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2024届新高题型第三讲：函数及函数基本性质
1.（11）. （多选）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则
（ ）
.
A B.
C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数
【答案】ABD
【解析】
【详解】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
令 ，则有 ，
即 ，故函数 是奇函数，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
有 ，即 ，
即函数 是减函数，
令 ，有 ，
故B正确、C错误、D正确.
故选：ABD.
2.（14）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知 或 ，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】令 其中 ，
所以 ，
若 ，则 ，故 ，
令 ，
因此 ,故 ,则 ，
若 ，则 ，即 ，
，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ,故 ,则 ，
当且仅当 且 时等号成立，
如取 时可满足等号成立，
综上可知 的最小值为 ，
故答案为：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：函数的概念
【典例例题】
例1.（2024春·陕西）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域为B，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 且 ，
可得 的值域 ．
故选：B.
【变式训练】
1.（2024春·陕西西安）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】函数 ，则 ，
所以 .
故选：A
2.（2024春·福建开学考试）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围为
．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】
【详解】当 时，
若 ，可得 ；
若 ， ，函数 的值域不可能为 ；
②当 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，
若函数 的值域为 ，只需 ，可得 ．
由上知，实数a的取值范围为 ．
故答案为：
3．（2024春·江苏常州·高三统考期末）已知函数 若 ，则实数 的值
为 ．
【答案】
【详解】 ， ， ．
故答案为：
题型二：函数的基本性质
【典例例题】
例1.（2024春·陕西）已知定义在 上的函数 ，满足 ，且 ．
若 ，则满足 的x的取值范围是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为定义在 上的函数 ，满足 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ．
因为 在 上单调递减，
所以 ，得 ，
故选：A．
【变式训练】
1.（2024春·浙江嘉兴）己知函数 的图象关于点 对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的图象关于点 对称，
所以函数 的图象向右平移1个单位，
向下平移一个单位后函数的图象关于点 对称，
即可得 .
故选：D
2.（2024春·浙江宁波）已知 是奇函数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】因为 是奇函数，可知 定义域关于原点对称，
由 ，可得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
显然 ，则 且 ，可得 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，
则 ，解得 ,
此时 ,
且 ，
即 ， 符合题意，
所以 .
故选：D.
3.（2024春·甘肃）已知 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递减，
所以 在 上单调递增；
，即 ；
令 ，
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 .
而 在 上单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故有 ，即 .
故选：A.
4.（2024春·甘肃）（多选）已知函数 （ ，其中 表示不大于 的最大整数），
则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
【答案】BD
【详解】由题意， 表示不大于 的最大整数，则 ，
所 以
则函数 是以3为周期的函数，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
又 是以 3为周期的函数，则 的值域为 和D均正确； ，所以
，故 不是奇函数，A错误；
当 时， ，故 在 上无单调性，C错误.
故选：BD.
题型三：基本初等函数
【典例例题】
例1．（2024春·四川成都）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于函数 ，定义域为R，满足 ，
得 是奇函数，且在R上为减函数.
在 上恒成立， 在 上恒成立，
在 上恒成立， 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即a的取值范围为 ，
故选：D.
【变式训练】
1．（2024春·江苏南京）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.
在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表
示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模
型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到
0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
【解析】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
2.（2024上·山西运城·高三统考期末）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，即 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
且 ，则 ，
所以 .
故选：D
3.（2024春·湖北）已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在同一坐标系中画出函数 的图象和函数 的图象，
设两图象交于点A，且点A的横坐标为 .
由图象可得满足 的实数a的取值范围为 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对于 ，由 ，得 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
故选：C.
4.（2024春·陕西西安）已知函数 若 ，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，作出 的大致图象，如图所示，
要使得 ，
即函数 与 的图象有4个不同交点，则 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：A.
题型四：抽象函数的性质
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙）（多选）定义在 上的函数 满足： ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
且 ， ，当 时， ，则（ ▲ ）.
A. B. C. D.
【答案】ACD
【变式训练】
1.（2024春·福建福州）（多选）已知定义域为R的函数f (x)，满足 f (x+ y)=f (x)f (y)−f (2−x)f (2−y)，
且f (0)≠0，f (−2)=0，则（ ）
A．f (2)=1 B．f (x)是偶函数
2023
C．[f (x)) 2 +[f (2+x)) 2 =1 D．∑❑f (i)=−1
i=1
【答案】BCD
【详解】对于A项，由f (x+ y)=f (x)f (y)−f (2−x)f (2−y)，
令x= y=1，则f (2)=[f (1)) 2 −[f (1)) 2 =0，故A项错误；
对于B项，令x= y=0，则f (0)=[f (0)) 2 −[f (2)) 2 =[f (0)) 2 ，
因f (0)≠0，故f (0)=1，
令y=2，则f (x+2)=f (x)f (2)−f (2−x)f (0)=−f (2−x)①，
知函数f (x)关于点(2，0)成中心对称，
令x= y=2，则f (4)=[f (2)) 2 −[f (0)) 2 =−1，
令y=4，则f (x+4)=f (x)f (4)−f (2−x)f (−2)=−f (x)②，
由①可得：f (x+4)=−f (−x)③，由①③可知：f (−x)=f (x)，
且函数f (x)的定义域为R，则函数f (x)是偶函数，故B项正确；
对于C项，令y=−x，则f (0)=f (x)f (−x)−f (2−x)f (2+x)，
因为f (0)=1，f (−x)=f (x)，f (x+2)=−f (2−x)，代入上式中得，
2 2
故得：[f (x)) +[f (2+x)) =1，故C项正确；
对于D项，由上可知：f (x+4)=−f (x)，则f (x+8)=−f (x+4)=f (x)，
故函数f (x)的一个周期为8.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
令x=2，y=1，则f (3)=f (2)f (1)−f (0)f (1)=−f (1)，即有f (3)+f (1)=0，
因函数f (x)是偶函数，故有f (−3)+f (−1)=0，
由函数f (x)的一个周期为8，则f (5)+f (7)=f (−3)+f (−1)=0，
由上知：f（2）=0,f (4)=−1,f (6)=f (−2)=0,f (8)=f (0)=1，
于是：f(1)+f(2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)+f (7)+f (8)=0+0+(−1)+0+0+1=0，
2023
则∑❑f (i)=253×0−f (2024)=−f (8)=−1，故D项正确.
i=1
故选：BCD.
2.（2024春·广东省）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若函数 为奇函
数，函数 为偶函数， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 为奇函数可得 ，即 ，
，即 ，即 ，
所以函数 的图像关于直线 对称，
由 是偶函数可得 为奇函数，
，
即 ，
所以函数 的图像关于点 对称；
将 代入 ，得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
将 代入 ，得 ，B选项正确；
将 代入 得 ，得 ，A选项错误；
，C选项正确；
将 代入 ，得 ，故 ， ，D选项错误.
故选：BC.
3．（2024春·湖北武汉）（多选）已知函数 ， 的定义域为R， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列一定成立的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【解答】
解： 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，故 ．
对于 A，由 ，代入
，得 ，
又 是 奇 函 数 得
， 所 以
是周期函数，且周期为4， ，故A正确；
对选项B，令 得， ，令 得， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故 ，故B正确；
对选项 C：令 得 ，即
，
若 ，则 ，
但 不一定为0，故C错误；
对 选 项 D ： 令 得 ， ， 故 ，
，所以 ．
令 ，得 ，则
，
由 是以4为周期得 ，
∴ ，故D正确．
故选ABD．
4.（2024春·九省联考）已知 不是常数函数，且满足： .①请写
出函数 的一个解析式_________；②将你写出的解析式 得到
新的函数 ，若 ，则实数a的值为_________.
【答案】 ①. （答案不唯一，形如 ，是周期为 的奇函数均可）
②. 0或2
【解析】
【详解】由 ，可知函数 为奇函数，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 ，即 ，
可知，函数是周期函数，周期为 ，
函数 的一个解析式为 ；
设 ，定义域为 ，
且 ，
所以函数 也是奇函数，
则 ，
则 ，由题意可知， ，
解得： 或 .
故答案为： （答案不唯一，形如 ，是周期为 的奇函数均可）；0或2
题型五：函数与方程
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙）已知三个函数 ， ， 的零点依
次为a，b，c，则 （ ）.
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【变式训练】
1.（2024春·江苏南通）已知函数 ，函数 有三个不同的零点 ，
， ，则 的取值范围是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】作出函数 的图象如图，
不妨设 ，则 有三个不同的根，则 ，
当 时， ，得 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
设 （ ），则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：C．
2 ． （ 2024 春 · 湖 北 武 汉 ） 已 知 是 定 义 在 上 的 单 调 函 数 ， 满 足
，则函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【解答】
解：根据题意，对任意的 ，都有 ，
又由 是定义在 上的单调函数，
则 为定值，
设 ，
则 ，
又由 ，
即 ，
解得 ，
则 ，
，可得 在 上递增，
，
，
则 在 上有零点．
故选：C．
3．（2024春·山东烟台）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，
则方程 实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
综上 ，
当 时，令 无解；当 时，令 解得 ；
当 时，令 无解；当 时，令 解得 ；
当 时，令 ，解得 ，
综上 实数根的个数为 个，
故选：C
4.（2024春广东省）若 ，设 的零点分别为 ，则 ，
.（其中 表示a的整数部分，例如： ）
【答案】
【详解】令 ，则 ，利用对数恒等式，原式等价变为：
，
下令 ，于是 ，由 可知 在 上递减，
上递增，在 取到极小值 ， ， 且 ， ，
可作出 大致图像如下：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
结合图像， 可能有如下情形：
由 的单调性可知，若 均在 中的一种时，则有 .
记 ， ，即 在 上递增，由 ，则
，故 ，使得 ；
显然 在 上递增，由 ，故 时， ，故 时，
；
又 ，故 ，使得 ，故 时 ；
不可能 均满足 ，事实上，由 ，得到 ，
这与 矛盾.
于是 时，由 可以推出： .
设 ， ，由 在 上单调递增，故 在
上单调递增，又 ， ，即 ，故 ，使得 ，且
时， ， 递减， 时， ， 递增，故
，由 ，可得 ，由
，根据基本不等式， （等号取不到），故 ，又更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
， ，故存在 ，使得 ；
，显然 ，故 ，即 ；
，显然 ，故 ，即 .
由 ，故 ，使得 .
注意到 ，故 .
综上讨论，当 时原方程有两个根： ， ；
虽说 ， ，根据上述讨论， 在 上无实根.即
时， 有两个零点： ， .
当 时， ，而 时， ， ，而 在 处无定义，
不可能有 ，即 时， 无零点；
当 时，注意到 且 时， ，又 ，故
时， 存在零点 ，即 ，使得 ，若 ，且 ，不
妨设 ，由于 均在 上单调递增，故 ，
， 在 上递减，在 递增，故
，于是 是唯一实根.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综上所述，原函数有 ， ， 三个零点， .
故答案为：
题型六：函数的图像识别
【典例例题】
例1.（2024春·全国新高考）函数 图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】定义域为 ， ，
故该函数为偶函数，故可排除B、D，
当 时，有 ，故可排除A.
故选：C.
【变式训练】
1．（2024春·河北邢台）已知函数 ，则函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 的定义域为 ，所以 的定义域为 ，所以排除A，
C．
因为 ，所以 ，所以排除B．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：D
2.（2024春·重庆）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，则 的定义域是 ，排除B；
分子分母同时除以 得 ，
，
所以函数 是奇函数，排除C；
，
∵ ，∴ ，排除D，
故选：A．
3．（2024春·江苏镇江）函数 的图象如图所示，则（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，所以 的定义域为 ，
由图可知 ，得 ，
令 ，则 ，得 ，
由图可知 ，得 ，
令 ，得 ，由图可知 ，得 ，
所以 ，
综上， ， ， ，
故选：D
4.（2024春·天津）如图为函数 的大致图象，其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对A，因为 ，与图象不符，故A错误；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对B， ， ，所以函数 是奇函
数，这与图象不符，
故B错误；
对D，当 时， ， ，所以此时 无零点，与图象不符，故D错误.
故选：C.
一、单选题
1．（2024春·安徽）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，
即 在在区间 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
综上， ，
故选：D.
2．（2024春·江苏镇江）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数．令函
数 若存在唯一的整数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范
围为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 为奇函数， 为偶函数,
， ，
两式相减整理得 ，
的图象如图所示：
存在唯一的整数 ，使得不等式 成立，
即存在唯一的整数 ，使得不等式 成立，
当 时， ，显然不成立；
当 时，需满足 只有一个整数解，
， ，则 ，即 ；
当 时，需满足 只有一个整数解，
， ， ，则 ，即 .
综上，实数 的取值范围为 .
故选：B.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
3．（2024春·黑龙江）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
令 ，则 对任意的 恒成立，
当 时， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，
因为 ， ，
，
又因为 在 上单调递减，则 ，
即 ，故 .
故选：C.
4．（2024春·湖南常德）党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”
的新部署．某企业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计 年人均增加 元收入，以后每年将在
此基础上以 的增长率增长，则该企业每年人均增加收入开始超过 元的年份大约是（ ）
（参考数据： ， ， ）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
【答案】D
【详解】从 年起，第 该企业人均增加收入超过 元，
因为从 年起，每年将在此基础上以 的增长率增长，
所以，第 年该企业的人均增加收入为 元，由 ，即 ，
可得 ，所以， ，
故 年开始，该企业每年人均增加收入开始超过 元.
故选：D.
5．（2024春·陕西咸阳）设 ， ， ，则（ ）
A． B．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
而 ，所以 ，即 ，也就是 ；
下面再比较 与 ，
，
因为 , ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：B
6．（2024春·天津）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】易知 ， ，
由 在R上单调递增得 ，
而 在 上单调递增，所以 ，
综上 .
故选：B
7．（2024春·四川绵阳）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而
发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知 ，则 是（ ）
A．9位数 B．10位数 C．11位数 D．12位数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】B
【详解】记 ，则 ，
则 ，则 ，
故 是10位数．
故选：B
8．（2024春·河南信阳）据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学
上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式： （b为
常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为 ，则当该种玫瑰花新鲜程度为 时，其凋
零时间约为（参考数据： ）（ ）
A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟
【答案】C
【详解】由题意得 ，则 ，令 ，即 ，解得 ．
故选：C．
9．（2024春·安徽合肥）若将 确定的两个变量y与x之间的关系看成 ，则函
数 的图象大致为（ ）
A． B．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． D．
【答案】C
【详解】由 得 ，
显然 ，所以 ，
由 ， 得 ，
所以 ，排除AB，
由 ，当且仅当 时取等号，可排除D．
故选：C．
10．（2024春·陕西西安）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ，若
为偶函数， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，又因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，所以 的周期为6，则 ，
而 ，所以 ，所以 ．
故选：B
11．（2024春·江西赣州）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，
弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水
面时的速度为 ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
时的速度均为上一次的 ，若石片接触水面时的速度低于 ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐
同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据： ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ，
由题意得 ，即 ，得 .
因为 ，
所以 ，即 .
故选：B.
12．（2024春·山西太原）如图是函数 的部分图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图象可知函数 为偶函数，且 ，
四个选项函数的定义域均为 ，
对于A项， ，即 为偶函数，
而 ，故A错误；
对于B、D项， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，显然两项均为奇函数，故B、D错误；
对于C项， ，即 为偶函数，
而 ，故C正确.
故选：C
13．（2024春·广东·高三统考期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知 ， 为偶函数，
排除D；
当 时， ， ，
令 ， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以，当 时， ，即 ，
所以，当 时， ，即 ，可排除A、
B.
故选:C.
二、多选题
14．（2024春·重庆）已知定义在 上的函数 ， 是奇函数， 是偶函数，当 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 关于点 对称
C．
D．函数 有8个不同零点
【答案】ACD
【详解】 是奇函数，图象关于 对称，所以 关于 对称；
是偶函数，图象关于直线 对称，所以 关于直线 对称；
关于直线 的对称点为原点 ，
则 关于原点对称，所以 是奇函数，
直线 关于原点的对称直线为 ，所以 关于直线 对称，则B选项错误.
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，A选项正确.
，C选项正确.
当 ， ， ，
，
，解得 ，
所以 ， ，
令 得 ， ，
画出 和 的图象如下图所示，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由图可知，两个函数图象有 个交点，所以 有 个零点，所以D选项正确.
故选：ACD
15．（2024春·广东湛江）已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函
数.则（ ）
A． B．
C． 是 与 的等差中项 D．
【答案】ACD
【详解】因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 的周期为4.
因为 是奇函数，
所以 ，所以 ，
即 ，
令 ，得 .
因为 ，
令 ，得 ，
所以 ，即 .
因为 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故A正确.
因为 ，
所以 ，即 ，所以 .
因为 ， ，所以B错误.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
因为 ， ，
所以 ，
所以 是 与 的等差中项，故C正确.
因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
16．（2024春·江苏扬州）已知函数 是奇函数或偶函数，则 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由已知得 ，
若 为偶函数，则 恒成立，
所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然C对，D错；
若 为奇函数，则 恒成立，
所以 恒成立，故 ，则 ，
所以 时有 ，显然B对，A错；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：BC
17．（2024春·湖南娄底）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 中心对称
B．函数 存在极大值点和极小值点
C．若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
D．对任意 ，不等式 恒成立
【答案】ABD
【详解】因为 ；当 时， ，
所以 为奇函数，
则 关于点 对称，故选项 正确；
当 时， .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
又由 为奇函数， ， ， ，可得 的大致图象如下所示，
故选项B正确；
因为函数 有三个不同的零点，
所以函数 与 的图象有三个不同的交点.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由图象可得：实数 的取值范围是 ，故选项C错误；
因为
所以结合函数 的图象可得：当 时， ， .
所以对任意 ， ，故选项D正确.
故选ABD.
18．（2024春·浙江宁波）设函数 的定义域为 ，且满足 ， ，当
时， ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的最小值是 D．方程 在区间 内恰有 个实数解
【答案】AB
【详解】对于选项A，因为函数 的定义域为 ，又 ，所以 ，
又 ，得到 ，所以 是奇函数，故选项A正确，
对于选项B，因为 ，所以 ，得到 的周期为 ，
所以 ，故选项B正确，
对于选项C，当 时， ，又 是奇函数，
所以当 时， ，所以选项C错误，
对于选项D， 当 时， ，则 ，得到 ，
因为 ，所以函数 关于直线 对称，所以 在 上的图像如图所示，
由图知， 在 有4个交点，又 的周期为 ，且在区间 上共有506个周期，
所以方程 在区间 内恰有 个实数解，故选项D错误，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：AB.
三、填空题
19．（2024下·重庆·高三重庆南开中学）设 是定义在 上的单调增函数，且满足
，若对于任意非零实数 都有 ，则
.
【答案】2021
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，解得 或 .
而 ，则 ，故 ，因此 .
则 ，
即 .
因此 或 ，
当 时， ，在 上单调递减，不满足题意，舍去；
当 时，满足题意.
则 .
故答案为：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
20．（2024春·四川成都）已知函数 ， ，若函数
有三个零点 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意设 ，则函数 的零点即为方程 的根，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数 的图象以及直线 如图所示：
若函数 有三个零点 ，（不妨设为 ），
则方程 的根有三个根 ，且 ，
所以 ，
且 ，
因为 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
令 ， ，解得 ，令 ， ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
21．（2024·陕西咸阳）已知函数 ，若 ， ，且更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 是奇函数， ，
若 ，则 ，
所以 ，又 单调递增，
所以 ，即 ， ，则 ，
所以 ，
，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为： ，
故答案为：
