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绝密★启用前
重庆市高三数学考试
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ＜ ,则
A. B. C. D.
= { | >1}, ={ |−1 3 −1<8} ∩ =
2.已知 ，则 在复平面内对应的点位于
(1,3) (0,1) (1,+∞) (3,+∞)
A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限
=2−
3.若数列 的通项公式为 则
1
A.数列{ } }是首项为 =，公−比2 为, 的等比数列
1 1
B.数列{ ₙ+ ₙ₊₁}是首项为 4 公比为2 的等比数列
1 1
C.数列{{ ₙ++ ₙ₊₁是首项为－−，4,公比为−的2等比数列
1 1
D.数列{ + +1}是首项为－4，公比为2－ 的等比数列
1 1
+1} 2 2
4. 的展开式中， 的系数为
A.－10 5 B 2 .10 3 C.－40 D.40
(2 − )
5.牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.牛皮鼓的制作工艺考究，有数十
道工序，包括处理牛皮、刨制鼓腔、蒙皮、拉皮、钉钉，每道工序都考验着手艺人的技艺和耐心，如
图所示的牛皮鼓的鼓面直径为50cm，鼓身高度为60cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆
的最大直径为60cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该
牛皮鼓的体积为
A.22750
B.23750
³
C.45500
³
D.47500
³
6.若 ,则
³
A. =log₃6, =2, = B lo . g0.250.125 C. D.
7.设曲 线> > 在 > k >处 的切线为 ，若 >的 倾>斜 角小于 ，>则 >的 取值范围是
= ³−2 ²+1 = 135°
1 1 4
A. −∞3 ∪ 1+∞ B. −∞0 ∪ 31 ∪ 3+∞
1 4 1 4
8.已C.知−椭∞圆3 ∪ 3+∞ ＞ 的左、右D.焦−点∞分0别∪为31 ∪,点3+P在∞C上,且
2
,直线 : 2 与 + C 交 2 = 于 1 另 ( 一点 Q > ， 0) 与 轴交于点 ，若 ₁, 2 则C的离 心 率 ₁⊥
₁ ₂ ₂ 2 =2 2 Q ,
3 3 4 7 21
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
A. 7 B.7 C. 3 D. 7
【高三数学 第1页(共4页)】题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数 则
A. 的 最小=正sin周期 +为4 , B. 的图象关于直线 对称
5
( ) D. ( )的图象关于点 = 4 对称
5
10C.有
.
一
组
+
样
本
−
数
据
=
，
2cos
，
…， ，其中任何两个
(
数
)
都不相等，现在
−
删
4
去
,
其
0
中一个数据，得到一组新数据，则下
列判断正确的是
1 2 8
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的方差大于原数据的方差
D.若新数据的平均数等于原数据的平均数，则新数据的20%分位数小于原数据的
20%分位数
11.已知定义在R上的函数 满足 = ,定义在R上的函数g 满
足 ,则
( ) ( + ) ( )+ ( ) ( )
A. 不是奇函数. B. 既是奇函数又是偶函数
g( +1)=( +1)( ²+2 )
C.g ( ) 是奇函数 D.g ( ) 既不是奇函数又不是偶函数
12.如图 ( ,在 ) 三棱锥 中,平面 平面 , ( ) , 则
A.三棱锥 −的 体 积为6 ⊥ = = = =3 =2,
B.点 到直 线− 的 距离为
34
C.二 面角 － － 的正切值2 为
3 6
D.三棱锥 外 接球的球心到4平面 的距离为
3
三、填空题：本 题−共 4 小 题，每小题5分，共20 分 . 2
13.若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ .
14.在矩形 中， 为对角线的交点， 为 上一点，且向量 在向量 上的投影向量，为
1
则 , λ- μ = ▲ . 3 , = +
15.已知圆 与圆 内切，且圆 与直线 相切，则圆 的圆心的轨迹方程为 ▲ .
,
16.已知 则当 取得最大值时, .
: ²+ ²=1 =2
tan2
四、解答题： 本∈题4共26,小题， 共 2700分−. 解 答 应写出文字说明ta、n 证=明过▲程或演算步骤.
17.(10分)
如图,在正方体 － 中, 为 的中点,
(1)证明: ∥ 平 面 ₁ . ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ 1 =2 1 , 1 =2 1 .
(2)求直线
1 1
与平面
所成角的正弦值的平方.
【高三数学 第2页(共4页)】18.(12分)
在 中,
(1)△ 若 + 求 = 的 11 长 ,; = 6− 2.
4
(2)若 cos =,5, 为 延长线上一点, 为 边上一点,且 , ,求
的面积，
=2 = 3 = 7
△
19.(12分)
艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置(如键盘)向被测试者
随意提问.已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器(记为 )和一个人(记
为 )各提出一个问题，并根据机器 和人的作答来判断谁是机器，若机器 能让至少一半的测试者产生误判，
则机器 通过本轮的图灵测试.假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提 问互不相同，
而每 名测试者有60%的可能性会向 和 问同一个题.当同一名测试者提出的 两个问题相同时，机器 被误判的
可能性为 10%，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器 被误判的可能性为35%.
(1)当回答一名测试者的问题时，求机器A被误判的概率；
(2)按现有设置程序，求机器A通过本轮图灵测试的概率.
20.(12分)
已知 为数列{ }的前 项和
(1)证 明 : , ₁=1, ₙ₊₁+ ₙ= +1 ².
(2)求{ }的通项公式.
ₙ₊₁+ ₙ=2 +1.
(3)若 求数列 的前 项和 .
1−
= 2 +1 , { ₙ} ₙ
21.(12分)
已知抛物线 : 经过点(2,－2 ),直线 : 与 交于 ， 两点(异于坐标原点 ).
(1)若 证明：直线 过定点.
²=2 6 ₁ = + ( ≠0)
(2)已知
⋅
,直
=
线
0,
在直线 的
₁
右侧, ∥ ， 与 之间的距离 交
于 , 两点，试问是否存在 ，使得 － 若存在，求 的
=2 ₂ ₁ 1 2 1 ₂ = 5, 2
值；若不存在，说明理由.
| ∣ | |=10?
【高三数学 第3页(共4页)】22.(12分)
已知函数
1 2
(1) 当 时 ,求=cos 的 单+2 调 区−间1;.
(2)若 是 的极大值点,求 的取值范围.
=1 ( )
=0 ( )
【高三数学 第4页(共4页)】
