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2022-2023 学年高三年级摸底考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D C D B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD ACD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． （只要 均可以）；14． ；15．1；16． ．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）因为： ，
由正弦定理得： ，又因为 ，
所以 ；
（2）记 的中点为 ，则 ，
设 ，因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
1所以 ．
18．【解析】
（1）由频率分布直方图知：
2，
所以 ．
（2）按比例分层抽样抽取7人，
成绩在 ， 的人数分别为3人，4人．
所以 的所有可能取值为： ；
则 ， ，
， ；
则 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望为： ．
19．【解析】
（1）由 得： ，
又因为 ，则 ，且 ，
所以 是首项为1公差为1的等差数列，
所以 ．
（2）因为， ，
所以 ，
，
两式相减得：
2，
所以 ．
20．【解析】
3（1）因为 分别为 的中点，所以 ；
因为 ，所以 ，
取 中点为 ，连接 ，
因为 为正三棱锥，所以 ，且 ，
所以 平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ；
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 点 到平面 的距离为 ．
（2）如图，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
z
设平面 的法向量为 ， C
D
M
由 ，解得 ， N
B
P
y
令 ，得 ，
A x
， ，
设平面 的法向量为 ，
3由 ，解得 ，
令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
4所以 ，
所以 平面 与平面 夹角为余弦值为 ．
21．【解析】
（1）抛物线 的焦点为 ，即 ，
椭圆上的点 到点 的最大距离为 ，所以 ， ，
所以 椭圆方程为 ．
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 ， ， ，
直线 的方程为 ，
即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以 点 的坐标满足方程 ，
所以 直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
4所以
，
5点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
因为 ，
由已知可得 ，
所以 当 时， 面积的最大值为 ．
22．【解析】
（1）由题意知 ，
，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ．
（2）注意到 ，
，则 ，
若 ， ，
由（1）知，当 时， ；
当 时，
，
5所以 恒成立，符合题意；
若 ， ，
当 时， ，不合题意；
若 ，因为 ，
6所以 在 上单调递增，
因为 ，又 ，
所以 存在 ， ，
当 时， ，
在 上单调递减， ，不合题意；
综上， ．
6
