文档内容
新高二开学摸底考试卷（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：必修第二册+第三册第10章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知复数 ， （i是虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】直接计算可得答案.
【详解】 .
故答案为： .
2．已知扇形的周长为6，则面积 ，该扇形的圆心角大小为 弧度.
【答案】2
【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可.
【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该扇形的圆心角大小为2弧度.
故答案为：2.
3．函数 的最小正周期为 ．
【答案】 /
【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得.
【详解】由正切型函数性质可知 .故答案为： .
4．设向量 ，则 在 方向上的数量投影为 .
【答案】
【分析】根据数量投影的概念和公式可解．
【详解】 在 方向上的数量投影为 ．
故答案为：
5．方程 在 内的解为 .
【答案】 /
【分析】由 在 上单调递减求解即可.
【详解】设 ， ，则函数在 上单调递减，
又因为 ，
所以方程 在 内有唯一解为 .
故答案为： .
6．已知复数 是实系数二次方程 的一根，则b= .
【答案】
【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解.
【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故 都是方程 的
解，
所以 , .
故答案为： .
7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高
度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下
夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.【答案】3.2
【分析】作 于 ，设 ，根据两角差的正切公式，结合不等式求 的最大值，并
确定对应的 即可.
【详解】如图：作 于 ，设 ，
则 ， .
所以 （当
且仅当 时取“ ”）
又 ，故 （米），
故答案为：3.2
8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则 ．
【答案】 /
【分析】由正弦定理可得 ，再利用 化简可得
，再结合两角差的正弦公式求解即可．
【详解】 ，
，
由正弦定理得， ，
，
，
，
又 ， ，
，
即 ，，
，
又 ， ，
，即 .
故答案为： .
9．已知 是空间的两条不同直线， 是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 .
①． ，则 ②． ，则
③． ，则 ④． ，则
【答案】①④
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断.
【详解】对①，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，①正确；
对②，由 ，可得 或 ，②错误；
对③，由 ，可得直线 与平面 的位置关系可以是平行或相交，③错误；
对④，因为 ，所以 ，④正确；
故答案为：①④.
10．函数 的部分图像的示意图如图所示，已知
，且 ，则 ．
【答案】
【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得 ，代入计算即
可得解.
【详解】由图可得 ，又 ，故 ，，又 ，故 ，
则有 ， ，即 ， ，
又 ，则 ，即 ，
由 ，则 ，
即 ，
故 或 ， ，
即 或 ， ，
又 ，故 ，
则 .
故答案为： .
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面
PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．
【答案】45°
【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
求解即可.
【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD，
又因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，
于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
⊂
因为PA⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，PA⊥AD，
又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，
⊂于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．
故答案为：45°．
12．在锐角 中， ，它的面积为10， ， ， 分别在 、 上，且满足
， 对任意 ， 恒成立，则 .
【答案】
【分析】根据三角形面积求得 ，根据两不等式恒成立，判断 ， ，再由
，结合三角形 和三角形 面积公式，推出 和 ，最后根据向量数
量积的定义式即可求得.
【详解】因 的面积为10，且 ，则有 ，解得 ，
由图知 表示直线 上一点到点 的向量，
而 则表示直线 上一点到点 的距离，
由 对任意 恒成立可知， 的长是点 到直线 上的点的最短距离，
故易得，此时 ,同理可得 .
如图所示,因 ，由 可得： ，
由 可得： ，
由锐角 可得 是锐角，故 是钝角，
于是 ，
于是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题.
处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个
正确选项)
13．下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点 ， ， 平面 ，且 ， ， 平面 ，则平面 与平面 为同一平面
【答案】C
【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．
【详解】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，
故A错误；
对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误；
对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可
以确定一个平面，故C正确；
下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．
证明：如图为四边形 ，其中 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
连接 ， ， ，
由 ， 为 ， ，则 ，且 ，同理 ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形．
对于D，当点 ， ， 在一条直线上时，平面 和与平面 也可能相交，故D错误．
故选：C．
14．已知向量 ， ，则下列结论：
①.若 ，则
②.若 ，则③.若 与 的夹角为 ，则
其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【分析】根据向量共线的坐标表示判断①，根据数量积的坐标表示判断②，首先求出 、 ，再根据
数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律判断③.
【详解】向量 ， ，
若 ，则 ，解得 ，故①正确；
若 ，则 ，解得 ，故②正确；
因为 ， ，
若 与 的夹角为 ，则 ，
故 ，故③错误.
故选：B
15．若 ， ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的正切值及 的取值范围，即可得出 的值.
【详解】因为 ， ，则 ，
又因为 ，则 ，
由二倍角正切公式可得 ，
所以， ，
因为 ， ，则 ，即 ，因此， .
故选：B.
16．已知 是定义在复数集上的 次实系数多
项式（ 是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数 是 的根，即 ，那么 也是 的根，即 ；
② 可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题
【答案】A
【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知 的虚数根成对出现，
且互为共轭复数，即可判断②.
【详解】因为 是 的根，所以 ，
所以 ，
于是 ，
即 ，
所以 是 的根， ，故①正确;
由①可知，若虚数 满足 ，则 也满足 ，
所以 的虚数根成对出现，且互为共轭复数，
所以 可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确.
故选： .
【点睛】关键点点睛：由 根据复数的运算及共轭复数的概念可得
是解题的关键.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20题16分，第21题20分.)
17．在 中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c， ， .
(1)若 ，求A和 外接圆半径R的值；
(2)若三角形的面积 ，求c.【答案】(1) ， ；
(2) 或 .
【分析】（1）由题可得 ，利用正弦定理即求；
（2）利用三角形面积公式可得 ，再利用同角关系式及余弦定理即求.a
【详解】（1）因为 ，则 ，且 .
由正弦定理，得 ，即 ，
即 ， ，
因为 ，所以 ，
因此 ， ；
（2）由 得 ，
于是 .
当 时，由余弦定理，得 .
当 时，由余弦定理，得 .
所以， 或 .
18．如图，点 是单位圆与 轴正半轴的交点，点 在单位圆上， （ ），
，四边形 的面积为 ．(1)求 的最大值及此时 的值 ；
(2)设点 的坐标为 ， ，在（1）的条件下，求 的值．
【答案】(1)最大值是 ，此时 .
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义可得 点坐标，根据向量数量积可得 ，根据向量加法几何意
义得四边形 为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数 化为基本三角函数
形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；
（2）由三角函数定义可得 的正切值，结合两角和的正切公式可得 ．
【详解】（1）由题意知 的坐标分别为 ， ．
，
.
由题意可知 .
， .
所以 ，故 时 ，
的最大值是 ，此时 .
（2） ， ，
.
.
19．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ， 、 分别是 、
的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 、 、 ，然后四边形 为平
行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；
（2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.
【详解】（1）证明：取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 、 、 ，
则 ， ，
又底面 是正方形，即 ，
则 ，即四边形 为平行四边形，
则 ，又 在平面 外， 平面 ，
故 平面 .
（2）取线段 的中点为 点，连接 、 ，
又 ，底面 是边长为 的正方形，则 ，且 ， ，
又二面角 的大小为 ，
即平面 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ，
则 是直线 与平面 所成角，
在 中， ，
即 ，
故直线 与平面 所成角的大小为 .
20．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地 分隔成三
部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为 米， ，动点 在
扇形 的弧上，点 在半径 上，且 .
(1)当 米时，求分隔栏 的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角 的面
积 的最大值.
【答案】(1) 米
(2) 平方米
【分析】（1）首先求出 ，在 中，利用余弦定理求出 ；
（2）在 中，先利用正弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合
三角函数的性质即可得解.【详解】（1）因为 ，所以 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 的长为 米；
（2）因为 ， ，
设 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所有 ，
则
，
当 ，即 时， 面积取得最大值，最大值为 平方米.
21．对于函数 （ ），若存在非零常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，
我们称函数 为“ 函数”，若对任意的 ，都有 成立，则称函数 为“严
格 函数”．
(1)求证： ， 是“ 函数”；
(2)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围；
(3)对于定义域为 的函数 ， ．函数 是奇函数，且对任意的正实数 ， 均
是“严格 函数”．若 ， ，求 的值
【答案】(1)证明见解析
(2)(3)0
【分析】（1）取非零常数 ，证明函数满足 即可；
（2）根据函数 是“ 函数”，可推出 恒成立，化简
为 ，结合余弦函数性质可得答案；
（3）由“严格 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合 是奇函数，利用其对称性即可
求得答案.
【详解】（1）证明：取非零常数 ，
则对任意的 ，都有 ，
因为 ，即 成立，
故 ， 是“ 函数”.
（2）函数 是“ 函数”， ，
则 ，即 ，
整理得 ，而 ，
故 ，
即 的取值范围为 ；
（3）因为对于任意 ，对任意的 ，都有 成立，
则 在R上为单调增函数，
令 ， ，由题意知 为奇函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，则 .
【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理
解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.
