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第五章 函数的应用（二）
4.5.1 函数零点与方程的解
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练）函数 的零点所在区间为( )
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
【解析】由函数f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f
（2）<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选B．
2．（2019·全国高一课时练）函数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则x2﹣4≥0，即x2≥4，x≥2或x≤﹣2．由f（x）＝0得x2﹣4＝0或x2﹣1＝
0（不成立舍去）．即x＝2或x＝﹣2，∴函数的零点个数为2个．
3．（2019·全国高一课时练）函数 f(x)＝|x|－k 有两个零点，则( )
A.k＝0 B.k>0
C.0≤k<1 D.k<0
【答案】B
【解析】令 ，变为 ，画出 和 的图像如下图所示，由图可知 可以取
任何的正数，故选B.4．（2019·全国高一课时练习）已知函数f（x）、g（x）：
x 0 1 2 3
f（x） 2 0 3 1
x 0 1 2 3
g（x） 2 1 0 3
则函数y=f（g（x）的零点是
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】由题意，函数 的零点，令 ，可得 ，解得 ，选B．
5．（2019·全国高一课时练）设函数 与 的图象的交点为 ，则 所
在的区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令 ，则 ，故
的零点在 内，因此两函数图象交点在 内，故选C.
6．（2019·全国高一课时练）若函数 的两个零点是2和3，则函数
的零点是( )
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和【答案】B
【解析】因为函数 的两个零点是2和3，所以 的两根为2和3，因
此有 ，所以 ，于是
或 ，所以函数 的零点是 和 ;
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）已知函数 的图象是连续不断的曲线，有如下的 与 的
对应值表：
那么，函数 在区间 上的零点至少有
【答案】3
【解析】观察对应值表可知，f (x)=x，f (x)=x，f (x)=x，f (x)=x，f (x)=x，f (x)=x，
f (x)=x，∴函数(0,1)在区间(0,1)上的零点至少有3个.
8．（2019·全国高一课时练习）设 是方程 的解，且 ，则
________.
【答案】
【解析】令 ，且 在 上递增，
， 在 内有解， ，故答案为 .
9．（2019·全国高一课时练）已知二次函数数 的图象与 轴有两个交点，且只有一个交点在区间 上，则实数 的取值范围是 __________.
【答案】
【解析】由函数图象与 轴只有一个交点在区间 上，所以当 时和当 时函数值
异号，得 ，即 ，解得 或 ;
10．（2019·全国高一课时练习）已知函数 ．若g（x）存
在2个零点，则a的取值范围是
【答案】[–1，+∞）
【解析】：画出函数 的图像， 在y轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线
与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，
也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练）函数 在R上无零点，求实数a的取值范围．
【答案】（–4，0]【解析】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，∴ ＝
a2+4a<0，解得–4 .故b的取值范围是b> .
