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达州市 2023 年高中阶段学校招生统一考试暨初中学业水平考试
数学
本考试为闭卷考试，考试时间120分钟，满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ
卷（非选择题）两部分，共8页．
温馨提示：
1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题
卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信
息是否一致．
2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再
选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，
超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．
3．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．
4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2023 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2. 下列图形中，是长方体表面展开图的是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方体有六个面，以及 字型进行判断即可．
【详解】解：A中展开图有7个面，不符合要求；
B中展开图无法还原成长方体，不符合要求；
C正确，故符合要求；
D中展开图有5个面，不符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
3. 某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．
数据2502.7亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：2502.7亿元 元
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5，
所以这组数据的众数为2，中位数3，
故选C．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从
小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
.
5 如图， ， 平分 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出 ，再由角平分线确定 ，利用三角形内角和定
理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知
识点是解题关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法运算法则逐项判
断即可作出选择．
【详解】解：A、a与 不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故本选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故本选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关
运算法则是解答的关键．
7. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电
商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进
第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购
进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意
可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为 元/件，
根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为
元/件，根据题意得：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
8. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设 ，
∵三角形内角和为 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌
握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
9. 如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线 是由多段 的圆心角的圆心为 ，
半径为 ； 的圆心为 ，半径为 的圆心依次为 循环，
则 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】曲线 是由一段段 90 度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，得到
， ，得出半径，再计算弧长即可．
【详解】解：由图可知，曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径
，
， ， ， ，
， ， ， ，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
故 的半径为 ，
的弧长 ．
故选A
【点睛】此题主要考查了弧长 计算，弧长的计算公式： ，找到每段弧的半径变化规律是解题关
的
键．
10. 如图，拋物线 （ 为常数）关于直线 对称．下列五个结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；
由抛物线的对称轴为 ，得到 ，即可判断②；可知 时和 时的y值相等可判断③正确；
由图知 时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为 可得 ，因此
，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由 得， ，
，
故①正确；
② 抛物线的对称轴为 ，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为 ，可知 时和 时的y值相等．
由图知 时， ，
∴ 时， ．
即 ．
故③错误；
④由图知 时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为 可得 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
∴ ，
当 时， ．
由图知 时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函
数图像的性质及数形结合是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 函数 的自变量x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子
中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答：解：根据题意得到：x-1＞0，
解得x＞1．
故答案为x＞1．
点评：本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字
母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根
式的非负性和分母不等于0混淆．
12. 已知 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为___________．
【答案】7
【解析】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】根据根与系数的关系求出 与 的值，然后整体代入求值即可．
【详解】∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴解得 ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：
和 是解题关键．
13. 如图，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器板面上，支撑点 是靠近点 的黄金
分割点，支撑点 是靠近点 的黄金分割点， 之间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．
其比值是一个无理数，用分数表示为 ，由此即可求解．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：弦 ，点 是靠近点 的黄金分割点，设 ，则 ，
∴ ，解方程得， ，
点 是靠近点 的黄金分割点，设 ，则 ，
∴ ，解方程得， ，
∴ 之间的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
14. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点，以 为边作等边三角形 ，
若反比例函数 的图象过点 ，则 的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ，首先联立 求
出 ， ，然后利用勾股定理求出 ， ，然后证【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
明出 ，利用相似三角形 的性质得到 ， ，最后将 代入
求解即可．
【详解】如图所示，过点A作 轴交x轴于点D，过点C作 轴于点E，连接 ，
∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点，
∴联立 ，即 ，
∴解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ， ，
∴点C的坐标为 ，
∴将 代入 得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
15. 在 中， ， ，在边 上有一点 ，且 ，连接 ，则 的
最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作 的外接圆，圆心为 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，过【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
作 ，交 的垂直平分线于 ，连接 、 、 ，以 为圆心， 为半径作圆；
结合圆周角定理及垂径定理易得 ，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、
三角形内角和定理易得 ，从而易证 可得 即 勾
股定理即可求得 在 中由三角形三边关系 即可求解．
【详解】解：如图，作 的外接圆，圆心为 ，连接 、 、 ，过 作 于 ，
过 作 ，交 的垂直平分线于 ，连接 、 、 ，以 为圆心， 为半径作
圆；
， 为 的外接圆的圆心，
， ，
，
，
，
，
在 中，
，
，
，
即 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由作图可知 ， 在 的垂直平分线上，
，
，
又 为 的外接圆的圆心，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
在 中，
，
在 中，
，
即 最小值为 ，
故答案为： ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三
角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质， 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边
之间的关系；解题的关键是结合 的外接圆构造相似三角形．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值； ，其中 为满足 的整数．
【答案】（1） （2） ，
【解析】
【分析】（1）先将二次根式及绝对值、零次幂、特殊角的三角函数化简，然后进行加减运算即可；
（2）根据分式的运算法则化简，然后选择合适的值代入求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ 为满足 的整数且 ，
∴ ，
∴取 ，原式 ．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题
关键．
17. 在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，
艺术活动学生参与面达 ，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中
一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不
完整的统计图．
（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中， ___________， ___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中
选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛
的概率．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1） ，详见图示；
（2） ， ， ；
（3） ；
【解析】
【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用总人数减去其它四项的人数可得到
D的人数，然后补图即可；
（2）根据总数与各项人数比值可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘 即可得出圆心角的
度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式
求解．
【小问1详解】
本次调查的学生总数： （人），
D、书法社团的人数为： (人)，如图所示
故答案为：50；
【小问2详解】
由图知， ，
∴ ，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
用 表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有 2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为 ．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握
列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事
件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．
18. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1， 的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将 向下平移3个单位长度得到 ，画出 ；
（2）将 绕点 顺时针旋转90度得到 ，画出 ；
（3）在（2）的运动过程中请计算出 扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，然后顺次连接即可；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）先作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，然后顺次连接即可；
（3）证明 为等腰直角三角形，求出 ， ，根
据旋转过程中 扫过的面积等于 的面积加扇形 的面积即可得出答案．
【小问1详解】
解：作出点A、B、C平移后的对应点 ， 、 ，顺次连接，则 即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：作出点A、B绕点 顺时针旋转90度的对应点 ， ，顺次连接，则 即为所求，如图所示：
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
根据旋转可知， ，
∴ ，
∴在旋转过程中 扫过的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，
解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．
19. 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子
的长度为 ，当摆角 恰为 时，座板离地面的高度 为 ，当摆动至最高位置时，摆角
为 ，求座板距地面的最大高度为多少 ？（结果精确到 ；参考数据： ，
， ， ， ， ）
【答案】座板距地面的最大高度为 ．
【解析】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】过点A作 于点D，过点A作 于点E，过点B作 于点F，利用
和 的余弦值求出 ， ，然后
利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作 于点D，过点A作 于点E，过点B作 于点
F，
由题意可得，四边形 和四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵秋千链子的长度为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴座板距地面的最大高度为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
20. 如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作 的角平分线交 于点 （不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们
长度为半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交 于点P，则 即为所求；
（2）过点P作 ，根据 和题中条件可求出 的面积，再结合角平分线
的性质即可求解．
【小问1详解】
解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们 长度为半径
画弧，交于一点，过A于该点做射线交 于点P，则 即为所求．
【小问2详解】
解：过点P作 ，如图所示，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题关键是掌握角平线的尺规作图及角平分线的性质．
21. 如图， 内接于 是 延长线上的一点， ，
相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）由 ， 为半径，可知 ， ，则 ，
， ，如图1，连接 ，由 ，可得
，则 ，即 ，进而结论得证；
（2）如图2，记 与 交点为 ，连接 ，过 作 于 ，证明 是等边三角形，
则 ， ，设 半径为 ，则 ，由 ，
，可得 ，证明 ，则 ，即 ，解得 或
（舍去）， 根据 ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，由等边对等角可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：如图2，记 与 交点为 ，连接 ，过 作 于 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
设 半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或 （舍去），
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ 的长为6．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22. 某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜
爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过 元购进豆笋、豆干共 件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该
特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产
店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
（2）有3种进货方案：豆干购进 件，则豆笋购进 件；豆干购进 件，则豆笋购进 件；豆干购
进 件，则豆笋购进 件
（3）购进豆干购进 件，则豆笋购进 件，获得最大利润为 元
【解析】
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进 件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据 n取
整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为 ，根据一次函数的
性质即可求得总利润最大的进货方案．
【小问1详解】
解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则 ，解得 ，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
【小问2详解】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
设豆干购进n件，则豆笋购进 件，
，
解得 ，
∴ 时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件，
时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件，
时， ，即豆干购进 件，则豆笋购进 件．
【小问3详解】
设总利润为W元，豆干购进n件，
则
（ 且n为整数），
∵ ，
当 时，W随n的增大而减小，
∴当 时，W取最大值，为 ．
此时，购进豆干购进 件，则豆笋购进 件，获得最大利润为 元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函
数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
23. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电
流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值 ）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻
之间关系为 ，通过实验得出如下数据：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1） _______， _______；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数 ，结合表格信息，探究函数
的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数 的图象；
②随着自变量 的不断增大，函数值 的变化趋势是_________．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当 时， 的解集为________．
【答案】（1）2，
（2）①见解析；②函数值 逐渐减小
（3） 或【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【小问1详解】
解：由题意， ，
当 时，由 得 ，
当 时， ，
故答案为：2， ；
【小问2详解】
解：①根据表格数据，描点、连线得到函数 的图象如图：
②由图象可知，随着自变量 的不断增大，函数值 逐渐减小，
故答案为：函数值 逐渐减小；
【小问3详解】
解：当 时， ，当 时， ，
∴函数 与函数 的图象交点坐标为 ， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象，如图，
由图知，当 或 时， ，
即当 时， 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数
的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
24. 如图，抛物线 过点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 的最大面积为 ，
（3）存在， 或 或 或 ， ，见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；
（2）利用待定系数法先确定直线 的解析式为 ，设点 ，过点
P作 轴于点D，交 于点E，得出 ，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；
（3）分两种情况进行分析：若 为菱形的边长，若 为菱形的对角线，分别利用菱形的性质及全等三
角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
解：将点 代入解析式得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
设直线 的解析式为 ，将点B、C代入得：
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
设点 ，过点P作 轴于点D，交 于点E，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为 ，
，
∴
【小问3详解】
存在， 或 或 或 ， ，证明如下：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为： ，
设点 ，
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
，
∵
，
∴
∴ ， ；
若 为菱形的边长，菱形 ，
则 ，即 ，
解得： ， ，
，
∵
，
∴
∴ ， ；
若 为菱形的对角线，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
∴
，即 ，
∵
解得： ，
，
∴
∴ ；
综上可得： 或 或 或 ， ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四
边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
25. （1）如图①，在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 落在 上 处，
若 ，求 的值；
（2）如图②，在矩形 的 边上取一点 ，将四边形 沿 翻折，使点 落在 的延长
线上 处，若 ，求 的值；
（3）如图③，在 中， ，垂足为点 ，过点 作
交 于点 ，连接 ，且满足 ，直接写出 的值．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】（1） ；（2）5；（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得 ，设 则
， 中利用勾股定理求得 ，则 ， ，进
而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到 ，证明 ，利用相似三角形的性质
求得 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，
进而求得 ， 可求解；
（3）证明 得到 ，则 ；设 ，
，过点D作 于H，证明 得到 ，在
中，由勾股定理解得 ，进而可求得 ，在图③中，过B作 于G，证明
，则 ， ，再
证明 ，在 中利用锐角三角函数和 求得 即可求解．
【详解】解：（1）如图①，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由翻折性质得 ， ，
在 中， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图②，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由翻折性质得， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，则 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ；
设 ， ，
过点D作 于H，如图③，则 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
在 中， ，
在图③中，过B作 于G，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
