西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题答案_2024年1月_01每日更新_23号_2024届陕西省西安中学高三上学期期末考试

西安中学 2023-2024 学年度第一学期期末考试
理科数学答案
一.选择题（本大题共 12小题，共60 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A B D A B C B C C D D
二、填空题：(本大题共 4小题，每小题 5分)
13.3 14.
x12  y2 1
（答案不唯一，只要方程满足
xa2 y2 a2a0
即可）
7

15. 15 16.①③④
三、解答题（本大题共 7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）
（一）必考题：共60分
20151332(5)(10)(18) 5
17.(1)证明： （ ）x  
8 2
56.53.53.511.50.5(0.5)(2.5)(3.5) 9 ,
y   ， （2分）
8 8
 n x y nxy 3248 5  9
b ˆ i1 i i  2 8  1 ，aˆ yb ˆ x  9  1  5  1 ， （5分）
 n x2nx2 12568( 5 )2 4 8 4 2 2
i 2
i1
1 1
故y关于x的线性回归方程为y x （6分）
4 2
（ ）当树干高度为128cm时，高度偏差x1281208 ， （8分）
y 21 8 1 2.5(mm) ， (cm)
4 2
所以树干直径约为2.531.534(mm)， （11分）
即预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为 毫米 （12分）
18.（本小题满分 12分） 34 .
（ ）由已知及正弦定理得sinAcosBsinBsinAsinC， （2分）
∵1sinCsinABsinAcosBcosAsinB
∵sinBsinAcosAsinB，
sinB0sinAcosA （4分）
∵A0,π ∴A π （6分）
4
.
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1 7
{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}1 2 2 1
（ ）∵ S  bcsinA bc ∴ bc2 2 （8分）
ABC 2 4 2
又 2 ∵ a2 b2c22bccosA ∴2bc2  2 2  bc , （10分）
所以bc2 4,bc2． , （12分）
19.（本小题满分12分）
2
解：（ ）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为 ，所以bc，a 2b，
2
1 x2 y2
∴椭圆C的方程可设为  1 （2分）
2b2 b2
  .
易得A 2,0 ，因为圆 在点 处的切线被椭圆 截得的弦长为2 2，
  O A C
所以点 2, 2 在椭圆上，
2 2
所以  1，
2b2 b2
a2 6
解得 ，
b2 3
x2 y2
所以椭圆C的方程为  1 （5分）
6 3
（ ）当过点P且与圆O相切的.切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2 ，
由（2 ）知：M  2, 2  ，N  2, 2  ，
则O  M 1 2,5，O  N    2, 2  ，O  M  O  N  0，
∴OM ON （6分）
当过点P且与.圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，
Mx,y ，Nx ,y ，
1 1 2 2
因为直线与圆相切，
所以 m  2，即m2 2  k21  （7分）
k21
.
联立直线和椭圆的方程得x22kxm2 6，
∴  12k2 x24kx2m260 ，
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2 7
{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}
4km2 4  12k2 2m2 6  0

 4km
所以x x  （8分）

1 2 2k21
 2m26 .
xx 
 1 2 2k21
 
∵OM x, y，ON x ,y ，
1 1 2 2
 
∴OM ON xx y y xx  kx m kx m ，
1 2 1 2 1 2 1 2
  1k2 xx kmx x m2 ，
1 2 1 2
  1k2 
2m26
km
4km
m2 ，
2k21 2k21
 1k2 2m26  4k2m2m2  2k21  3m26k26 32  2k22  6k26
 ，  0 ，
2k21 2k21 2k21
∴OM ON （11分）
综上所述，圆. O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M ，N ，都有OM ON （12分）
.
20.（本小题满分 12分）
（ ）设T 是PA中点，连接TN,TD，如下图所示：
在1 ABP中，TN为为中位线，所以：TN  AB,TN  1 AB， （2分）
2
1
又因为：CD AB,CD AB，
2
所以：TNCD,TN CD，所以：四边形CDON 为平行四边形，得：TDCN,TDCN ，
又因为：CN 平面PAD,DT 平面PAD，所以：CN//平面PAD （5分）
.
（ ）如图，延长AD和BC交于点Q，连接PQ
过点2 B作BM  PQ，垂足为点M ，连接DM .
.
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3 7
{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为：平面PAD平面PBC，平面PAD平面PBC PQ，
所以：BM 平面BDM ， （7分）
因为：AD  BD,AD  BM,BDBM  B，且BM,BD平面BDM ，
所以：AD平面BDM ，所以：BDM 为所求二面角的平面角， （8分）
在PDQ中，PQ PD2DQ22PDDQcosPDQ  5，
PQ2DQ2PQ2 52 1 3
得：cosPQD   ，
2PQDQ 2 5 2 10
2 4
所以：DM DQtanPQD ,MB ， （11分）
3 3
BM 2 2
所以：sinBDM   （12分）
BD 3
.
21.（本小题满分12分）
3x2
1)解:∵ f 'x ex，
1x2
(
∴ f 01， f '03，
∴曲线y f x在点 0, f 0处的切线方程为3xy10. （5分）
(2)证明:由 f xgx0存在两个正实数根x,x x x ，
1 2 1 2
整理得方程ex ax1x1存在两个正实数根x,x x x .
1 2 1 2
由a0，知x x 1，
2 1
令hxexaxa，则h'xex a，
当xlna时，h'x0，hx在lna,上单调递增;
当xlna时，h'x0，hx在0,lna上单调递减.
所以hx hlna2aalna.
min
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4 7
{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为hxexaxa有两个零点，即2aalna0，得 ae2. （7分）
因为实数x，x是ex ax1的两个根，
1 2
ex1 ax 1 ex1 x 1
所以 1 ，从而 ex1 x2  1 .
ex2 ax
2
1 ex2 x
2
1
 lnln
令x 1， x 1，则e ，变形整理得 1.
1 2  
1
要证xx x x ，则只需证1，即只要证 01，
1 2 1 2 
 1 1
结合对数函数ylnx的图象可知，只需要证,ln，  ,ln  两点连线的斜率要比,ln，
 
,ln两点连线的斜率小即可.
1
lnln
lnln

因为 1，所以只要证 1，
 1


1
整理得 2ln001. （10分）

令gx 1 x2lnx0 x1，则 g'x 1 1 2  x12 0 ，
x x2 x x2
所以gx在0,1上单调递减，即gxg10，
1
所以 2ln001成立，故xx x x 成立. （12 分）
 1 2 1 2
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分
22. （本小题满分 10分）
解：（ ）由题意，
1 xsin y2
在C : （为参数）中，化为普通方程为 x2 1 （3分）
1 y 3cos 3
π π π
在C :cos( )2 2中，coscos sinsin 2 2 ，
2 4 4 4
∵xcos,ysin，
∴C :x y40 （5分）
2
（ ）由题意及（. ）得，
2 1
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{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#} 
设点P sin, 3cos ，则 P 到直线xy40的距离为：
π
2sin( )4
sin 3cos4 3 ， （8分）
d    [ 2,3 2]
2 2
π π π 5π
当且仅当sin( )1，即  2kπ,kZ，2kπ (kZ)时，
3 3 2 6
1 3
PQ  2，此时P ,  （10分）
min 2 2
.
23. （本小题满分10分）
解：（ ）已知 f x x1 3 x1，
1
2x4,x1,

则 f x4x2,1x1, （3分）

2x4,x1,
则 f x的图象如图所示：
由 f x的图象可知 f x的值域为,2  （5分）
1 .
（ ）由 f x0，解得x 或x2 （6分）
2
2 , ,  a
4xa,x ,

a  4
由 4xa 0，解得x y 4xa   ，如下图，
4  4xa,x a ,
.  4
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{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}（8分）
若存在x，使得不等式 f x 4xa 成立，
1 a
则由图象可知，  2，解得2a8
2 4
求实数a的取值范围 2,8  （10分）
.
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{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}