文档内容
2024年初升高开学考模拟卷01
数 学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在
答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴
在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的
答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．下列因式分解不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，将各项进行因式分解后，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项分解正确；
B、 ，原选项分解正确；
C、 ，原选项分解错误；
D、 ，原选项分解正确；
故选C．
2．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由 有意义，等价于 ，解得 ，
即函数的定义域为 .
故选：D.
3．甲、乙两位同学在对多项式 分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是 ，乙
看错了c的值，分解的结果是 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c，根据乙分解的结果
求出b，然后代入利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
，
，
故选：B．
4．若集合 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将集合 变形，再根据集合间的关系及并集和交集的定义即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ， 且 .
故选：C.
5．高一 班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修
一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时
学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
【答案】D【分析】利用韦恩图法即可快速求解.
【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，
则 ，解得 ，
即同时学习必修二和选修一的有3人，
则只学习必修一的有 （人），
故选：D.
.
6．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画
心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如
图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，
其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为 ，分别表示出画心的长和宽，根据面积
列出方程．
【详解】解：根据题意，得 ．
故选：D．
7．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买 黄金，店员先将 的砝码放在
天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些
黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】B
【分析】利用平衡条件得出 的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为 ，右臂长为 ， 且 ，左盘放的黄金为 克，右盘放的黄金为
克，
，解得 ，
，当且仅当 时，取到等号，
由于 ，所以 .
故选：B
8．若函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， ，则满足不等式
的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质，结合单调性，分情况讨论可得答案.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
显然 时，满足 ；
因为 在 上单调递增， ，所以 在 上单调递增， ，
当 时，不等式 等价于 ，
因为 在 上单调递增，所以 ；
当 时，不等式 等价于 ，
因为 在 上单调递增，所以 ；
综上可知不等式 的 的取值范围是 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 的最大值是
B．若 都是正数，且 ，则 的最小值是3
C．若 ，则 的最小值是3
D．若实数 满足 ，则 的最大值是4
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即
可判断C；利用万能“ ”法即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值是 ，故A正确；
对于B，由 都是正数，且 ，得 ，
则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是3，故B正确；
对于C，若 ，
则 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值是 ，故C错误；
对于D，令 ，则 ，又 ，则 ，
化简得 ，
所以 ，解得 ，
所以 的最大值是4，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．对于一元二次方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若方程 有两个不相等的实根，则方程
必有两个不相等的实根
C．若 是方程 的一个根，则一定有 成立 D．若
，则
【答案】AB
【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式，以及因式分解等知识点，熟记相关结论是解题关
键．本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根；若 ，则方程有两个相等的实数根；若
，则方程没有实数根．据此即可判断①②；将 代入方程 ，进行因式分解
即可判断③；根据 即可判断④．
【详解】解：∵ ，
∴一元二次方程 有一个根是 ，
∴ ，故A正确；
∵方程 有两个不相等的实根，
∴ ，
∴ ，
∴则方程 必有两个不相等的实根，故B正确；
∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，∴ 或 ，故C错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
即： 或 ，故D错误；
故选：AB．
11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．
设 ，用符号 表示不大于 的最大整数，如 称函数 叫做高斯函数． 下
列关于高斯函数 的说法正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．函数 的值域是
D．函数 在 上单调递增
【答案】ABD
【分析】由高斯函数 的定义逐一判断即可.
【详解】对A，由高斯函数的定义，可得 ，故A正确；
对B，若 ，则 ，而 表示不大于x的最大整数，则 ，即 ，故B
正确；
对C，函数 ，当 时， ，故C错误；
对D，函数 ，即函数 为分段函数，在 上单调递增，故
D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合 用列举法表示为 ．
【答案】【分析】根据4能被 整除分类即可.
【详解】 时， 时， 时， 时， 时， ； 时，
.
故 ．
故答案为： .
13．已知函数 ，若 ，则 ．
【答案】6
【分析】先证得 为奇函数，所以 ，再由奇函数的性质可求出 .
【详解】解：令 ， ，
所以 为奇函数，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：6.
14．已知 为整数，将其除以4所得的商记为 ，余数记为 ，即 （n是整数），我们称
属于数组 ，记作 ，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号）
① ；
②若 为4的倍数，则点 到点 的距离的最小值为 ；
③所有整数组成的数组 ；
④若 ，则 ， 属于同一个数组．
【答案】②④
【分析】本题主要考查新定义问题，考查了学生的理解能力和推理能力，理解定义式解题的关键．
①根据数组的定义可判断；
②根据定义可知 ，点A在 上，由两点距离公式可求出距离的最小值；
③由整数除以4的余数可能为0，1，2，3可判断；
④可根据定义分别设a，b的数组为 ， 进行判断．
【详解】①根据数组定义 ，因此 ，所以①错误；
② a是4的倍数，不妨设 （n是整数）当 时， 最小，所以②正确；
③ a除以4的余数可能是0，1，2，3；
所以③错误；
④不妨设 （m为整数）
（n为整数）
由 可知，
a和b属于同一数组，
所以④正确；
故答案为：②④．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）先把二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可；
（2）根据平方差公式和二次根式的除法将原式化简，再将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运
算即可；
解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及公式．
【详解】（1）解：
；
（2）
．16．已知集合 ，其中 是关于 的方程
的两个不同的实数根.
(1)若 ，求出实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据 得到 ，结合方程的两根得到方程，求出 ；
（2） ，故 ，结合方程的两根得到不等式，求出 .
【详解】（1）因为 ，故 ，
又 的两根分别为 ，
故 ，
故 ；
（2）因为 ，故 ，
又 的两根分别为 ，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
17．已知 是二次函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求函数 的最小值和最大值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【分析】（1）设二次函数为 ，根据题意，列出方程组，求得 的值，即可求
解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数 的单调区间，进而求得其最值.
【详解】（1）解：设二次函数为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以函数 的解析式 ．（2）解：函数 ，开口向下，对称轴方程为 ，
即函数 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ， ．
18．已知函数 有如下性质:如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函
数.
(1)已知 ，利用上述性质，求函数 的值域;
(2)对于（1）中的函数 和函数 ，若 ，使得 成立，求实
数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 变形为 ，令 ，转化为求
的值域，利用题干函数的性质求解；
（2）求出 的值域，根据题意 的值域是 的值域的子集，列式求解.
【详解】（1） ，
设
则 .
由已知性质得， 在 递减，在 递增，
则 的值域为 .
（2） 为减函数，故 .
由题意， 的值域是 的值域的子集，
.
19．已知二次函数 ．(1)若对于任意 ，且 为偶函数，求 ；
(2)设 为函数 与x轴的两个交点的横坐标，且 ， ，且当
时， 的最小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得函数的对称轴为 ，结合一元二次函数的对称性进行求解即可，
求 ；
（2）设 ，求得两根之和，之差，求得 的表达式，结合二次函数的性质即可求解
结论．
【详解】（1） 对任意 ， ， ，
令 可得 ，解得 ， ，
令 ， 可得 ，整理得 ，
又 为偶函数，即 ，故对称轴为 ，
，
，
可得 ，解得 ，
．
（2）因为 ， 为函数 ， ， 与 轴的两个交点的横坐标，且 ，
，
不妨设 ，
， ，
，
对称轴为 ，
，可得 ，同理可得 ，即 ， ，
，
．
, , ， ，
而 在 上递增，
．
