文档内容
2024 年呼和浩特市高三年级第二次质量数据监测
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前考生务必将自己的姓名、
考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．回答第Ⅰ卷时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．答题Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4，考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，集合 ，且 ，则 （ ）
A．0或1 B． C．0或 D．0
3．已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知南方某个地区的居民身高 大致服从正态分布 ，单位 ．若身高在 的概
率为0.6，则从该地区任选一人，其身高高于166的概率为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.35 D．0.15
5．函数 的部分图象大致如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
7．已知向量 满足 ，且 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．1024的所有正因数之和为（ ）
A．1023 B．1024 C．2047 D．2048
9．如图所示的曲线为函数 的部分图象，将 图象
上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度．得到函数 的图象，
则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．10．设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
12．若 在 上恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22
题-第23题为选考题，考生根据需求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设 ，则 ______．
14．若 的展开式中 的系数为40，则实数 ______．
15 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， 若 直 线 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 后 与 圆
有公共点，则实数 的取值范围是______．
16．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如下图，
羡除 中，底面 是正方形， 平面 和 均为等边三角形，且
，则该几何体外接球的体积为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．17．已知数列 是首项为1的等差数列， 是公比为3的等比数列，且 ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和， ，求 的前 项和 ．
18 ． 对 于 函 数 ， 若 实 数 满 足 ， 则 称 为 的 不 动 点 ． 已 知 函 数
．
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时，求函数 的不动点的个数．
19．如图，在三棱柱 中， ，侧面 是正方形， 为 的中
点，二面角 的大小是 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）线段 上是否存在一个点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ．若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
20．某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表：
关卡 1 2 3 4 5 6
平均过关时间 （单位： 7 12
50 124 137 352
秒） 8 1
计算得到一些统计量的值为： ，其中 ．
（1）若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 与 的回归方程；（2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得-1分且
该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为 ，
若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望．
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估
计分别为 ．
21．已知 分别是椭圆 的左、右顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于
两个不同的点 与 不重合 ．
（1）求椭圆 的焦距和离心率；
（2）若点 在以线段 为直径的圆上，求 的值；
（3）若 ，设 为坐标原点，直线 分别交 轴于点 ，当 且
时，求 的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一
题计分．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线
，过点 的直线 的参数方程为： （ 为参数），直线
与曲线 分别交于 两点．
（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（2）若 成等比数列，求 的值．
23．已知函数 ．（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．高三二模理数 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D B A C A C D D B C
二、填空题
13． 14．3 15． 16．
三、解答题
17．（1）
解得
（2）
18．（1）当 时，
（当且仅当 ，即 时取等号）．
在 上单调递增
（2）当 时，由题知 ，即
设 ，则
- 0 +
，
在 上有唯一零点
又
在 有唯一零点
综上所述， 有两个不动点
19．（1） 为 的中点，
又
又 平面
又 平面 平面 平面
（2）存在点 ，证明如下．
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 且与平面 垂直的射线为 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则设 ，平面 的法向量为 ，
则
解得 或 （舍）
，即点 存在，且为 的中点
20．（1） ，即
，即
（2） 可取8，11，14，18
，
，
故“甲获得的积分 ”的分布列为：
8 11 14 18
故“甲获得的积分 ”的期望为：
21．（1） 焦距 ，离心率
（2）令 且联立 得：
由韦达定理得：
由题知
又当 时， 过右顶点 ，故舍去，所以
（3）由（2）可知：
（*）
代入（*）得：22．（1）C：
（2）直线 的标准参数方程为： （ 为参数）
代入曲线 的直线坐标方程得：
由韦达定理得：
成等比数列
，即 ，解得：
23．（1）
①当 时，
②当 时，
③当 时，
综上所述：
（2）由题知 ，即 在 上恒成立
，即 ，即 在 上恒成立．
