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2024 年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案
（题型同九省联考，共 19个题）
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若一组数据1,1,a,4,5,5,6,7的75百分位数是6，则a=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
x2 y2
2．已知椭圆E： + =1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（ ）
a2 b2
2 2 2 3 2 3
A． B． C． D．
3 3 3 3
3．设等差数列{a }的前n项和为S ，若a +a +a +a +a =20，则S =（ ）
n n 7 8 9 10 11 17
A．150 B．120 C．75 D．68
4．已知空间中，l、m、n是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若α//β，l⊂α，n⊂β，则l//n B．若l//α，l//β，则α//β
C．若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//β D．若l ⊥α，l//β，则α⊥β
5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有
（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，3)，动点P满足OP=xOA+yOB，且 x + y =1，则下列
说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
π π 2π
7．已知函数 f(x)=3sin4x+ +4sin4x− ，设∀x∈R,∃x ∈R, f(x)≤ f (x )，则tan4x − 等于
3 6 0 0 0 3
（ ）
1
学科网（北京）股份有限公司4 3 3 4
A．− B．− C． D．
3 4 4 3
x2 y2
8．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为e，直线y=kx(k ≠0)分别与C的左､右两支
a2 b2 1
交于点M，N.若MFN的面积为
3
，∠MFN =60°，则e2+3a2的最小值为（ ）
1 1
A．2 B．3 C．6 D．7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
2
9．已知函数 f (x)=sinx− ，则下列结论正确的有（ ）
sin2x
A． f (x)为奇函数 B． f (x)是以π为周期的函数
C． f (x)的图象关于直线x= π 对称 D．x∈ 0, π 时， f (x)的最大值为 2 −2
2 4 2
10．已知复数z ，z ，则下列命题成立的有（ ）
1 2
A．若 z +z = z −z ，则z z =0 B． zn = z n ,n∈Z
1 2 1 2 1 2 1 1
C．若z2+z2 =0，则 z = z D．z ⋅z =z ⋅z
1 2 1 2 1 2 1 2
11．已知函数 f (x)满足：①对任意x,y∈R， f (x+y)+ f (x)+ f (y)= f (x)⋅ f (y)+2；②若x≠ y，则
f (x)≠ f (y) .则（ ）
A． f (0)的值为2 B． f (x)+ f (−x)≥4
C．若 f (1)=3，则 f (3)=9 D．若 f (4)=10，则 f (−2)=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设集合M ={2,0,−1}，N = { x x−a <1 } ，若M ∩N 的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围
为 .
答案 (0,1)(1,3)
13．已知正四棱台ABCD−ABCD 的上、下底面边长分别为4、6，高为 2，则正四棱台
1 1 1 1
ABCD−ABCD 的体积为 ，外接球的半径为 .
1 1 1 1
2
学科网（北京）股份有限公司14．若α+β−sinγ=0，则 α+ β− cosγ的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）函数 f (x)=ex−2ax−a.
(1)讨论函数的极值；
(2)当a>0时，求函数 f (x)的零点个数.
16.（15分）已知n把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．
(1)当n=12时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期
望；
(2)若另有m把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅
1
子坐下，若两人选择相邻座位的概率为 ，求整数m,n(m>3,n>3)的所有可能取值．
14
17．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，EF//平面AB−CD，EAB为等边
三角形，BC =CE=2AB=2EF,∠ABC =60°．
(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值．
18．（17分）已知抛物线C：y2 =2px（0< p<5）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点(1,0)作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线l 与l ，l 与l 相交于点D，过点A作
1 2 1 2
3
学科网（北京）股份有限公司直线l 垂直于l ，过点B作直线l 垂直于l ，l 与l 相交于点E，l 、l 、l 、l 分别与x轴交于点P、Q、
3 1 4 2 3 4 1 2 3 4
R、S.记DPQ、DAB、ABE、△ERS的面积分别为S 、S 、S 、S .若SS =4S S ，求直线AB的
1 2 3 4 1 2 3 4
方程.
19．（17分）已知有穷数列A:a，a，，a (n≥3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1≤m≤n的
1 2 n
整数m，令集合A(m)={ k a =m，k =1，2，，n } .记集合A(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个
k
数为0）.
(1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)；
1 1 1
(2)若 + ++ =n，求证：a ,a ,,a 互不相同；
s(a) s(a ) s(a ) 1 2 n
1 2 n
(3)已知a =a,a =b，若对任意的正整数i，j(i≠ j，i+ j≤n)都有i+ j∈A(a)或i+ j∈A(a )，求a +a ++a
1 2 i j 1 2 n
的值.
2024 年高考仿真模拟数试题（一）带答案
（题型同九省联考，共 19个题）
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮
4
学科网（北京）股份有限公司擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若一组数据1,1,a,4,5,5,6,7的75百分位数是6，则a=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案C
解析 这组数据为：1,1,a,4,5,5,6,7，但a大小不定，因为8×0.75=6，
所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，
经检验，只有a=6符合．故选C．
x2 y2
2．已知椭圆E： + =1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为（ ）
a2 b2
2 2 2 3 2 3
A． B． C． D．
3 3 3 3
答案 B
b 1 c b2 1 2 2 2
解析 由题意，2a=6b，所以 = ，则离心率e= = 1− = 1− = .
a 3 a a2 3 3
故选B.
3．设等差数列{a }的前n项和为S ，若a +a +a +a +a =20，则S =（ ）
n n 7 8 9 10 11 17
A．150 B．120 C．75 D．68
答案D
解析 由等差数列的性质可知a +a +a +a +a =5a =20，
7 8 9 10 11 9
17(a +a )
所以a =4，S = 1 17 =17a =68，故选D.
9 17 2 9
4．已知空间中，l、m、n是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若α//β，l⊂α，n⊂β，则l//n B．若l//α，l//β，则α//β
C．若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//β D．若l ⊥α，l//β，则α⊥β
答案 D
解析 对A选项：若α//β，l⊂α，n⊂β，则l可能与n平行或异面，故A错误；
对B选项：若l//α，l//β，则α与β可能平行或相交，故B错误；
对C选项：若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，可能m//n，
5
学科网（北京）股份有限公司此时α与β可能平行或相交，故C错误；
对D选项：若l//β，则必存在直线p⊂β，使l//p，
又l ⊥α，则p⊥α，又p⊂β，则α⊥β，故D正确.故选D.
5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有
（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
答案 D
解析 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有4A5 =480种站排
5
方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可
选，剩下的人随便站，有3C1C1A4 =576种站排方式；
2 4 4
故总共有480+576=1056种站排方式.故选D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，3)，动点P满足OP=xOA+yOB，且 x + y =1，则下列
说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆 B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形 D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
答案 C
x=a
a=x
解析 设P点坐标为(a，b)，则由已知条件OP=xOA+yOB可得 ，整理得 b．
b=3y y=
3
又因为 x + y =1，所以P点坐标对应轨迹方程为3a + b =3．
6
学科网（北京）股份有限公司a0，且b0时，方程为3a+b=3；a0，且b<0时，方程为b=3a−3；
a<0，且b0时，方程为b=3a+3；a<0，且b<0时，方程为3a+b=−3．
P点对应的轨迹如图所示：
k =k =−3，且 AB = BC = CD = DA = 10，所以P点的轨迹为菱形．A错
AB CD
误C正确；
3 3 10
原点到AB：3a+b−3=0的距离为 = <1.B错误；
32+12 10
1
轨迹图形是平行四边形，面积为2× ×2×3=6，D错误．故选C．
2
π π 2π
7．已知函数 f(x)=3sin4x+ +4sin4x− ，设∀x∈R,∃x ∈R, f(x)≤ f (x )，则tan4x − 等于
3 6 0 0 0 3
（ ）
4 3 3 4
A．− B．− C． D．
3 4 4 3
答案 B
π π π π π
解析 f(x)=3sin4x+ +4sin4x− =3sin(4x+ )+4sin(− +4x+ )，
3 6 3 2 3
π π
∴f(x)=3sin(4x+ )+4cos(4x+ )，
3 3
π 4
∴f(x)=5sin(4x+ +ϕ)(tanϕ= )，∴f(x) =5，
3 3 max
∀x∈R,∃x ∈R, f(x)≤ f (x )，
0 0
π π
∴4x + +ϕ= +2kπ(k∈Z)，
0 3 2
2π π 1 3
∴tan4x − =tan(− +2kπ−ϕ)=− =− .故选：B.
0 3 2 tanϕ 4
x2 y2
8．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为e，直线y=kx(k ≠0)分别与C的左､右两支
a2 b2 1
交于点M，N.若MFN的面积为
3
，∠MFN =60°，则e2+3a2的最小值为（ ）
1 1
A．2 B．3 C．6 D．7
答案D
解析 连接NF ,MF ，有对称性可知：四边形MFNF 为平行四边形，故 NF = MF , NF = MF ，
2 2 1 2 2 1 1 2
∠FNF =120°，S =S = 3，
1 2 F1NF2 MF1N
7
学科网（北京）股份有限公司1
由面积公式得： NF ⋅ NF sin120°= 3，解得： NF ⋅ NF =4，
2 1 2 1 2
由双曲线定义可知： FN − F N =2a，
1 2
FN2+F N2−4c2 (FN−F N)2+2FN⋅F N−4c2
在三角形FNF 中，由余弦定理得：cos120°= 1 2 = 1 2 1 2
1 2 2FN⋅F N 2FN⋅F N
1 2 1 2
2FN⋅F N−4b2 1 4b2
= 1 2 =− ，解得： FN ⋅ F N = ，
2FN⋅F N 2 1 2 3
1 2
4b2
所以 =4，解得：b2 =3，故
3
3 3
e2+3a2 =1+ +3a2 ≥1+2 ⋅3a2 =7，
a2 a2
3
当且仅当 =3a2，即a2 =1时，等号成立.
a2
故选D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
2
9．已知函数 f (x)=sinx− ，则下列结论正确的有（ ）
sin2x
A． f (x)为奇函数 B． f (x)是以π为周期的函数
C． f (x)的图象关于直线x= π 对称 D．x∈ 0, π 时， f (x)的最大值为 2 −2
2 4 2
答案AD
2 kπ
解析 对于A， f (x)=sinx− 的定义域为x≠ ,(k∈Z)（关于原点对称），且
sin2x 2
2 2
f (−x)=sin(−x)− =−sinx− = f (x) ，
sin(−2x) sin2x
2 2
对于B， f (x+π)=sin(x+π)− =−sinx− ≠ f (x) ，故B错误；
sin 2(x+π)
sin2x
π π 2 2
f +x=sin +x− =cosx+
对于C， 2 2 π sin2x，
sin2 +x
2
π π 2 2
f −x=sin −x− =cosx−
2 2 π sin2x，
sin2 −x
2
但 f π +x ≠ f π −x ，即 f (x)的图象不关于直线x= π 对称，故C错误；
2 2 2
8
学科网（北京）股份有限公司 π 2
对于D，x∈0,
时，y=sinx,y=sin2x均单调递增，所以此时y=− 也单调递增，
4 sin2x
所以x∈ 0, π 时， f (x)单调递增，其最大值为 f π = 2 −2.故选AD.
4 4 2
10．已知复数z ，z ，则下列命题成立的有（ ）
1 2
A．若 z +z = z −z ，则z z =0 B． zn = z n ,n∈Z
1 2 1 2 1 2 1 1
C．若z2+z2 =0，则 z = z D．z ⋅z =z ⋅z
1 2 1 2 1 2 1 2
答案BCD
解析 对于A，当z =1+i,z =1−i时， z +z =2= z −z ，而z z =2≠0，A错误；
1 2 1 2 1 2 1 2
对于B，令z =r(cosθ+isinθ),r≥0,θ∈R，则zn =rn(cosnθ+isinnθ)，
1 1
于是|zn|=rn|cosnθ+isinnθ|=rn，而|z |=r，即有|z |n=rn，因此 zn = z n成立，B正确；
1 1 1 1 1
设复数z =a+bi(a,b∈R)，z =c+di(c,d∈R)，
1 2
对于C，由z2+z2 =0，得(a2−b2+c2−d2)+(2ab+2cd)i=0，
1 2
a2−b2+c2−d2 =0
则 ， z 2− z 2 =( a2+b2)2−( c2+d2)2 =0，因此 z = z ，C正确；
2ab+2cd =0 1 2 1 2
对于D，z ⋅z =(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，则z ⋅z =(ac−bd)−(ad+bc)i，
1 2 1 2
z ⋅z =(a−bi)(c−di)=(ac−bd)−(ad+bc)i，因此z ⋅z =z ⋅z ，D正确.故选BCD
1 2 1 2 1 2
11．已知函数 f (x)满足：①对任意x,y∈R， f (x+y)+ f (x)+ f (y)= f (x)⋅ f (y)+2；②若x≠ y，则
f (x)≠ f (y) .则（ ）
A． f (0)的值为2 B． f (x)+ f (−x)≥4
C．若 f (1)=3，则 f (3)=9 D．若 f (4)=10，则 f (−2)=4
答案 ABC
解析 对于A，令x= y=0，得3f (0)= f (0) 2 +2，解得 f (0)=1或 f (0)=2，
若 f (0)=1，令y=0，得2f (x)+1= f (x)+2，即 f (x)≡1，
9
学科网（北京）股份有限公司但这与②若x≠ y，则 f (x)≠ f (y)矛盾，
所以只能 f (0)=2，故A正确；
f (x)+ f (−x) 2
对于B，令y=−x，结合 f (0)=2得， f (x)+ f (−x)= f (x)⋅ f (−x)≤ ，
2
解得 f (x)+ f (−x)≥4或 f (x)+ f (−x)≤0，
又 f (0)=2，所以2f (0)=4>0，
所以只能 f (x)+ f (−x)≥4，故B正确；
对于C，若 f (1)=3，令y=1得， f (x+1)+ f (x)+3=3f (x)+2，
所以 f (x+1)=2f (x)−1，所以 f (2)=2f (1)−1=6−1=5，
所以 f (3)=2f (2)−1=10−1=9，故C正确；
对于D，取 f (x)= ( 3 )x +1，
则 f (x)⋅ f (y)+2= ( 3 )x +1 ( 3 )y +1 +2= ( 3 )x+y + ( 3 )x + ( 3 )y +3
= f (x+y)+ f (x)+ f (y)且 f (x)= ( 3 )x +1单调递增，
4
满足 f (4)=10，但 f (−2)= ，故D错误.故选ABC.
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设集合M ={2,0,−1}，N = { x x−a <1 } ，若M ∩N 的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围
为 .
答案 (0,1)(1,3)
{ }
解析 N = x x−a <1 ，则−11，−1+a>−1，
−1+a<0
若M N ={0}，则1+a≤2 ，解得00
10
学科网（北京）股份有限公司0≤−1+a<2
若M N ={2}，则1+a>2 ，解得10
综上所述，a的取值范围为(0,1)(1,3) .故答案为(0,1)(1,3)
.
13．已知正四棱台ABCD−ABCD 的上、下底面边长分别为4、6，高为 2，则正四棱台
1 1 1 1
ABCD−ABCD 的体积为 ，外接球的半径为 .
1 1 1 1
76 2
答案 26
3
解析 根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：S =42 =16,S =62 =36，
1 2
所以正四棱台ABCD−ABCD 的体积为V = 1( S + SS +S ) × 2 = 76 2 ；
1 1 1 1 3 1 1 2 2 3
连接AC，BD交于点O ，连接AC ，BD交于点O ，如图所示：
2 1 1 1 1 1
当外接球的球心O在线段OO 延长线上，
1 2
( )2
设OO =h，外接球半径为R，则OO2 = h− 2 ，
1 2
因为OO = 2，上、下底面边长分别为4、6，
1 2
1 1
则DO = BD =2 2，DO = BD=3 2，
1 1 2 1 1 2 2
( )2
所以R2 =DO2+h2 =DO2+ h− 2 ⇒h=3 2,R= 26
1 1 2
当外接球的球心O在线段OO 延长线上，显然不合题意；
2 1
( )2
当球心O在线段OO 之间时，则OO2 = 2−h ，同上可得，h=3 2，不符舍去．
1 2 2
76 2
故答案为 ； 26.
3
14．若α+β−sinγ=0，则 α+ β− cosγ的最大值为 ．
答案 2
11
学科网（北京）股份有限公司解析 由题意得：0≤α+β=sinγ≤1，α≥0，β≥0，
则 ( α+ β )2 =α+β+2 αβ≤α+β+α+β=2(α+β)，
当且仅当α=β时等号成立，
即 α+ β≤ 2(α+β) = 2sinγ，
即 α+ β− cosγ≤ 2sinγ− cosγ，
0≤sinγ≤1 π
则有 ，则2kπ≤γ≤ +2kπ，k∈Z,
0≤cosγ≤1 2
π π
有sinγ在
2kπ， +2kπ
单调递增，cosγ在
2kπ， +2kπ
上单调递减，
2 2
π
故 2sinγ− cosγ在
2kπ， +2kπ
上单调递增，
2
π
则当γ= +2kπ时，即sinγ=1、cosγ=0时，
2
2sinγ− cosγ有最大值 2，
即 α+ β− cosγ的最大值为 2.故答案为： 2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）函数 f (x)=ex−2ax−a.
(1)讨论函数的极值；
(2)当a>0时，求函数 f (x)的零点个数.
解析 （1）由题意得： f′(x)=ex−2a； ………………1分
当2a≤0，即a≤0时， fx0恒成立， f x在R上单调递增，无极值；………………2分
当2a>0，即a>0时，令 f′(x)=0，解得：x=ln2a，………………3分
∴当x∈(−∞,ln2a)时， f′(x)<0；当x∈(ln2a,+∞)时， fx0；
f x在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增，………………5分
f x的极小值为 f (ln2a)=a−2aln2a，无极大值；………………6分
综上所述：当a≤0时， f (x)无极值；当a>0时， f (x)极小值为a−2aln2a，无极大
值. ………………7分
12
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知：当a>0时， f (x)在(−∞,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增；
当00，∴f (x)>0恒成立， f (x)无零点；……………9分
2
当a= e 时， f (ln2a)=a−2aln2a=0， f (x)有唯一零点x=ln2a；………………10分
2
当a> e 时， f (ln2a)=a−2aln2a<0，又 f(0)=1−a>0，当x趋近于正无穷大时， f (x)也趋近于正无穷
2
大，
f x在(0,ln2a)和(ln2a,+∞)上各存在一个零点，即 f (x)有两个零点；………………12分
综上所述：当0 e 时， f (x)有两个不同的零点. ………………13分
2
16.（15分）已知n把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．
(1)当n=12时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期
望；
(2)若另有m把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅
1
子坐下，若两人选择相邻座位的概率为 ，求整数m,n(m>3,n>3)的所有可能取值．
14
解析 （1）由题意，得随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，……………1分
12×2 2
其中P(X =i)= = (i=0,1,2,3,4) ，……………3分
A2 11
12
12×1 1
P(X =5)= = ，……………4分
A2 11
12
所以随机变量X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
2 2 2 2 2 1
P
11 11 11 11 11 11
2 2 2 2 2 1 25
故E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = ．……………6分
11 11 11 11 11 11 11
（2）记“两人选择n把相同的椅子围成的圆环”为事件A，
“两人选择m把相同的椅子围成的圆环”为事件B，
“两人选择相邻座位”为事件C．
13
学科网（北京）股份有限公司因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，
1 1 1 1
所以P(A)= × = ,P(B)= ，……………8分
2 2 4 4
P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P ( C A )+P(B)P ( C B )
1 n×2 1 m×2 1 1 1
= × + × = + ．……………10分
4 n(n−1) 4 m(m−1) 2n−1 m−1
1 1 1 1
因为P(C)= ，所以 + = ．
14 n−1 m−1 7
49
化简，得n=8+ ．
m−8
49 49
因为m>3,n>3,n∈N*，所以 ∈Z，且 >−5．
m−8 m−8
所以m−8=1,7,49，即m=9,15,57，……………12分
m=9, m=15, m=57,
此时 或 或
n=57 n=15 n=9.
m=9, m=15, m=57,
所以m,n的所有可能取值为 或 或 ……………15分
n=57 n=15 n=9.
17．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，EF//平面AB−CD，EAB为等边
三角形，BC =CE=2AB=2EF,∠ABC =60°．
(1)求证：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求平面ECD与平面FCD夹角的余弦值．
解析 （1）不妨设AB=1，则BC =CE=2，
在平行四边形ABCD中，BC=2，AB=1，∠ABC =60°，连接AC，
由余弦定理得AC2 =12+22−2×1×1×cos60°=3，即AC = 3，……………2分
AC2+AB2 =BC2，∴AC ⊥ AB. ……………4分
又 AC2+AE2 =CE2，∴AC ⊥ AE，ABAE= A，
AC⊥平面EAB，又 AC⊂平面ABCD.
14
学科网（北京）股份有限公司∴平面EAB ⊥平面ABCD. ……………6分
（2）
取AB中点G，连接EG，EA=EB，∴EG⊥ AB，
3
由（1）易知EG⊥平面ABCD，且EG= .
2
如图，以A为原点，分别以射线AB,AC所在直线为x,y轴，竖直向上为z轴，建立空间直角坐标系
A−xyz，……………8分
1 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )
则E ,0, ，F0, , ，C 0, 3,0 ，D −1, 3,0 ，B −2,2 3,0 ，C −1,2 3, 3 ，
2 2 2 2 1 1
3 3 1 3
CD=(−1,0,0)，FC =0, ,− ，EC =− , 3,− ，……………10分
2 2 2 2
n⋅CD=0
设平面FCD的法向量为n=(x,y,z)，则 ，
n⋅FC =0
−x=0
得
3 3
，令y=1，得n=(0,1,1)， ……………12分
y− z=0
2 2
m⋅CD=0
设平面ECD的法向量为m=(x,y ,z )，则 ，
1 1 1
m⋅EC =0
−x =0
1
得
− 1 x + 3y − 3 z =0
，令y
1
=1，得m=(0,1,2)，……………14分
2 1 1 2 1
m⋅n 3 3 10
cosm,n= = = ，
m⋅ n 2× 5 10
3 10
所以平面ECD与平面FCD夹角的余弦值 .……………17分
10
18．（17分）已知抛物线C：y2 =2px（0< p<5）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点(1,0)作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线l 与l ，l 与l 相交于点D，过点A作
1 2 1 2
15
学科网（北京）股份有限公司直线l 垂直于l ，过点B作直线l 垂直于l ，l 与l 相交于点E，l 、l 、l 、l 分别与x轴交于点P、Q、
3 1 4 2 3 4 1 2 3 4
R、S.记DPQ、DAB、ABE、△ERS的面积分别为S 、S 、S 、S .若SS =4S S ，求直线AB的
1 2 3 4 1 2 3 4
方程.
9=2pt
9 p
解析（1）设M(t,3)，由题意可得 p ，即 + =5，
t+ =5 2p 2
2
解得p=1或p=9（舍去），所以抛物线C的方程为y2 =2x. ……………4分
（2）如图，
设经过A(x,y )，B(x ,y )两点的直线方程为l ：x=my+1（m∈R），……………5分
1 1 2 2 AB
与抛物线方程y2 =2x联立可得y2 =2my+2，
即y2 −2my−2=0，∆=4m2+8>0，∴y +y =2m，y y =−2.……………6分
1 2 1 2
1 1
∵y2 =2x，则y=± 2x，∴y' =± = ，
2x y
1 1 y
∴过点A作C的切线l 方程为y= (x−x )+y = x+ 1，
1 y 1 1 y 2
1 1
y2 y2
令y=0，得x=− 1 ，即P− 1 ,0.……………7分
2 2
1 y
同理，过点B作C的切线l 方程为y= x+ 2 ，
2 y 2
2
y 2 y 2
令y=0，得x=− 2 ，即Q− 2 ,0. ……………8分
2 2
y2 y2
∴ PQ = 2 − 1 .
2 2
联立两直线方程 y= y 1 1 x+ y 2 1 ，解得 x= y 1 2 y 2 =−1 ，即D(−1,m)，……………9分
y= 1 x+ y 2 y= y 1 +y 2 =m
y 2 2
2
16
学科网（北京）股份有限公司−1−m⋅m−1 m2+2
则D到直线l 的距离d = = .……………10分
AB D−AB m2+1 m2+1
又∵过点A作直线l 垂直于l ，
3 1
y 3
直线l 的方程为y=−y x+x y +y =−y x+ 1 +y ，
3 1 1 1 1 1 2 1
y 2 y2
令y=0，得x= 1 +1，即R 1 +1,0.
2 2
y 3
同理，直线l 的方程为y=−y x+ 2 +y ，
4 2 2 2
y 2 y 2 y 2 y 2
令y=0，得x= 2 +1，即S 2 +1,0.∴ RS = 2 − 1 .
2 2 2 2
y 3 y 2+y 2+y y
y=−y x+ 1 +y x= 1 2 1 2 +1
1 2 1 2
联立两直线方程 ，解得 ，
y 3 y y (y +y )
y=−y x+ 2 +y y=− 1 2 1 2
2 2 2 2
整理后可得
x=2m2+2
，即E ( 2m2+2,2m ) ， ……………12分
y=2m
2m2+2−m⋅2m−1
1
则E到直线l 的距离d = = .……………14分
AB E−AB
m2+1 m2+1
1 1 y 2 y 2
由上可得S = PQ ⋅ y = 2 − 1 m ，
1 2 D 2 2 2
1 m2+2
S = AB ⋅ d = AB ，
2 2 d−AB 2 m2+1
1 1
S = AB ⋅ d = AB ，
3 2 E−AB 2 m2+1
1 1 y2 y2
S = RS ⋅ y = 2 − 1 2m ，
4 2 E 2 2 2
1 y 2 y 2 m2+2
2 − 1 m⋅ AB
SS 2 2 2 2 m2+1 m2+2
∴ 1 2 = = =4，得m=± 6，……………16分
S S 1 1 y2 y2 2
3 4 AB ⋅ 2 − 1 2m
2 m2+1 2 2 2
∴直线AB的方程为x=± 6y+1即x± 6y−1=0. ……………17分
19．（17分）已知有穷数列A:a，a，，a (n≥3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1≤m≤n的
1 2 n
17
学科网（北京）股份有限公司整数m，令集合A(m)={ k a =m，k =1，2，，n } .记集合A(m)中元素的个数为s(m)（约定空集的元素个
k
数为0）.
(1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)；
1 1 1
(2)若 + ++ =n，求证：a ,a ,,a 互不相同；
s(a) s(a ) s(a ) 1 2 n
1 2 n
(3)已知a =a,a =b，若对任意的正整数i，j(i≠ j，i+ j≤n)都有i+ j∈A(a)或i+ j∈A(a )，求a +a ++a
1 2 i j 1 2 n
的值.
解析 （1）因为a =a =a =5，所以A(5)={4,7,8}，则s(5)=3；……………2分
4 7 8
（2）依题意s(a)≥1,i=1，2，，n，
i
1 1 1 1
则有 ≤1，因此 + ++ ≤n，
s(a) s(a) s(a ) s(a )
i 1 2 n
1 1 1
又因为 + ++ =n，
s(a) s(a ) s(a )
1 2 n
所以s(a)=1，所以a ,a ,,a 互不相同. ……………6分
i 1 2 n
（3）依题意a =a,a =b.
1 2
由i+ j∈A(a)或i+ j∈A(a )，知a =a 或a =a .
i j i+j i i+j j
令 j=1，可得a =a 或a =a ，对于i=2,3,...n−1成立，
i+1 i i+1 1
故a =a 或a =a . ……………7分
3 2 3 1
① 当a=b时，a =a ==a =a，
3 4 n
所以a +a ++a =na.……………8分
1 2 n
②当ab时，a =a或a =b.
3 3
当a =a时，由a =a 或a =a ，有a =a，
3 4 3 4 1 4
同理a =a ==a =a，所以a +a ++a =(n−1)a+b.……………10分
5 6 n 1 2 n
当a =b时，此时有a =a =b，
3 2 3
令i=1，j=3，可得4∈A(a)或4∈A(b)，即a =a或a =b.
4 4
令i=1，j=4，可得5∈A(a)或5∈A(b). 令i=2，j=3，可得5∈A(b). 所以a =b.
5
若a =a，则令i=1，j=4，可得a =a，与a =b矛盾.所以有a =b.……………12分
4 5 5 4
18
学科网（北京）股份有限公司不妨设a =a ==a =b(k≥5)，
2 3 k
令i=t，j=k+1−t(t=2,3,,k−1)，可得k+1∈A(b)，因此a =b. ……………14分
k+1
令i=1, j=k，则a =a或a =b.故a =b.
k+1 k+1 k+1
所以a +a ++a =(n−1)b+a.……………16分
1 2 n
综上，a=b时，a +a ++a =na.
1 2 n
a =a≠b时，a +a ++a =(n−1)a+b.
3 1 2 n
a =b≠a时，a +a ++a =(n−1)b+a. ……………17分
3 1 2 n
19
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