文档内容
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.-1
3.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在 中，满足条件 ，若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.8 B.4 C.2 D.
5.已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，点 ，则 周长的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.13
6.已知等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A.3 B.9 C.-9 D.-3
7.设某批产品的产量为 （单位：万件），总成本 （单位：万元），销售单价
（单位：元/件），若该批产品全部售出，则总利润（总利润 销售收入-总成本）最大时的
产量为（ ）
A.7万件 B.8万件 C.9万件 D.10万件
8.已知双曲线 的一条渐近线为 为 右支上任意一点，且 到 的距离为 ，到左焦点的
距离为 ，则 的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.
9.已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意两个实数 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若将 的图象向左至少
平移 个单位长度后可得到 的图象，则（ ）
A. 的图象关于原点对称
B.
学科网（北京）股份有限公司C. 在 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
11.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评.其中甲的作品是在球
当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 的球面上，
若圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为 ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在等差数列 中，首项 ，公差 ，若 ，则 等于__________.
14.若 ，则 __________.
15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源
点 射出的两条光线与 分别相切于点 ，称两射线 上切点上方部分的
射线与优弧 上方所夹的平面区域（含边界）为圆 的“背面”.若以点 为圆心， 为半径的圆处
于 的“背面”，则 的最大值为__________.
16.如图，已知椭圆 的离心率为 ，左顶点是 ，左､右焦点分别是 是
在第一象限内的一点，直线 与 的另一个交点为 .若 ，则直线 的斜率__________.
学科网（北京）股份有限公司三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据
该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产
品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：
等级 一级正品 二级正品 次品
频数 1000 800 200
（1）求这2000个产品的平均利润是多少；
（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这
款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意 不满意 总计
男性 32 68 100
女性 61 39 100
总计 93 107 200
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分12分）
如图，在平面四边形 中， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）求 .
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，侧面 为菱形， ，
是 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率是双曲线 的离心率的倒数，椭圆 的左､右焦点分
别为 ，上顶点为 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两个不同点 时，设 ，求 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（1）讨论 的单调性；
（2）若 的两个极值点分别为 ，证明： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
22.（本小题满分10分）选修 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 交于 两点，求线段 的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知 .
（1）解不等式 ；
（2）令 ，若 的图象与 轴所围成的图形的面积为 ，求实数 的值.
商洛市 2024 届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（文科）
参考答案､提示及评分细则
1.C ，所以 .故选C.
2.D 因为 ，所以 ，则 的虚部为-1.故选D.
3.A 易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，
学科网（北京）股份有限公司一条侧棱 与底面垂直，且 ，易求 ，
，所以该几何体的表面积为 .故选A.
4.A 因为 ，所以 ，故
.故选A.
5.D 如图，显然 ，记抛物线 的准线为 ，则 ，记点 到 的距离为 ，点 到 的
距离为 ，则 .故选D.
6.D 当 时， ；当 时，
，又 是等比数列，所以 ，解得
.故选D.
7.B 总利润
学科网（北京）股份有限公司412，当且仅当 ，即 时， 最大.故选B.
8.B 由题可知， ，设右焦点 到渐近线的距离为 ，由图可知，
.故选B.
9.A 由任意两个实数 ，不等式 恒成立，得函数 在 上单调递增.
由函数 是定义在 上的奇函数，得 ，所以不等式 化为
，解得 -2022，所以不等式的解集为 .故选A.
10.B 由题意，可设 ，因为 与 的
图象关于 轴对称，所以 ，则
的最小值为 ，所以 ，则 .
对于A，因为 的定义域为 ，而 ，所以 不是奇函数，图象不关于原点对
称， 错误；
对于B， ，B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C，由 ，得 ，又 在 上不单调，C错误；
对于D， ，不存在 ，使 ，故 不是 图象的对称中心，
D错误.故选B.
11.C 圆锥的顶点和底面圆周都在球 的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为 ，设圆锥
的母线长为 ，所以 ，解得 .设圆锥的底面圆半径为 ，所以 ，解得
，所以圆锥的高 ，设球 的半径为 ，所以 ，解得
，所以球 的表面积等于 .故选C.
12.D 设 ，设
0，所以 ，所以函数 在 上单调递增，所以
，即 .根据已知得
，可设 ，则
，所以函数 在 上单调递增，所以
，即 .综上， .故选D.
13.34 因为 ，由题知 ，即 ，所以 .
14. .
学科网（北京）股份有限公司15. 如图所示，设过点 的切线方程为 ，所以 ，解得 ，所以直线
的方程为 ，即 ，直线 的方程为 ，即 ，
因为圆 处于圆 的“背面”，由图可知 ，当圆 与圆 外切
且圆 与 （或 ）相切时， 取最大值，由圆 与圆 外切，得 ，由
圆 与 相切，得 ，由 ，得 ，所以 ，即
0，解得 或 ，结合 可得 ，所以
的最大值为 ，同理圆 与 相切时 的最大值为 ，故 的最大值为 .
16. 因为椭圆 的离心率为 ，则 ，又因为
，即 ，则 ，则 .设
，则 ，所以 .由
解得 所以 .
学科网（北京）股份有限公司17.解：（1）依题意可得平均利润为 （元）.
（2）依题意可得 ，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.
18.解：（1）在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 .
（2） ，则 ，
则 是正三角形，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
解得 .
19.（1）证明：菱形 中， ，所以 为等边三角形，
是 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 .
（2）解：连结 交 于 ，则 为 的中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面
的距离，设为 .
因为 为 中点， ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面
.
因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，
在Rt 中，易知 ，所以 .
取 中点 ，连接 ，易得在Rt 中， ，所以 ，
在 中， ，
所以 .
又 .
由 得 ，所以 .
即点 到平面 的距离为 .
20.解：（1）由已知，设点 的坐标分别为 ，
又点 的坐标为 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，则依据 得 ，
整理得 ，
又 故
得 ，即 ，
，又 ，得 ，
又 ，故 ，且 ，
故实数 的取值范围为 .
21.（1）解：依题意， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得
，所以 在 上单调递增，在 ，
学科网（北京）股份有限公司上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
（2）证明：不妨设 ，由（1）知，当 时， 在（ 上单调递增，在 上
单调递减，在 上单调递增，所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，所以
，所以 .
由（1）知， ，则 .
要证 ，只需证 .
因为
，
设 .
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
所以 ，即得 成立.
所以原不等式成立.
学科网（北京）股份有限公司22.解：（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以曲线 的普通方程为 ；
因为曲线 的极坐标方程为 ，所以 ，
即 ，
又 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 .
（2）曲线 是以 为圆心，1为半径的圆， 为直线，
且圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 与直线 相交，
所以 .
23.解：（1）
当 时， ，解得 ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 .
综上所述，不等式 的解集为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）画出 的图象，由（1）知，阴影部分的面积为 ，
所以 的图象向下平移至阴影部分的上沿与 轴重合时，图形与 轴所围成图形的面积恰为阴影部分的
面积，即为 ，
此时函数 的图象向下平移的距离为3，故 .
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