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届高三起点考试数学
２０２６
参考答案、提示及评分细则
．答案
１【 】D
解析 由题意可知A 于是A B 故选 ．
【 】 ＝{１,２,３}, ∩ ＝{１,２,３}, D
．答案
２【 】C
解析 显然z 故z ２ ２ 故选 ．
【 】 ＝(１－i)(１＋２i)＝１＋２－i＋２i＝３＋i, ||＝ ３＋１ ＝ １０, C
．答案
３【 】B
解析 易知S a a a a a a 故a S a 故选 ．
【 】 ５＝ １＋ ５＋ ２＋ ４＋ ３＝５ ３, ３＋ ５＝６ ３＝６(１＋２×２)＝３０, B
．答案
４【 】B
b b b
解析 显然双曲线的渐近线方程为y x 故其斜率可能为 或 而直线x y 的斜率为
【 】 ＝±a , a －a, ＋２ ＋１＝０
b
１ 故只能有 １ 可得b a．记双曲线的半焦距为c 离心率为e 故c a２ b２ ae
－ , － ×a＝－１, ＝２ , , ＝ ＋ ＝ ５ ,＝
２ ２
c
故选 ．
a＝ ５, B
．答案
５【 】D
解析 通过f′x 的图象无法得知fx 的零点 故 错误 而当x 时f′x 且 为fx 在
【 】 () () , A , ∈(－３,１) , ()≥０, －１ ()
上的唯一零点 故fx 在 上单调递增 故 错误 正确 故选 ．
(－３,１) , () (－３,１) , B,C ,D , D
．答案
６【 】B
( )
解析 显然抛一次硬币正面朝上与反面朝上的概率均为１ 故p １ １ ２ １ ３ 而读题可得反面朝上
【 】 , ＝C３ × ＝ ,
２ ２ ２ ８
的情况有 共 种可能 于是f ８ ２ 故p f １ 故选 ．
０１１,１１０,１０１,１０１,０１１,０１１,１０１,０１１, ８ , ＝ ＝ , | － |＝ , B
２０ ５ ４０
．答案
７【 】C
β α
解析 显然３sin α sin 故 α β α β 而 α β α β α β α β １
【 】 β＝tan ＝ α, sincos＝３cossin , sin(＋ )＝sincos＋cossin ＝４cossin ＝ ,
cos cos ３
故 α β １ 于是 α β α β α β α β １ 故选 ．
cossin ＝ , sin(－ )＝sincos－cossin ＝２cossin ＝ , C
１２ ６
．答案
８【 】A
解析 首先A同学可以去乙 丙两地 共 种可能 若A去乙地 则B可去甲 丙两地 共 种可能．不妨设B
【 】 , , ２ , , , , ２
去甲地 剩余 人全部分到甲 乙两地共有 种可能 分到甲 乙 丙三地共有 种可能 故丙地有
４ ４
, ４ , ２＝１６ , , , ３＝８１ ,
人的可能情况共 种 故总可能数为 种 故选 ．
８１－１６＝６５ , ２×２×６５＝２６０ , A
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ６ )】．答案
９【 】ABC
解析 对于 选项 取非直角边的腰所在直线作为旋转轴 旋转一周可得到非规则旋转体 错误 对于 选
【 】 A , , ,A , B
项 将两个底面为相同正方形的平行六面体进行拼接 符合选项要求 但不是棱柱 错误 对于 选项 若顶
, , , ,B , C ,
点在底面的射影不是正多边形的中心 则该棱锥不是正棱锥 错误 对于 选项 棱台可视为由一个大棱锥
, ,C , D ,
截去一个小棱锥所得 故棱台的各侧棱均交于棱锥的顶点 正确 故选 ．
, ,D , ABC
．答案
１０【 】AD
解析 对于 选项 显然y x２ 是偶函数 且在 上单调递增 正确 对于 选项 显然y
【 】 A , ＝ , (０,＋∞) ,A , B , ＝
( )
x２ x 是偶函数 当x 时y x２ xy′ x x x 当x １ 时y′ 其单调递减 错误 对
ln|| , ＞０ ,＝ ln , ＝２ln ＋ , ∈ ０, ２ , ＜０, ,B ,
e
于 选项 注意到x π时y πx 时y 显然其不单调递增 错误 对于 选项 易知该函数为
C , ＝ ,＝ ,＝π ,＝０, ,C ; D ,
２ ２
偶函数 当x 时y x２ xy′ x２ x x 故其在 上单调递增 正确．故选 ．
, ＞０ ,＝ e, ＝( ＋２ )e＞０, (０,＋∞) ,D AD
．答案
１１【 】ABD
解析 对于 选项 由PA PAC PAC 且PAC 可知PAC PA １ 正确 对于
【 】 A , ( )＝ ( )＋ ( ), ( )＝０ ( )＝ ( )＝ ,A , B
３
选项 由容斥原理得P AB P A P B P A B １ １ ５ １ 而P A P B １
, ( )＝ ( )＋ ( )－ ( ∪ )＝ ＋ － ＝ , ( ) ( )＝ ＝
３ ３ ９ ９ ９
PAB 故AB相互独立 正确．对于 选项 显然由PAC 可知P ABC 错误 对于 选
( ), , ,B C , ( )＝０ ( )＝０,C , D
项 P A C B PAB PCB PA PC ２ 正确 故选 ．
, [( ∪ )| ]＝ (| )＋ (| )＝ ( )＋ ( )＝ ,D , ABD
３
．答案 １
１２【 】
２
解析 由条件可知 a b２ a２ a b b２ a b 于是a b １ 故答案为１．
【 】 ９＝| ＋ |＝ ＋２ ＋ ＝８＋２ , ＝ ,
２ ２
．答案
１３【 】８４
解析 显然 x７ 中含x２ 的项为 ２ ５ x２ 故答案为 ．
【 】 (１＋２ ) C７×１×(２ )＝８４, ８４
．答案
１４【 】８１８６
解析 显然由X N ２ 可知 μ σ 则 μ σμ σ
【 】 ~ (４００,４) ＝４００,＝４, (３９６,４０８]＝(－ ,＋２ ],
记Pkσ Pμ kσ X μ kσ 则Pμ σ X μ σ
( )＝ (－ ≤ ≤ ＋ ), (－ ＜ ≤ ＋２ )
P σ １ P σ Pσ １ P σ Pσ １ ． ．
＝ (２ )－ [ (２ )－ ()]＝ [ (２ )＋ ()]≈ (０６８２７＋０９５４５)
２ ２ ２
． 故袋数为 ． 袋 故填 ．
＝０８１８６, １００００×０８１８６＝８１８６( ), ８１８６
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ２ ( ６ )】．解 所选 人中女生人数X 的概率
１５ :(１)“ ３ ≤１”
３ ２ １
P PX PX C４ C４C２ １ ３ ４ 分
＝ ( ＝０)＋ ( ＝１)＝ ３＋ ３ ＝ ＋ ＝ ５
C６ C６ ５ ５ ５
因为从 名男生和 名女生中任选 人参加演讲比赛 随机变量X表示所选 人中女生的人数 所以X
(２) ４ ２ ３ , ３ ,
的可能取值为 分
０,１,２ ６
３
PX C４ １
( ＝０)＝ ３＝ ,
C６ ５
２ １
PX C４C２ ３
( ＝１)＝ ３ ＝ ,
C６ ５
１ ２
PX C４C２ １ 分
( ＝２)＝ ３ ＝ ９
C６ ５
X
０ １ ２
所以X的分布列为 分
１０
P １ ３ １
５ ５ ５
所以EX １ ３ １ 分
( )＝０× ＋１× ＋２× ＝１ １１
５ ５ ５
DX ２ １ ２ ３ ２ １ ２ 分
( )＝(０－１)× ＋(１－１)× ＋(２－１)× ＝ １３
５ ５ ５ ５
( )
．解 因为 A A 所以 A π １ 分
１６ :(１) ３sin －cos －１＝０, sin － ＝ ３
６ ２
( )
又因为A A π π ５π 分
∈(０,π), － ∈ － , ４
６ ６ ６
所以A π π 故A π 分
－ ＝ , ＝ ６
６ ６ ３
由余弦定理b２ c２ bc A a２ 所以b２ c２ bc ． 分
(２) , ＋ －２ cos ＝ , ＋ － ＝３６ ９
又因为b２ c２ bc 所以 b２ c２ bc bc 即bc
＋ ≥２ , ３６＝ ＋ － ≥ , ≤３６
当且仅当b c 时取等号． 分
＝ ＝６ １２
所以 ABC面积S １bc A ３bc
△ ＝ sin ＝ ≤９３
２ ４
所以 ABC面积的最大值为 ． 分
△ ９３ １５
．解 由题意 设点Px y A B
１７ :(１) , (０,０), (－２,０), (２,０),
y y y２
则k k ０ ０ ０ 分
１ ２＝x x ＝x２ ３
０＋２ ０－２ ０－４
x２ x２
又由点Px y 在椭圆上 可得 ０ y２ 即y２ ４－ ０ 分
(０,０) , ＋ ０＝１, ０＝ ５
４ ４
y２
所以k k ０ １ 即直线PA与直线PB的斜率之积为定值 １ 分
１ ２＝x２ ＝－ , － ７
０－４ ４ ４
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ３ ( ６ )】说明 直接由二级结论得结果 给 分
( : , ２ )
ì ïk ì ï
ï １＝１ ïk １
因为k k ３k k １ 解得 í 或í １＝－ ４ 分
(２) １＋ ２＝ ,１ ２＝－ , :ï ï ９
４ ４ ïk １ ï
î ２＝－ îk
４ ２＝１
ì ï y ì ï
０ x ６
ï ïx ＝１ ï ï ０＝－
当k k １时 则í
０＋２
解得í
５
分
１＝１,２＝－ , ï , ï １２
４ y
ïï ０ １ ïïy ４
îx ＝－ î ０＝
０－２ ４ ５
ì
ï
x ６
ï ï ０＝
５
同理当k k １时 解得í 分
１＝１,２＝－ , ï １３
４
ïïy ４
î ０＝－
５
所以 PAB的面积S １ AB y １ ４ ８ 分
△ ＝ | || ０|＝ ×４× ＝ １５
２ ２ ５ ５
．解 如图 连接MC 直线MC即为直线MN 分
１８ :(１) , , ２
证明 取PA的中点E 连结ME 则ME AD ME １AD
: , , ∥ , ＝ ,
２
BC ADBC １AD 所以BC MEBC ME
∥ , ＝ , ∥ , ＝ ,
２
所以四边形BCME为平行四边形 所以BE MC
, ∥ ,
又因为BE 平面PAB MC 平面PAB所以MC 平面PAB 分
⊂ , ⊄ ∥ ５
因为AB AD 且AB AD 所以BD
(２) ⊥ , ＝ ＝２２, ＝４,
又 PBD为正三角形 所以PB PD BD
△ , ＝ ＝ ＝４,
因为AB PA 所以PA２ AB２ PB２ 所以AB PB 分
＝２２, ＝２６, ＝ ＋ , ⊥ ７
因为AB ADBC AD 所以AB BC
⊥ , ∥ , ⊥ ,
又因为PB BC BPBBC 平面PBC
∩ ＝ , , ⊂ ,
所以直线AB 平面PBC 分
⊥ ９
又因为AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PBC． 分
⊂ , ⊥ １０
延长BC至E 使得CE BC 进而BE AD 连结DE
(３) , ＝ ＝ ２, ＝ , ,
又BC ADAB AD 可知 四边形ABED为正方形 连结AE交BD于O 过点O
∥ , ⊥ , , , ,
作Oz 平面ABED 以O为坐标原点 分别以OEODOz所在直线为x轴y轴z
⊥ , , , , , ,
轴建立空间直角坐标系 因为ABDP四点在以 为半径的球面上 由球的性质可
, , , , ６ ,
知球心M 在z轴上 设点M 的坐标为 t
, (０,０,),
所以 ２ t２ OA ２ t２ ２ 解得t 即M ． 分
(６)＝ ＋| |＝ ＋２, ＝ ２, (０,０,２) １３
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ４ ( ６ )】又 PBD为正三角形 连结OP 可知OP BO
△ , , ⊥ ,
又BO AOAO PO OAOPO 平面AOP
⊥ , ∩ ＝ , , ⊂ ,
进而可得BO 平面AOP 所以点P在坐标平面xOz内
⊥ , ,
设点P的坐标为 m n 又B
( ,０,), (０,－２,０),
则 MP m２ n ２ BP m２ ２ n２
| |＝ ＋(－ ２)＝ ６,| |＝ ＋(－２)＋ ＝４,
解得m n
＝２,＝２２
所以四棱锥P ABCD的高h ． 分
－ ＝２２ １５
直角梯形ABCD的面积S １ AD BC AB １
＝ (| |＋| |)| |＝ (２２＋ ２)２２＝６,
２ ２
所以四棱锥P ABCD的体积V １Sh １ ． 分
－ ＝ ＝ ６２２＝４２ １７
３ ３
．解 当m 时fx xf′x ２ 分
１９ :(１) ＝２ ,()＝２ln , ()＝x １
又f 所以切点为 切线斜率为k f′ ２ 分
(e)＝２, (e,２), ＝ (e)＝ ２
e
所以曲线y fx 在点 f 处的切线方程为y ２x 即y ２x 分
＝ () (e,(e)) －２＝ (－e), ＝ ３
e e
( ) ( )
因为fx gx 对任意的x ３π 恒成立 即m x x 对任意的x ３π 恒成立
(２) ()＋ ()≥０ ∈ π, , ln ＋cos ≥０ ∈ π, ,
２ ２
( ) m
令hx m x xx ３π 则h′x x 分
()＝ ln ＋cos ,∈ π, , ()＝x－sin ５
２
( )
当m 时 因为x ３π 所以m x x 所以hx 不合题意． 分
≤０ , ∈ π, , ln ≤０,cos ＜０, ()＜０, ６
２
( )
当m 时 因为x ３π 所以 x 所以h′x ． 分
＞０ , ∈ π, , sin ＜０, ()＞０ ７
２
( )
所以hx 在 ３π 上单调递增
() π, ,
２
( )
故要使hx 对任意的x ３π 恒成立 只需h
()≥０ ∈ π, , (π)≥０,
２
即m 得m １ ．
lnπ＋cosπ≥０, ≥
lnπ
所以m的取值范围为 １ ． 分
[ ,＋∞) ９
lnπ
m
因为f′x g′x x 且函数fx 与gx 在点Px y 处的切线互相垂直
(３) ()＝x, ()＝－sin , () () (０,０) ,
m
所以 x 即m x x
x (－sin ０)＝－１, sin ０＝ ０,①
０
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【 ５ ( ６ )】又点Px y 是函数fx 与gx 的一个交点 所以m x x
(０,０) () () , ln ０＝cos ０,②
联立 消去m得x x x x 即x x １ x ． 分
①② ０ln ０＝sin ０cos ０, ０ln ０－ sin２ ０＝０ １１
２
当x 因为m 所以m x 且 x 这与 式相矛盾
０∈(０,１], ＞０, ln ０≤０, cos ０＞０, ② ,
所以在 上没有x 满足题意． 分
(０,１] ０ １３
当x 时 设 φx x x １ x
∈(１,＋∞) , ()＝ ln － sin２ ,
２
则 φ′x x x 所以函数 φx 在 上单调递增
()＝ln ＋１－cos２ ＞０, () (１,＋∞) ,
所以函数 φx 在 上至多有一个零点． 分
() (１,＋∞) １５
( )
因为 φ １ １ φ π π π １ π π
(１)＝ln１－ sin２＝－ sin２＜０, ＝ ln － sinπ＝ ln ＞０,
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
因为函数 φx 的图象在 连续不断 所以函数 φx 在 上有唯一一个零点
() (１,＋∞) , () (１,＋∞) ,
( )
即存在唯一的x 使得x x １ x 成立 且x π
０∈(１,＋∞), ０ln ０－ sin２ ０＝０ , ０∈ １, ,
２ ２
( )
综上所述 存在唯一的x 满足题意 且x π ． 分
: ０ , ０∈ １, １７
２
高三数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ６ ( ６ )】
