西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题答案_2024年1月_01每日更新_23号_2024届陕西省西安中学高三上学期期末考试

西安中学 2023-2024 学年度第一学期期末考试 理科数学答案 一.选择题（本大题共 12小题，共60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A B D A B C B C C D D 二、填空题：(本大题共 4小题，每小题 5分) 13.3 14. x12  y2 1 （答案不唯一，只要方程满足 xa2 y2 a2a0 即可） 7  15. 15 16.①③④ 三、解答题（本大题共 7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题） （一）必考题：共60分 20151332(5)(10)(18) 5 17.(1)证明： （ ）x   8 2 56.53.53.511.50.5(0.5)(2.5)(3.5) 9 , y   ， （2分） 8 8  n x y nxy 3248 5  9 b ˆ i1 i i  2 8  1 ，aˆ yb ˆ x  9  1  5  1 ， （5分）  n x2nx2 12568( 5 )2 4 8 4 2 2 i 2 i1 1 1 故y关于x的线性回归方程为y x （6分） 4 2 （ ）当树干高度为128cm时，高度偏差x1281208 ， （8分） y 21 8 1 2.5(mm) ， (cm) 4 2 所以树干直径约为2.531.534(mm)， （11分） 即预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为 毫米 （12分） 18.（本小题满分 12分） 34 . （ ）由已知及正弦定理得sinAcosBsinBsinAsinC， （2分） ∵1sinCsinABsinAcosBcosAsinB ∵sinBsinAcosAsinB， sinB0sinAcosA （4分） ∵A0,π ∴A π （6分） 4 . 七模理科数学第 页，共 页 1 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}1 2 2 1 （ ）∵ S  bcsinA bc ∴ bc2 2 （8分） ABC 2 4 2 又 2 ∵ a2 b2c22bccosA ∴2bc2  2 2  bc , （10分） 所以bc2 4,bc2． , （12分） 19.（本小题满分12分） 2 解：（ ）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为 ，所以bc，a 2b， 2 1 x2 y2 ∴椭圆C的方程可设为  1 （2分） 2b2 b2   . 易得A 2,0 ，因为圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为2 2，   O A C 所以点 2, 2 在椭圆上， 2 2 所以  1， 2b2 b2 a2 6 解得 ， b2 3 x2 y2 所以椭圆C的方程为  1 （5分） 6 3 （ ）当过点P且与圆O相切的.切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2 ， 由（2 ）知：M  2, 2  ，N  2, 2  ， 则O  M 1 2,5，O  N    2, 2  ，O  M  O  N  0， ∴OM ON （6分） 当过点P且与.圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm， Mx,y ，Nx ,y ， 1 1 2 2 因为直线与圆相切， 所以 m  2，即m2 2  k21  （7分） k21 . 联立直线和椭圆的方程得x22kxm2 6， ∴  12k2 x24kx2m260 ， 七模理科数学第 页，共 页 2 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#} 4km2 4  12k2 2m2 6  0   4km 所以x x  （8分）  1 2 2k21  2m26 . xx   1 2 2k21   ∵OM x, y，ON x ,y ， 1 1 2 2   ∴OM ON xx y y xx  kx m kx m ， 1 2 1 2 1 2 1 2   1k2 xx kmx x m2 ， 1 2 1 2   1k2  2m26 km 4km m2 ， 2k21 2k21  1k2 2m26  4k2m2m2  2k21  3m26k26 32  2k22  6k26  ，  0 ， 2k21 2k21 2k21 ∴OM ON （11分） 综上所述，圆. O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M ，N ，都有OM ON （12分） . 20.（本小题满分 12分） （ ）设T 是PA中点，连接TN,TD，如下图所示： 在1 ABP中，TN为为中位线，所以：TN  AB,TN  1 AB， （2分） 2 1 又因为：CD AB,CD AB， 2 所以：TNCD,TN CD，所以：四边形CDON 为平行四边形，得：TDCN,TDCN ， 又因为：CN 平面PAD,DT 平面PAD，所以：CN//平面PAD （5分） . （ ）如图，延长AD和BC交于点Q，连接PQ 过点2 B作BM  PQ，垂足为点M ，连接DM . . 七模理科数学第 页，共 页 3 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为：平面PAD平面PBC，平面PAD平面PBC PQ， 所以：BM 平面BDM ， （7分） 因为：AD  BD,AD  BM,BDBM  B，且BM,BD平面BDM ， 所以：AD平面BDM ，所以：BDM 为所求二面角的平面角， （8分） 在PDQ中，PQ PD2DQ22PDDQcosPDQ  5， PQ2DQ2PQ2 52 1 3 得：cosPQD   ， 2PQDQ 2 5 2 10 2 4 所以：DM DQtanPQD ,MB ， （11分） 3 3 BM 2 2 所以：sinBDM   （12分） BD 3 . 21.（本小题满分12分） 3x2 1)解:∵ f 'x ex， 1x2 ( ∴ f 01， f '03， ∴曲线y f x在点 0, f 0处的切线方程为3xy10. （5分） (2)证明:由 f xgx0存在两个正实数根x,x x x ， 1 2 1 2 整理得方程ex ax1x1存在两个正实数根x,x x x . 1 2 1 2 由a0，知x x 1， 2 1 令hxexaxa，则h'xex a， 当xlna时，h'x0，hx在lna,上单调递增; 当xlna时，h'x0，hx在0,lna上单调递减. 所以hx hlna2aalna. min 七模理科数学第 页，共 页 4 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为hxexaxa有两个零点，即2aalna0，得 ae2. （7分） 因为实数x，x是ex ax1的两个根， 1 2 ex1 ax 1 ex1 x 1 所以 1 ，从而 ex1 x2  1 . ex2 ax 2 1 ex2 x 2 1  lnln 令x 1， x 1，则e ，变形整理得 1. 1 2   1 要证xx x x ，则只需证1，即只要证 01， 1 2 1 2   1 1 结合对数函数ylnx的图象可知，只需要证,ln，  ,ln  两点连线的斜率要比,ln，   ,ln两点连线的斜率小即可. 1 lnln lnln  因为 1，所以只要证 1，  1   1 整理得 2ln001. （10分）  令gx 1 x2lnx0 x1，则 g'x 1 1 2  x12 0 ， x x2 x x2 所以gx在0,1上单调递减，即gxg10， 1 所以 2ln001成立，故xx x x 成立. （12 分）  1 2 1 2 （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分 22. （本小题满分 10分） 解：（ ）由题意， 1 xsin y2 在C : （为参数）中，化为普通方程为 x2 1 （3分） 1 y 3cos 3 π π π 在C :cos( )2 2中，coscos sinsin 2 2 ， 2 4 4 4 ∵xcos,ysin， ∴C :x y40 （5分） 2 （ ）由题意及（. ）得， 2 1 七模理科数学第 页，共 页 5 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}  设点P sin, 3cos ，则 P 到直线xy40的距离为： π 2sin( )4 sin 3cos4 3 ， （8分） d    [ 2,3 2] 2 2 π π π 5π 当且仅当sin( )1，即  2kπ,kZ，2kπ (kZ)时， 3 3 2 6 1 3 PQ  2，此时P ,  （10分） min 2 2 . 23. （本小题满分10分） 解：（ ）已知 f x x1 3 x1， 1 2x4,x1,  则 f x4x2,1x1, （3分）  2x4,x1, 则 f x的图象如图所示： 由 f x的图象可知 f x的值域为,2  （5分） 1 . （ ）由 f x0，解得x 或x2 （6分） 2 2 , ,  a 4xa,x ,  a  4 由 4xa 0，解得x y 4xa   ，如下图， 4  4xa,x a , .  4 七模理科数学第 页，共 页 6 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}（8分） 若存在x，使得不等式 f x 4xa 成立， 1 a 则由图象可知，  2，解得2a8 2 4 求实数a的取值范围 2,8  （10分） . 七模理科数学第 页，共 页 7 7 {#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}