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丽水市 2024 学年第二学期普通高中教学质量监控
高二数学答案 （2025.06）
一、单项选择题
CABAC BDDCB BC
二、多项选择题
13．AB 14．BCD 15．ACD
三、填空题
16． 17． 18． 19.
四、解答题
20．（满分10分）
（1） ，解得 ，———2′
平均数为
—————————————5′
（2）在这组数据中 对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
∴这组数据第71百分位数在 中，
设第71百分位数为 ，则 ，解得 . ———————
10′
21．（满分12分）
（1）证明：连结 交 于点 ，连 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ∥ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ； ——————————5′
（2）法一：作 交 于 ，作 交 于
，连 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面
∵ 平面 ，
∴
又∵ ， ，
∴ 平面 ，
∴ ，
∴ 为二面角 的平面角，
不妨设 ，则 ， ，
，
高二数学试题卷 第1页 共5页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴二面角 的余弦值为 —————————————12′
法二：取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ，
则由已知及（1）得 ， ， 两两垂直，则分别以 ， ， 为 轴， 轴，
轴建立空间直角坐标系 ，不妨设 ，，
则由已知得 ， ， ，
在平面 中， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 为平面 的一个法向量．
又∵平面 的一个法向量
设二面角 平面角为 ，则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
22．（满分13分）
（1）解：因为 成等差数列，所以 ，
又因为数列 是公比为 的等比数列，所以 ，
解得 ，所以 ，
所以数列 的通项公式 . —————————————6′
（2）解：由（1）知 ，则
可得 ，
则 ，
两式相减，可得 ，
所以 ，
高二数学试题卷 第2页 共5页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以数列 是递增数列，则 ，
又因为 ，可得 ，
综上可得： . ———————————————13′
23．（满分15分）
（1）∵椭圆 的离心率为 ，
∴ ，
解得 ； ———————————————————5′
（2） 时， ，故 ，所以 ， ，
、 均不在 轴上，故直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 与 得 ，
所以 ， 是方程 的两根，
，
， ，
所以 ，
又 ，故 的面积 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的面积的最大值为 ； ——————————15′
24．（满分17分）
（1）由题意得 ，
高二数学试题卷 第3页 共5页
学科网（北京）股份有限公司∴ 之间余弦距离为 ； ——————————5′
（2）①由题意得
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，∴
∴ ， 之间的余弦距离为 . ———————12′
②由①可得 ， ，
∴ ，∴
∴ ——————————17′
25．（满分17分）
（1） ，
∴ ，即 恒成立，
∴ ； ————————————————4′
（2）①当 时，函数 与函数 均在定义域上单调递增，
∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
∴ 存在唯一零点 ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
∴当 时， 无零点，
高二数学试题卷 第4页 共5页
学科网（北京）股份有限公司综上所述， 有且只有一个零点，且该零点 ； ————10′
②由上可知 ，且有 ，
则 ，
即 ，
由函数 在区间 上单调递增，
∴ . ——————————17′
高二数学试题卷 第5页 共5页
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