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3.2.2 双曲线的简单几何性质（同步练习）
一、选择题
1.若实数k满足0＜k＜5，则双曲线－＝1与双曲线－＝1的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
2.若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A.(，＋∞) B.(，2)
C.(1，) D.(1,2)
3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，
则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
4.过双曲线－＝1的右焦点F 作垂直于实轴的弦PQ，F 是左焦点，若∠PF Q＝
2 1 1
90°，则双曲线的离心率是( )
A. B.1＋ C.2＋ D.3－
5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在 x轴上，与直线 y＝x交于 A，B 两
点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
6.设点F ，F 分别是双曲线 C：－＝1(a>0)的左、右焦点，过点 F 且与x轴垂
1 2 1
直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF 的面积为2，则该双曲线的
2
渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
7.(多选)关于双曲线C ：4x2－9y2＝－36与双曲线C ：4x2－9y2＝36的说法正确
1 2
的是( )
A.有相同的焦点 B.有相同的焦距
C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线
二、填空题
8.若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________
9.以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________
10.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为 y＝±x，则该双曲线的标准方程为
________
11.已知 F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段 F F 为边作正
1 2 1 2
△MF F ，若边MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________
1 2 112.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近
线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________
三、解答题
13.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的
两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直
平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
15.(1)过点P(，5)与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出
它们的方程；
(2)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，
A，B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？参考答案：
一、选择题
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.D 7.BD二、填空题
8.答案：2，y＝±x 9.答案：－＝1 10.答案：－y2＝1
11.答案：1＋ 12.答案：
三、解答题
13.解:椭圆C：＋＝1的两焦点为F(－5,0)，F(5,0)，
1 2
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2
＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3，∴＝3，∴a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为－＝1.
14.解:(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.所以所求双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x ，y)，N(x ，y)．
1 1 2 2
联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x，y)，则x＝＝，y＝x＋m＝，
0 0 0 0 0
所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±.
15.解:(1)若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时直线与双曲线仅有一个交点(，
0)，满足条件．
若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，
代入双曲线方程，得－＝1，∴25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，
∴(25－7k2)x2－7×2k(5－k)x－7(5－k)2－7×25＝0.
当k＝时，方程无解，不满足条件．
当k＝－时，方程为2×5x×10＝875，有一解，满足条件．
当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知无解，
所以不满足条件．
所以满足条件的直线有两条，方程为x＝和y＝－x＋10.
(2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1中整理，得(3－a2)x2－2ax－2＝0.①
当a≠±时，Δ＝24－4a2.
当Δ>0，即－0，解得a<－或a>.故当－
