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2024-2025 学年湖北省鄂北六校高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
lim f(2+x)−f(2)
1.已知函数 f(x)=x2−2x ，则 x→0 = ( )
x
A. 4 B. −4 C. 2 D. −2
2.下列求导运算不正确的是( )
A. x2 2x−x2 B. 1
( )′= (3x+ln3)′=3xln3+
ex ex 3
1
C. (sin(2x−1))′=2cos(2x−1) D. [ln(2x)]′=
x
3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三
行的1，5，12，22称为五边形数．则正方形数、五边形数所构成的数列的第5项分别为( )
A. 24，34 B. 25，35 C. 25，34 D. 24，35
y
4.(x− )(x+2y) 5的展开式中x3 y3的系数为( )
2
A. 12 B. 40 C. 60 D. 100
5.3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有( )
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1 1A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
37 73 A3 C3
7 7
6.若函数 无极值，则 的取值范围是( )
f(x)=x3−2x2+ax+3 a
4 4 4 4
A. (−∞, ) B. (−∞, ] C. ( ,+∞) D. [ ,+∞)
3 3 3 3
7.四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，P为底面
内的一个动点，若 ⃗ ⃗ ，则动点 在( )
ABCD P
PB⋅PS=0
A. 直线上 B. 圆上 C. 抛物线上 D. 椭圆上
8.已知实数 ， 满足 ，则 的值为( )
x y ln(4x+ y−4)+4−e2x−3y−2−2x−4 y≥0 2x+3 y
20 25 13 14
A. B. C. D.
7 7 5 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 满足 ， a ，则下列结论正确的有( )
{a } a =1 a = n
n 1 n+1 a +2
n
A. {1 }为等比数列 B. 的通项公式为 1
+1 {a } a =
a n n 2n−1
n
C. {a } 为递增数列 D. {1 }的前 n 项和 T =2n+1−2−n
n a n
n
10.已知函数f(x)的定义域为R，其导数f ′(x)满足f(x)+f ′(x)>0，则( )
1 f(ln2) f(1) f(0)
A. f( )>√ef(1) B. f(−1)f(1)
2 e 2 e
11.设双曲线 ：x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 的右支上，且不与
C − =1(a>0,b>0) F F P C
a2 b2 1 2
双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是( )
2√3
A. 若a=2，b=√3，则双曲线C的两条渐近线的方程是y=± x
3
B. 若点 的坐标为 ，则双曲线 的离心率大于
P (2,4√2) C 3
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2 1C. 若PF ⊥PF ，则△F PF 的面积等于b2
1 2 1 2
1
D. 若双曲线C为等轴双曲线，且|PF |=3|PF |，则cos∠F PF =
1 2 1 2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若 ，则 ________．
Cx =C2x−3 x=
21 21
13.已知函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则
f(x)=(x2+ax+1)ex y=f(x) (0,f(0)) 2x−y+2=0
实数a=________．
1
14.已知函数f(x)=m(x−1)ex−x2+x在x∈( ,3)上有两个极值点，则实数m的取值范围是________．
2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知S 是等差数列{a }的前n项和，S =5S ，a2n=2a −1．
n n 3 1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
1
(2)设b = ，求数列{b }的前n项和T ．
n a ⋅a n n
n n+1
16.(本小题15分)
回答下列问题，请写出必要的答题步骤：
若 为有理数 ，请求出 的值．
(1) (1+√2) 6=a+b√2(a,b ) a+b
已知 ，求 ．
(2) (2x+3) 7=a (x+1) 7+a (x+1) 6+…+a (x+1)+a a −a
0 1 6 7 0 7
17.(本小题15分)
如图，在三棱台ABC−A B C 中，A A ⊥底面ABC，A B =2，AB=AC=4，D为BC的中点，
1 1 1 1 1 1
AC⊥C D．
1
(1)证明：AC⊥AB；
若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
(2) A A =2√2 BCC B ADC
1 1 1 1
18.(本小题17分)
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3 1如图所示，已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，直线l过点P(−4,0)．
(1)若直线l与抛物线Γ相切于点Q，求线段QF的长度；
若直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ⃗ ⃗ ，直线 与抛物线 交于另一点 ，连结 ，记
(2) l Γ A B
PB=2PA
AF Γ C BC
BC中点为M，直线PM交AC于点G，求△CMG的面积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−2lnx．
(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；
(2)试讨论函数f(x)的单调性；
(3)当x>1时，不等式f(x)<(x−2)lnx+2x+a−1恒成立，求整数a的最大值．
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4 1参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.B
8.A
9.ABD
10.BC
11.BCD
12.3或8
13.1
5 1
14.( , )
3e3 e
15.解： 设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
(1) {a } a d
n 1
由已知得{ 3a
1
+3d=5a
1 ,
a +(2n−1)d=2a +2(n−1)d−1
1 1
解得a =3，d=2，
1
所以a =2n+1；
n
1 1 1( 1 1 )，
(2)b = = = −
n a a (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
所以T =b +b +b +⋅⋅⋅+b
n 1 2 3 n
1(1 1 1 1 1 1 ) 1(1 1 )，
= − + − +⋅⋅⋅+ − = −
2 3 5 5 7 2n+1 2n+3 2 3 2n+3
1 1
即T = − ．
n 6 4n+6
16.解： 因为 展开式的通项公式为： ，
(1) (1+√2) 6 T =Cr (√2) r
r+1 6
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5 1所以 ，
a=C0+C2 (√2) 2+C4 (√2) 4+C6 (√2) 6=1+30+60+8=99
6 6 6 6
，
b=C1+C3 (√2) 2+C5 (√2) 4=6+40+24=70
6 6 6
因此，a+b=99+70=169;
，
(2)(2x+3) 7=[2(x+1)+1] 7=a (x+1) 7+a (x+1) 6+⋯+a (x+1)+a
0 1 6 7
所以 ， ，
a =C027=128 a =C717=1
0 7 7 7
因此，a −a =128−1=127．
0 7
17.(1)证明：在三棱台ABC−A B C 中，∵A B =2，AB=AC=4∴A C =2，BC=2B C ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵D为BC的中点，∴B C =BD，B C //BD，
1 1 1 1
∴四边形BDC B 为平行四边形，故B B//C D.
1 1 1 1
∵AC⊥C D，∴AC⊥B B.
1 1
∵A A ⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，∴A A ⊥AC．
1 1
∵A A ，BB ⊂平面ABB A ，A A ，BB 为相交直线，
1 1 1 1 1 1
∴AC⊥平面ABB A ，
1 1
∵AB⊂平面ABB A ，
1 1
∴AC⊥AB;
⃗
(2)解：以A为原点，以⃗AB，⃗AC， 分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
AA
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，B (2,0,2√2)，C (0,2,2√2)，D(2,2,0)，
1 1
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6 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗
∴BC=(−4,4,0) ，BB =(−2,0,2√2) ，AC =(0,2,2√2) ，AD=(2,2,0) ．
1 1
设⃗m=(x ,y ,z )是平面BCC B 的法向量，
1 1 1 1 1
{ B ⃗ C⋅m ⃗ =0, { −4x +4 y =0
1 1
则 即 ，
⃗ ⃗ −2x +2√2z =0
BB ⋅m=0, 1 1
1
令x
1
=√2，则y
1
=√2，z
1
=1，故m ⃗
=(√2,√2,1);
设⃗n=(x ,y ,z )是平面ADC 的法向量，
2 2 2 1
{ A ⃗ D⋅ ⃗ n=0, { 2x +2y =0
2 2
则 即 ，
⃗ ⃗ 2y +2√2z =0
AC ⋅n=0, 2 2
1
令x 2 =√2，则y 2 =−√2，z 2 =1，故 ⃗ n=(√2,−√2,1) ．
⃗ ⃗
⃗ m⋅n 1
⃗ ，n⟩= =
，
∴cos⟨m ⃗ |⃗| 5
|m| n
1
∴平面BCC B 与平面ADC 夹角的余弦值为 ．
1 1 1 5
18.解：(1)由题意知，直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为x=my−4，
联立方程组{x=my−4，得到 ，
y2−4my+16=0
y2=4x
因为直线PQ与抛物线Γ相切，
所以△=16m2−64=0，解得m=±2，
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7 1此时 ，代入抛物线中得
y2
，
y =±4 x = Q=4
Q Q 4
由抛物线定义得|QF|=x +1=5．
Q
(2)由题意得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty−4，
设A(x ,y )，B(x ,y )，连接CP，
1 1 2 2
联立方程组{x=ty−4，
y2=4x
得到 y2−4ty+16=0
，则{y
1
+ y
2
=4t
．
y y =16
1 2
因为 ⃗ ⃗ ，且 ⃗ ， ⃗ ，
PB=2PA PB=(x +4,y ) PA=(x +4,y )
2 2 1 1
所以 ，解得 ，
y =2y y =±2√2
2 1 1
当 时， ， ，直线 ，
y =2√2 A(2,2√2) F(1,0) AF:y=2√2(x−1)
1
联立方程{y=2√2(x−1)得到
，
y2−√2y−4=0
y2=4x
则{y
A
+ y
C
=√2
,
y y =−4
A C
因为点G为△BCP的重心，
所以S =S
△CMG △APG
1 1 1
= S = × |PF||y −y |
3 △APC 3 2 A C
1 1 5√2
= × ×5×√2+16= ，
3 2 2
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8 15√2
同理当y =−2√2时，S = ，
1 △CMG 2
5√2
综上所述S = ．
△CMG 2
19.解：(1)当 a=2 时，则 f(x)=2x−2lnx ，
2 2x−2
可知 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f ′(x)=2− = ，
x x
令 f ′(x)<0 ，解得 x∈(0,1) ；令 f ′(x)>0 ，解得 x∈(1,+∞) ，
可知 f (x) 的单调递减区间是 (0,1) ，单调递增区间是 (1,+∞) ，
所以函数 f(x) 的最小值为 f (1)=2 ．
2 ax−2
(2)由题意可知 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f ′(x)=a− = (x>0) ，
x x
当 a≤0 时， f ′(x)<0 恒成立，
所以 f (x) 的单调递减区间是 (0,+∞) ，无单调递增区间．
2
当 a>0 时，令 f ′(x)=0 解得 x= ，
a
令 ，解得 ( 2) ；令 ，解得 (2 ) ，
f ′(x)<0 x∈ 0, f ′(x)>0 x∈ ,+∞
a a
所以 的单调递减区间是 ( 2) ，单调递增区间是 (2 ) ；
f (x) 0, ,+∞
a a
综上所述：当 a≤0 时， f (x) 的单调递减区间是 (0,+∞) ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递减区间是 ( 2) ，单调递增区间是 (2 ) ．
a>0 f (x) 0, ,+∞
a a
(3)当 x>1 时，不等式 f (x)<(x−2)lnx+2x+a−1 恒成立，
xlnx 1
即 ax−2lnx<(x−2)lnx+2x+a−1 ，整理可得 a< + +2 ，
x−1 x−1
xlnx 1
原题意等价于 a< + +2 对任意 x>1 恒成立，
x−1 x−1
xlnx 1
令 g(x)= + +2(x>1) ，
x−1 x−1
则 (1+lnx)(x−1)−xlnx 1 x−lnx−2 ，
g′(x)= − =
(x−1) 2 (x−1) 2 (x−1) 2
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9 11 x−1
令 ℎ(x)=x−lnx−2,x>1 ，则 ℎ′(x)=1− = >0 ，
x x
所以 ℎ(x) 在区间 (1,+∞) 上单调递增，
因为 ℎ(3)=1−ln3<0 ， ℎ(4)=2−ln4>0 ，
所以 在区间 内存在唯一零点 ，
ℎ(x) (1,+∞) x ∈(3,4)
0
即 x −lnx −2=0 ，所以 lnx =x −2 ，
0 0 0 0
当 时， ，即 ；
x∈(1,x
0
) ℎ(x)<0 g′(x)<0
当 时， ，即 ；
x∈(x
0
,+∞) ℎ(x)>0 g′(x)>0
可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
g(x) (1,x ) (x ,+∞)
0 0
所以
g(x) =g(x )=
x
0
lnx
0+
1
+2 =
x
0
(x
0
−2)
+
1
+2=x +1
，
min 0 x −1 x −1 x −1 x −1 0
0 0 0 0
因为 ，则 ，即 ，
x ∈(3,4) x +1∈(4,5) g(x) ∈(4,5)
0 0 min
且 a 为整数，则 a≤4 ，所以整数 a 的最大值是4．
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10 1
