） （A）P(AB) P(A)P(B) （B）P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B) P(A)P(B) （C）P(AB) （D）P(AB) 2 2 (8)设随机变量X,Y不相关，且EX 2,EY 1,DX 3,则EX  X Y 2  （ ）   (A)3 (B)3 (C)5 (D)5 二、填空题 lncosx （9）lim  _________. x0 x2   sinx  （10）2  |x|dx _________.   1cosx  2 （11）若函数由方程ex xyz+xcosx  2确定，则dz  . (0,1) (x2y3z)dxdydz （12）设  是由平面x yz 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则   2 0  0 2 -1 2  0 2      0 0  2 2 （13）n 阶行列式 0 0  -1 2  10（14）设二维随机变量 服从正态分布 ，则 三、解答题 （15）设函数 ，g(x)kx3，若 f(x)与g(x)在x0是等价无穷小，求a，b， k值。 设函数 f (x)在定义域I 上的导数大于零，若对任意的x I ，曲线 y  f(x) (x , f(x )) （16） 0 在点 0 0 处的切线与 直线 x x 0及x轴所围成的区域的面积为4，且 f (0)2, 求 f (x) 的表达式。 （17）已知函数 f(x,y)  x y xy，曲线C:x2  y2  xy 3，求 f(x,y)在曲线C上的最大方向导数. （18）（本题满分10分） （Ⅰ）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明 （Ⅱ）设函数u (x),u (x)...u (x)可导， f (x)u (x)u (x)...u (x),写出 f (x)的求导公式. 1 2 n 1 2 n （19）（本题满分10分）   z  2x2  y2, 已 知 曲 线 L 的 方 程 为  起 点 为 A(0, 2,0) ， 终 点 为 B(0, 2,0) ， 计 算 曲 线 积 分 z  x, I   (yz)dx(z2x2 y)dy(x2 y2)dz L 11（20）（本题满分11分） 设向量组,,是3维向量空间3的一个基， 2 2k ， 2 ，  (k1) 。 1 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 （Ⅰ）证明向量组,, 是3的一个基； 1 2 3 （Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基,,与基,, 下的坐标相同，并求出所有的。 1 2 3 1 2 3 （21）（本题满分11分）  0 2 -3 1 -2 0     设矩阵A -1 3 3 相似于矩阵B  0 b 0 .          1 -2 a   0 3 1 （Ⅰ）求a,b的值. （Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得P 1AP为对角阵. （22）（本题满分11分） 设随机变量 X 的概率密度为 2-x ln2 x 0 f (x)=  0 x 0 对 X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数. （Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ）求EY . （23）（本题满分11分） 设总体 X 的概率密度为  1  x1 f(x;)=1   0 其他 其中为未知参数，X ，X .....X 为来自该总体的简单随机样本. 1 2 n （Ⅰ）求的矩估计. （Ⅱ）求的最大似然估计. 122014 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题1—8 小题．每小题4分，共32 分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A） y xsinx （B） y x2 sinx 1 1 （C） y  xsin （D） y x2 sin x x 2．设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，则在[0,1]上（ ） （A）当 f'(x)0时， f(x) g(x) （B）当 f'(x)0时， f(x) g(x) （C）当 f(x)0时， f(x) g(x) （D）当 f(x)0时， f(x) g(x) 1 1y 3．设 f(x)是连续函数，则 dy f(x,y)dy （ ） 0  1y2 1 x1 0 1x2 （A） dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy 0 0 1 0 1 1x1 0 0 （B） dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy 0 0 1  1x2  1 1 （C）2dcossin f(rcos,rsin)dr  dcossin f(rcos,rsin)dr  0 0 0 2  1 1 （D） 2dcossin f(rcos,rsin)rdr  dcossin f(rcos,rsin)rdr  0 0 0 2   4．若函数  (xa cosxb sinx)2dxmin  (xacosxbsinx)2dx ，则a cosxb sinx（ ）  1 1 a,bR  1 1 （A）2sinx （B）2cosx （C）2sinx （D）2cosx 0 a b 0 5．行列式 a 0 0 b 等于（ ） 0 c d 0 c 0 0 d （A）(ad bc)2 （B）(adbc)2（C）a2d2 b2c2 （D）a2d2 b2c2 6．设,, 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量 k ， l线性无关是向量, , 线性无关的 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件 7．设事件A与B想到独立，P(B)0.5,P(AB)0.3则P(B A)（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 8．设连续型随机变量X ,X 相互独立，且方差均存在，X ,X 的概率密度分别为 f (x), f (x)，随机变量Y 的概率 1 2 1 2 1 2 1 密度为 f (y) 1 (f (y) f (y)) ，随机变量 Y  1 (X  X ) ，则（ ） Y1 2 1 2 2 2 1 2 （A）EY  EY ,DY  DY （B）EY  EY ,DY  DY 1 2 1 2 1 2 1 2 （C）EY  EY ,DY  DY （D）EY  EY ,DY  DY 1 2 1 2 1 2 1 2 二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 139．曲面z  x2(1siny) y2(1sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 ． 10．设 f(x)为周期为4的可导奇函数，且 f'(x)2(x1),x  0,2 ，则 f(7) ． 11．微分方程xy'y(lnxlny)0满足 y(1) e3的解为 ． 12．设 L 是柱面 x2  y2 1和平面 yz0的交线，从 z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分  zdx ydz ． L 13．设二次型 f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x 的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ． 1 2 3 1 2 1 3 2 3  2x 14．设总体X的概率密度为 f(x,)  32 , x2 ，其中是未知参数，X 1 ,X 2 ,,X n 是来自总体的简单样本，   0, 其它 n 若CX2 是2的无偏估计，则常数C = ． i i1 三、解答题 15．（本题满分10分） 1 x  (t2(et 1)t)dt 求极限 lim 1 ． x x2ln(1 1 ) x 16．（本题满分10分） 设函数 y  f(x)由方程 y3  xy2  x2y6 0确定，求 f(x)的极值． 17．（本题满分10分） 2z 2z 设函数 f(u)具有二阶连续导数，z f(excosy)满足  (4zexcosy)e2x．若 f(0)0, f'(0)0，求 f(u) x2 y2 的表达式． 1418．（本题满分10分） 设为曲面z  x2  y2(z 1)的上侧，计算曲面积分：(x1)3dydz(y1)3dzdx(z1)dxdy  19．（本题满分10分）       设数列 a n , b n 满足0a n  2 ,0b n  2 ，cosa n a n cosb n 且级数b n 收敛． n1 （1）证明lima  0； n n  a （2）证明级数 n 收敛． b n1 n 20．（本题满分11分） 1 2 3 4   设 A0 1 1 1  ，E为三阶单位矩阵．   1 2 0 3  （1）求方程组AX  0的一个基础解系； （2）求满足AB  E的所有矩阵B． 21．（本题满分11分） 1 1  1 0  0 1     证明n阶矩阵1 1  1与0  0 2相似．                   1 1  1 0  0 n 22．（本题满分11分） 1 设随机变量X的分布为P(X 1) P(X  2) ，在给定X i的条件下，随机变量Y 服从均匀分布U(0,i),i 1,2． 2 15（1）求Y 的分布函数； （2）求期望E(Y). 23．（本题满分11分）  x2 设总体X的分布函数为 F(x,)   1e  ,x0，其中为未知的大于零的参数，X 1 ,X 2 ,,X n 是来自总体的简单   0, x0 随机样本， （1）求E(X),E(X2)；  （2）求的极大似然估计量． ^  （3）是否存在常数a，使得对任意的 0，都有 limP a 0 ？ n n   162013 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题（1~8题，每题4分） xarctanx 1.已知极限lim c，其中k，c为常数，且c0，则（ ） x0 xk 1 1 A. k 2,c  B. k 2,c 2 2 1 1 . k 3,c D. k 3,c  3 3 2.曲面x2 cos(xy) yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ） A. x yz 2 B. x yz 0 C. x2yz 3 D. x yz 0 1 1  9 3.设 f(x) x ，b 2 f (x)sinnxdx(n1,2,) ，令S(x)  b sinnx，则S( )（ ） 2 n 0 n1 n 4 3 1 1 3 A . B. C.  D.  4 4 4 4 4.设L :x2  y2 1，L :x2  y2 2，L :x2 2y2 2，L :2x2  y2 2为四条逆时针方向的平面曲线，记 1 2 3 4  y3   x3  I  y dx2x dy(i 1,2,3,4)，则max  I ,I ,I ,I  i i  6     3   1 2 3 4 A. I B. I C. I D I 1 2 3 4 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 1 a 1 2 0 0     6.矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为（ ）         1 a 1 0 0 0 A. a 0,b2 B. a 0,b 为任意常数 C. a 2,b0 D. a 2,b 为任意常数 7.设X ,X ,X 是随机变量，且X  N(0,1)，X  N(0,22)，X  N(5,32)，P  P 2 X 2  (i 1,2,3)， 1 2 3 1 2 3 i i 则（ ） A. P  P  P B. P  P  P 1 2 3 2 1 3 C. P  P  P DP  P  P 3 2 2 1 3 2 178.设随机变量X t(n),Y  F(1,n)，给定a(0a0.5)，常数c满足P  X c a，则P  Y c2  ( ) A. a B. 1a C. 2a D 12a 二、填空题（9-14小题，每小题4分） 1 9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则limn[f( )1]＝ 。 n0 n 10.已知y=e3x –xe2x，y=ex –xe2x，y= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 1 2 3 y= 。 xsint d2y 11.设 (t为参数)，则  。 y tsintcost dx2  t 4  lnx 12. dx 。 1 (1x)2 13.设A=(a )是3阶非零矩阵，A 为A的行列式，A 为a 的代数余子式.若a +A =0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ 。 ij ij ij ij ij 14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}= 三．解答题： （15）（本题满分10分） 1 f(x) x ln(t1) 计算 dx，其中f(x)＝ dt. 0 x 1 t (16)(本题10分) 设数列｛a｝满足条件：a 3,a＝1，a n(n1)a＝0(n2). n 0 1 n2 n  S（x）是幂级数a xn的和函数. n n0 （1）证明：S(x)S(x)0; （2）求S(x)的表达式. 18（17）（本题满分10分） x3 求函数 f(x,y)(y )exy的极值. 3 (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在1,1 上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在（0,1），使得f()1. （Ⅱ）存在（1,1），使得f() f（ ）1. 19.(本题满分10分) 设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面z 0,z 2所围成的立体为。 （1）求曲面的方程； （2）求的形心坐标。 20.（本题满分11分） 1 a 0 1 设A  ,B  ，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 1 0 1 b 1921.（本题满分11分） a  b  1 1     设二次型 f(x ,x ,x )2(a x a x a x )2 (bx b x b x )2，记 a ， b 。 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3  2  2     a  b  3 3 （1）证明二次型f对应的矩阵为2T T ； （2）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y2  y2。 1 2 22.（本题满分11分） 2, x1,  设随机变量X的概率密度为 令随机变量Y x, 1 x2,  1, x2 （1）求Y的分布函数； （2）求概率P  X Y . 23.(本题满分11分) 2    e x, x 0, 设总体X的概率密度为 f(x;)x3 其中为未知参数且大于零，X ,X ，,X 为来自总体X的简单 1 2 n   0, 其他 随机样本。 （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量。 202012 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. x2 x （1）曲线y  渐近线的条数为（ ） x2 1 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 f(x)(ex 1)(e2x 2)(enx n)，其中n为正整数，则 f'(0) （A）(1)n1(n1)! （B）(1)n(n1)! （C）(1)n1n! （D）(1)nn! （3）如果函数 f(x,y)在 0,0 处连续，那么下列命题正确的是（ ） f(x,y) （A）若极限lim 存在，则 f(x,y)在(0,0)处可微 x0 x  y y0 f(x,y) （B）若极限lim 存在，则 f(x,y)在(0,0)处可微 x0 x2  y2 y0 f(x,y) （C）若 f(x,y)在(0,0)处可微，则极限lim 存在 x0 x  y y0 f(x,y) （D）若 f(x,y)在(0,0)处可微，则极限lim 存在 x0 x2  y2 y0 （4）设I   k ex2 sinxdx(k=1,2,3),则有D k e （A）I< I