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2023 年四川省成都市数学中考真题
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一
项符合题目要求）
1. 在 ， ， ， 四个数中，最大的数是（ ）
A. 3 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负
数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
∴最大的数是：3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于
0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作
为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超
亿次．将数据 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： 亿 ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
【详解】解：A、 ，故原计算错误，不符合题意；
B、 ，故原计算错误，不符合题意；
C、 ，故原计算正确，符合题意；
D、 ，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答
的关键．
4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，
杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气
质量指数（ ）： ， ， ， ， ，则这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】将这组数据从小到大重新排列为 ， ， ， ，
∴这组数据的中位数为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
5. 如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形 是平行四边形，对角线 与 相交于点 ，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．
某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬
菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有 2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，
每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概
率是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，
∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．
7. 《孙子算经》是中国古代重要 数的学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，
不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根
长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺．问木长多少尺？设木长 尺，则可列方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长 尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量长木，
长木还剩余 尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长 尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
8. 如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为
C. ， 两点之间的距离为 D. 当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当 时，
即
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
二次函数的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：m2﹣3m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】题中二项式中各项都含有公因式 ，利用提公因式法因式分解即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查整式运算中的因式分解，熟练掌握因式分解的方法技巧是解决问题的关键．
10. 若点 都在反比例函数 的图象上，则 _______ （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得 ， ，进而即可求解．
【详解】解：∵点 都在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11. 如图，已知 ，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若 ，则 的
长为___________．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】3
【解析】
【分析】利用平移性质求解即可．
【详解】解：由平移性质得： ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相
同，横坐标互为相反数．
13. 如图，在 中， 是边 上一点，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径作弧，
分别交 ， 于点 ， ；②以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；③以点
为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ：④过点 作射线 交 于点 ．
若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为___________．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据作图可得 ，然后得出 ，可证明 ，进而根据相似三
角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，
∴ ，
∴ ，
的
∵ 与四边形 面积比为 ，
∴
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算： ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再加减运算即可求解；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解；
【
详解】解：（1）
；
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、
绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
15. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组
织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明
宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调
查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：
（3）该校共有1500名师生，若有 的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人
数．
【答案】（1） ，图见解析；
（2） ；
（3） 人；
【解析】
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补
全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以 即可求解；
（3）用样本估计总体，用 乘以 再乘以“文明宣传” 的 比即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，本次调查的师生共有 人，
∴“文明宣传”的人数为 （人）
补全统计图，如图所示，
故答案为： ．
【小问2详解】
在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
估计参加“文明宣传”项目的师生人数为 （人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接
反映部分占总体的百分比大小．
16. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社
区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷 长为 米，与水平面的夹角为 ，且靠墙端离地高
为 米，当太阳光线 与地面 的夹角为 时，求阴影 的长．（结果精确到 米；参考数
据： ）
【答案】 米
【解析】
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，在 中，
求得 ，进而求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边形 是矩形，
依题意， ， （米）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中， （米），
（米），则 （米）
∵ （米）
∴ （米）
∵ ，
∴ （米）
∴ （米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，以 的边 为直径作 ，交 边于点D，过点C作 交 于点E，连接
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 和 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）根据 ，得到 ，再根据同弦所对的圆周角相等，得到
，可证明 是等腰三角形，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到 ，设 ，根据勾股定理列方程，解得x的【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
值，即可求出 ；过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F，证明 ，求出
的长，根据勾股定理即可解出 的长．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设 ，
是 的直径，
，
，
，即 ，
根据（1）中的结论，可得 ，
根据勾股定理，可得 ，即 ，
解得 ， （舍去），
， ,
根据勾股定理，可得 ；
如图，过点 作 的垂线段，交 的延长线于点F，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
（1）中已证明 ，
，
，
，即 ，
， ， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
可得方程 ，解得 ，
， ，
根据勾股定理，可得 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，正切的概念，利【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
用等量代换证明相关角相等是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y轴交于点A，与反比例函数 的图象的一个
交点为 ，过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且 的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为m．若点
D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】（1）点A的坐标为 ，反比例函数的表达式为 ；
（2）点C的坐标为 或
（3）点P的坐标为 ；m的值为3
【解析】
【分析】（1）利用直线 解析式可的点C的坐标，将点 代入 可得a的值，再
将点 代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是 的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
求直线l的解析式 ，C点坐标为 ，根据 ( 分别代
表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对
应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到 ，由 得到 ，
继而得到直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，设直线 的解析式是： ，将
代入 求得 的解析式是： ，再将直线 与双曲线的解析式联立求得
，再用待定系数法求出 的解析式是 ，利用直线 的解析式与直线l的解析式
联立求得点 P 的坐标为 ，再用两点间的距离公式得到 ， 从而求得
．
【小问1详解】
解：令 ，则
∴点A的坐标为 ，
将点 代入 得：
解得：
∴
将点 代入 得：
解得：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：设直线l于y轴交于点M，直线 与x轴得交点为N，
令 解得：
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∵ ，
∴
又∵直线l是 的垂线即 ， ，
∴ ，
∴
设直线l得解析式是： ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
将点 ，点 代入 得：
解得：
∴直线l的解析式是： ，
设点C的坐标是
∵ ，( 分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当 时， ；
当 时， ，
∴点C的坐标为 或
【小问3详解】
∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，
∴点E是直线l与双曲线 的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴
画出图形如下：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
又∵
∴
∴
∴直线 与直线 的解析式中的一次项系数相等，
设直线 的解析式是：
将点 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是：
∵点D也在双曲线 上，
∴点D是直线 与双曲线 的另一个交点，
将直线 与双曲线的解析式联立得：
解得： 或
∴【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设直线 的解析式是：
将点 ， 代入 得：
解得：
∴直线 的解析式是： ，
又将直线 的解析式与直线l的解析式联立得：
解得：
∴点P的坐标为
∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综
合 几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的
性质是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若 ，则代数式 ，的值为___________．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得 ，再将 变形，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小
立方块最多有___________个．
【答案】
【解析】
【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，
∴搭成这个几何体的小立方块最多有 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
21. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图
所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆 的距离是5米，观众在阴影区域里观
看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（ 取3.14，
取1.73）
【答案】184
【解析】
【分析】过点O作 的垂线段，交 于点 ，根据直角三角形的边长关系求出 的角度，阴影
面积即为扇形 的面积减去三角形 的面积，随机可以求出容纳观众的数量．
【详解】解：如图，过点O作 的垂线段，交 于点 ，
圆心O到栏杆 的距离是5米，
米，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， 米，
，
，
，
可容纳的观众 阴影部分面积
（人），
最多可容纳184名观众同时观看演出，
故答案为：184．
【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键．
22. 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过 作 交 于
点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 于 ，证明 ，得出 ，根据 ，
得 ，设 ， ，则 ，则 ，在【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
中， ，在 中， ，则
，解方程求得 ，则 ， ，勾股定理求得 ，根据正切
的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ,
∴
∴
∵折叠，
∴ ，
∴ ,
又∵
∴
∴
∴
∵ ， ，则 ，
∴【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ， ，
∵
设 ， ，则 ，则 ，
∵
∴
在 中，
在 中，
∴
即
解得：
∴ ，
则
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握以上知识是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，且 ，则称这个正整数为“智慧
优数”．例如， ，16就是一个智慧优数，可以利用 进行研究．若将
智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当 ， ，则第1个一个智慧优数为
当 ， ，则第2个智慧优数为
当 ， ，则第3个智慧优数为 ，
当 ， ，则第5个智慧优数为
当 ， ，则第6个智慧优数为
当 ， ，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理 时有 个， 时有6个，
第22个智慧优数，当 时， ，第22个智慧优数为 ，
第23个智慧优数为 时， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 年 月 日至 月 日，第 届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉
宾”，成都某知名小吃店计划购买 ， 两种食材制作小吃．已知购买 千克 种食材和 千克 种食材【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
共需 元，购买 千克 种食材和 千克 种食材共需 元．
（1）求 ， 两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买 种食材千克数不少于 种食材千克数的 倍，当
， 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1） 种食材单价是每千克 元， 种食材单价是每千克 元
（2） 种食材购买 千克， 种食材购买 千克时，总费用最少，为 元
【解析】
【分析】（1）设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程
组即可求解；
（2）设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意列出不等式，得出 ，进而
设总费用为 元，根据题意， ，根据一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元，根据题意得，
，
解得： ，
答： 种食材的单价为 元， 种食材的单价为 元；
【小问2详解】
解：设 种食材购买 千克，则 种食材购买 千克，根据题意，
解得： ，
设总费用为 元，根据题意，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 最小，
∴最少总费用为 （元）
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方
程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，直
线 与抛物线交于B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）过点 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得
始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点B的坐标为 或 或
（3）存在，m的值为2或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设 ，分 和 两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离
公式列方程求解即可；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）先根据题意画出图形，设抛物线 与直线 的交点坐标为 ，
，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到 ， ，利用待定系数法
分别求得直线 、 的表达式为得到 ， ，过E作 轴于
Q，过D作 轴于N，证明 得到 ，整理可得到
，进而求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：设 ，
根据题意， 是以 为腰的等腰三角形，有两种情况：
当 时，点B和点P关于y轴对称，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 ， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上，满足题意的点B的坐标为 或 或 ；
【小问3详解】
解：存在常数m，使得 ．
根据题意，画出图形如下图，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ，
由 得 ，
∴ ， ；
设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
令 ，由 得 ，
∴ ，
同理，可得直线 的表达式为 ，则 ，
过E作 轴于Q，过D作 轴于N，
则 ， ， ， ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
则 ，
整理，得 ，
即 ，
将 ， 代入，得 ，
即 ，则 或 ，
解得 ， ，
综上，存在常数m，使得 ，m的值为2或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二
次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度
较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解
决问题是解答的关键．
26. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上
的动点，过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出
结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必
证明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，点M
运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）① ，证明过程略；②当点 F在射线 上时，
，当点F在 延长线上时，
（3）
【解析】
【分析】 （1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到
即可解答；
（2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时， ，根据
，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结论可得 ，
再根据 ， ，即可得到 ；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；
（3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨
迹长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利用中点公式求出 ，
最后利用勾股定理即可求出 的长度．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，
在 与 中，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
；
【小问2详解】
①
证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
当 时， ，即 ，
是 的中点，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
根据（1）中的结论可得 ，
；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故线段 之间的数量关系为 ；
②解：当点F在射线 上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
同①，可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
，
即线段 之间数量关系为 ；
当点F在 延长线上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，连接【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同（1）中原理，可证明 ，
可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
即线段 之间数量关系为 ,
综 上 所 述 ， 当 点 F 在 射 线 上 时 ， ； 当 点 F 在 延 长 线 上 时 ，
；
【小问3详解】
解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，可得 的轨
迹长度即为 的长度，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线段，交 于
点 ，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
，
， ，
，
，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
是 的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的
性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
