湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.如图,在四面体OABC中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,且⃗OM=2⃗MA,⃗BN=⃗NC,则⃗MN=( )
2 2 1 2 2 1
A. a+ b+ c B. a+ b- c
3 3 2 3 3 2
2 1 1 1 2 1
C.- a+ b+ c D. a- b+ c
3 2 2 2 3 2
2.圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-❑√5] B.[❑√5,+∞) C.[-❑√5,❑√5] D.(-∞,-❑√5]∪[❑√5,+∞)
3.已知抛物线M的顶点在原点,焦点在y轴负半轴上。经过抛物线M的焦点作直线与抛物线
M相交于A,B两点。若|AB|=12,线段AB的中点的纵坐标为-5,则抛物线M的标准方程为( )
A.x2=-14y B.x2=-4y
C.y2=-4x D.y2=-14x
1
4.已知数列{a}的前n项和是S,且满足a=3,a =8a ,a = a ,k∈N*,则S =( )
n n 1 2k 2k-1 2k+1 2k 2 025
2
A.42 025-1 B.3×22 025-3
C.3×41 013-9 D.5×41 012-2
5.已知函数f(x)=x+ln(x-1),g(x)=xln x,若f(x)=1+2ln t,g(x)=t2,则(xx-x)ln t2的最小值为( )
1 2 1 2 2
1 1 1 2
A.- B.- C. D.
e 2e e2 e
6.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个
数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
7.某工厂产品合格的概率均为p,各产品合格与否相互独立。设X为该工厂生产的5件产品
中合格的数量,其中D(X)=1.2,P(X=2)<P(X=3),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
8.在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图,下列结论中正确的是( )
A.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于20%
B.人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于20%
C.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于20%
D.人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于20%
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
x2 y2
9.已知直线l:y=x+m与椭圆C: + =1,则下列结论正确的是( )
6 2
A.若C与l至少有一个公共点,则m≤2❑√2
B.若C与l有且仅有两个公共点,则|m|<2❑√2
C.若m=3❑√2,则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m=-❑√2,则C上到l的距离为1的点只有3个
10.已知等差数列{a}的前n项和为S,且满足a=-4,S=-40,则( )
n n 5 5
A.a =6
10
B.S =-30
10
C.当且仅当n=6时,S 取最小值
n
D.a+a+a+a+a+a =0
5 6 7 8 9 10
11.已知红箱内有6个红球、3个白球,白箱内有3个红球、6个白球,所有小球的大小、形状
完全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱
子内取出一球,然后再放回去,依此类推,第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出
一球,然后再放回去。记第n次取出的球是红球的概率为P,则下列说法正确的是( )
n
5
A.P=
2
9
B.3P +P=1
n+1 n
122
C.第5次取出的球是红球的概率为
243
139
D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是
243
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
1
12.椭圆x2+4y2=16被直线y= x+1截得的弦长为 。
2
13.若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围为 。
14.乘积(a+a+a)(b+b+b+b)(c+c+c+c+c)展开后的项数为 。
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）如图,直四棱柱ABCD⁃A
1
B
1
C
1
D
1
的底面为菱形,AB=AC=2,AA
1
=2❑√3。
(1)证明:平面AC B⊥平面BDD B;(7分)
1 1 1 1
(2)求直线DC 与平面AC B所成角的正弦值。(8分)
1 1 1
16.（本小题满分15分）
2 1
设S 为数列{a}的前n项和,b 为数列{S}的前n项积,已知 + =2。
n n n n S b
n n
(1)证明:数列{b}是等差数列; (7分)
n
(2)求{a}的通项公式。 (8分)
n
17.（本小题满分15分）
设函数f(x)=x2+ax-ln x,a∈R。
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (7分)
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e]时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不
存在,说明理由。 (8分)
18.（本小题满分16分）
某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试,测试通过可获得相应学分。员工年度
获得的总学分不低于10分,则员工该年度考核为合格。该单位员工甲今年可参加的专业技
能测试有A,B,C,D四项,已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的
概率如表所示,且员工甲是否通过各项专业技能测试相互独立。
测试项目 A B C D
学分 5分 6分 4分 8分
4 3 5 1
通过概率
5 4 6 2
(1)若员工甲参加A,B,C三项测试,求他本年度考核合格的概率; (8分)
(2)员工甲欲从A,B,C,D四项测试中选择三项参加,若要使他本年度考核合格的概率不低
3
于 ,应如何选择?请求出所有满足条件的方案。 (8分)
4
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学
建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集
在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处
理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。❑ 7 ❑ 7
y w ∑❑(x-x)(y-y) ∑❑(x-x)(w-w)
i i i i
i=1 i=1
73.5 3.85 -95 -2.24
1 ❑ 7
表中:w=ln(y-25),w= ∑❑w。
i i 7 i
i=1
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的
经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (5分)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程; (5分)
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的
茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。(6分)
附:①对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其经验回归直线v^=α^+^βu的斜率和截距的最小二乘
1 1 2 2 n n
❑ n
∑❑(u −u)(v −v)
i i
估计分别为 ^β= i=1 , α^=v−^βu ;
❑ n
∑❑(u −u) 2
i
i=1
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
