文档内容
泉州市 2024 届高中毕业班质量监测（二）
高三数学
本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超
出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择
题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得： ，
所以 ，
所以 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司2. 已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.
【详解】 ，
对应复平面内对应的点 ，
因为 ，
所以 位于第二象限.
故选：B
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系和 范围即可解出 ，则得到答案.
【详解】因为 ，则 ，结合 ，
解得 ，则 ，
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利
用圆柱的体积公式即可求解.
【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.
设圆柱的底面半径为 ，则
因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，
所以 ，解得 .
所以该圆柱的体积为 .
故选：B.
5. 函数 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数 的数据即可得出答案.
【详解】由函数 的数据可知，函数 ，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，由函数 的数据可知，函数 增长越来越快，可排除C.
故选：A.
6. 若抛物线 与椭圆 的交点在 轴上的射影恰好是 的焦点，则 的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.
【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为 ，椭圆 右焦点为 ，
则根据题意得 轴，
，则 ，则 ，当 时， ，则 ，
则 ，代入椭圆方程得 ，结合 ，不妨令 ；
解得 ，则其离心率 ，
故选：C.
7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､
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学科网（北京）股份有限公司跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参
赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）
A. 70 B. 140 C. 252 D. 504
【答案】B
【解析】
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有 种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 种选法，
所以此时满足题意的选法有 ，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有 种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 种选法，
所以此时满足题意的选法有 ，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于 种.
.
故选：B
8. 已知函数 .若函数 存在零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对 求导，求出 的单调性和最值，函数 存在零点，即 与
的图象有交点，即可求出 的取值范围.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 ，
函数 存在零点，即 ，
即 与 的图象有交点，所以
故选：C,
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 抛掷一枚股子，设事件 “出现的点数为偶数”，事件 “出现的点数为3的倍数”，则（ ）
A. 与 是互斥事件
B. 不是必然事件
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.
【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，
事件A=“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B=“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种
结果，
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学科网（北京）股份有限公司对于A，事件A，B有可能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件 包含2,3,4,6四种结果，所以 不是必然事件，故B正确；
对于C，事件 包含6一种结果，所以 ，故C错误；
对于D， ，故D正确.
故选：BD.
10. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，当
时， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.
【详解】因为 ，则 ，所以 的周期为2，
对A， ，因为 ，令 ，则
，显然 ，
对B，因为 ，则 ，则 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对C， ， ，则 ，故C错误；
对D， ， ，则 ，故D正确.
故选：BD.
11. 已知抛物线 的准线为 ，焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，则（ ）
A. 的方程为
B. 与以线段 为直径的圆相切
C. 当线段 中点的纵坐标为2时，
D. 当 的倾斜角等于 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出准线方程判断A，根据抛物线定义及圆与直线相切的判定判断 B，利用抛物
线的定义求弦长可判断CD.
【详解】由抛物线 的方程可知 ，所以准线方程为 ，故A正确；
设 中点为 ，过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，
则由梯形中位线可得 ，再由抛物线定义可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即圆心到准线的距离等于半径，
所以 与以线段 为直径的圆相切，故B正确；
设 ，因为 中点的纵坐标为2，所以 ，
由抛物线的定义可知 ，故C错误；
当 的倾斜角等于 时，由于 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，所以 ，
由抛物线定义可得 ，故D正确.
故选：ABD
12. 在空间直角坐标系 中， ， ， ， ， 在球 的
球面上，则（ ）
A. 平面
的
B. 球 表面积等于
C. 点 到平面 的距离等于
D. 平面 与平面 的夹角的正弦值等于
【答案】AC
【解析】
【分析】由球心F在平面ABC上的投影位置及D点求球心F的坐标和球半径，可得E点坐标，利用空间
向量计算点 到平面 的距离和平面 与平面 的夹角的正弦值.
【详解】平面ABC的一个法向量 ， ，
则 ，又因为 平面ABC，所以 平面ABC，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ，则 ，球心F在平面 上的投影点即 外接圆
圆心 ，
设 ，因 为，则 ，
得 ，即 ，球半径 ，球F表面积 ，B错误；
由 ， ，得 ， ，
， ，设平面ACE的一个法向量 ，
，所以 ，取 ，
，点 到平面 的距离等于 ，C正确；
同理可得平面 的一个法向量 ，
平面 与平面 的夹角的余弦值等于 ，
正弦值等于 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：注意到A，B，C三点共面，且平面ABC即为平面 ，所以易得球心F在平面
ABC上的投影，将空间问题平面化.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平行四边形 中， ，则 __________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为四边形 为平行四边形，则 ，
，则 ，
故答案为：10.
14. 数列 中， ，则 __________.
【答案】15
【解析】
【分析】根据递推关系求解即可.
【详解】由 ，
可得 ， ，
.
故答案为：15
15. 已知直线 ，圆 被 所截得到的两段弧的长度之比为 ，则圆 的方程可以为
__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.
【详解】若圆 被 所截得到的两段弧的长度之比为 ，
则劣弧所对圆心角为 ，设圆 的半径为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
不妨使得圆心为坐标原点，设圆 的方程为 ，
则 ，解得 ，则此时圆 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一.）
16. 若 ，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，根据 ，可转化为 ，利用 求出 ，
再检验即可得解.
【详解】令 ，则定义域为 ，且 ，
由题意， ， ，
，
又 在 上可导，
所以 为函数 的极值点，
， ，即 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ， 成立.
综上， 时 的取值范围为 .
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司17. 等差数列 和等比数列 中， .
（1）求 的公差 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，若 ，求 .
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前 项和公式即可求解.
【小问1详解】
设等比数列 的公比为 ，
由题意得 ，整理，得 ，
消去 ，得 ，解得 或 .
【小问2详解】
由（1）得 或 .
因为 ，
所以 ，
故 .
从而 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学
为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行
“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在 的男生有4人.
高二男生成绩（单位： ）如下：
.
102 12.8 6.4 6.6 14.3 8.3 16.8 15.9 9.7 17.5
18.6 18.3 19.4 23.0 19.7 20.5 24.9 20.5 25.1 17.5
（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；
（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为 ，高二男生为
.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列 列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？
等级 良好以
良好及以上 合计
年级 下
高一
高二
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学科网（北京）股份有限公司合计
附： ，其中 .
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）15，16.35
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分
位数定义求高二男生成绩第40百分位数；
（2）列出列联表，计算 ，根据所给小概率值表判断即可.
【小问1详解】
依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.
因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以 ，解得 .
由 ，解得 .
由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数
.
由 ，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，
高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20) 有8人,
所以第40百分位数 在[15,20)中，故 .
由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为 16.35.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司根据样本，知高一男生成绩良好及以上占 ，良好以下占 ，高二男生成绩良好
及以上占 ，良好以下占 ，由样本估计总体，可得 列联表如下：
良好及以上 良好以下 合计
高一 300 300 600
高二 300 200 500
合计 600 500 1100
零假设为 ：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.
根据列联表中的数据，得
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有
关，此推断犯错误的概率不大于 .
19. 如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体 .
（1）求证： 平面 ；
的
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得 ，再由线面平行的判定定理得证；
（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.
【小问1详解】
连结 ，交于点 ，连结 ，
由正四棱锥性质可知 平面 ， 平面 ，所以 三点共线，
又四边形 是正方形，可得 两两垂直，且交于点 .
以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标
系 ，如图，
由 ，在 中， ，
则 ，
从而 ，故 ，
又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以 .
20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不
再放回.
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第 次都摸到红球的概率为 ；第1次摸到红球的概率为 ；在第1次摸到红球的条件下，第
2次摸到红球的概率为 ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为 .求 ；
（3）对于事件 ，当 时，写出 的等量关系式，
并加以证明.
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想 ，由条件概率公式证明即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
记事件“第 次摸到红球”为 ，则第2次摸到红球的事件为 ，
于是由全概率公式，
得 .
【小问2详解】
由已知得 ，
，
，
.
【小问3详解】
由（2）可得 ，即 ，
可猜想： ,
证明如下：由条件概率及 ，
得 ， ，
所以 .
21. 的内角 所对的边分别为 .已知 .
（1）若 ，求 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点 是 外一点， 平分 ，且 ，求 的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可；
（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式 结合导数求出范围.
【小问1详解】
由正弦定理可知 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理 ，
因为 的内角 ，所以 ，
又 ，所以 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理 ，
，
又 平分 ，所以 ，
因为四边形 的内角和为 ，且 ，易知 ，
所以
，①
设 ，则① ，
令 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，
因为在 中 ，所以 ，所以 ，
所以 时 恒成立，
且 ， 时 ， ， 时 ，
则 ，所以 .
22. 动圆 与圆 和圆 中的一个内切，另一个外切，记点
的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）已知点 轴与 交于 两点，直线 与 交于另一点 ，直线 与
交于另一点 ，记 的面积分别为 .若 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，利用双曲线的定义可判断轨迹，写出方
程；
（2）联立直线与双曲线的方程，分别求出 关于 的坐标，利用三角形面积公式及面积比值可得 ，
可得 坐标，据此求出直线方程.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
由题意，圆心分别为 ，两圆半径都为2，
设圆 的半径为 ，
由题意得 或 ，
故 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为4的双曲线,
其中 ，
所以轨迹E的方程为 .
【小问2详解】
如图，
由题意可得 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
从而 ，故 ，
由 ，消去 ，得 ，
由 ， ，得 ，
从而 ，故 ，
因为 的面积分别为 ，且 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
化简，可得 ，解得 ，
当 时， ， ，所以 ,
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司
