2001年广东高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_广东

2001 年广东高考数学真题及答案 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120 分钟.￿ 参考公式：￿ 三角函数的积化和差公式 1 sincos [sin()sin()] 2 1 cossin [sin()sin()] 2 1 coscos [sin()cos()] 2 1 sinsin  [cos()cos()]￿ 2 正棱台、圆台的侧面积公式 1 S = (c′+c)l￿ 台侧 2 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长￿ 台体的体积公式￿ 1 V = (S SS S)h 台体￿ 3 其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)￿ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)￿ x1 1．不等式 ＞０的解集为￿ x3 ￿ A．｛ｘ｜ｘ＜１｝ ￿B．｛ｘ｜ｘ＞３｝￿ ￿ C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ ￿D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝￿ 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的全面积是￿ ￿Ａ．３π ￿ Ｂ．３ 3π ￿Ｃ．6π￿ Ｄ．９π 3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是￿ ￿A．两条相交直线￿B．圆￿ ￿C．椭圆 ￿D．双曲线￿ 4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ （ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0， ２ａ 则ａ的取值范围是￿ 1 1 1 ￿ A．（０， ） ￿Ｂ．（０， ]￿ ￿Ｃ．（ ，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 2 2 2 1 ￿ 5．已知复数ｚ＝ 2  6i，则ａｒｇ 是 Z  5  11 A． Ｂ． Ｃ． ￿Ｄ． 3 3 6 6 第1页 | 共7页6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是￿ 1 1 ￿A．ｙ＝ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２）￿ Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２）￿￿ ２ ２ x1 x1 1 1 Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２） Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２] ２ ２ x1 x1  ￿ 7．若０＜α＜β＜ ，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则 4 A．ａ＞ｂ ￿ Ｂ．ａ＜ｂ ￿Ｃ．ａｂ＜１ ￿Ｄ．ａｂ＞2 ￿ 8．在正三棱柱ABC—AＢＣ中，若ＡＢ＝ 2ＢＢ，则AB与ＣＢ所成的角的大小 １ １ １ １ １ １ 为￿ A．60° ￿Ｂ．９０° ￿Ｃ．4５° ￿Ｄ．120° ￿ 9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题￿ ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；￿ ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；￿ ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；￿ ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减￿￿ 其中，正确的命题是￿ ￿A． ①③ ￿Ｂ．①④ ￿Ｃ．②③ ￿Ｄ．②④￿ 10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的 取值范围是￿ ￿A．（－∞,０） ￿B．（－∞,２） ￿ C．［０,２］ ￿D．（０,２）￿ 11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜￿ 记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ、Ｐ、Ｐ １ ２ ３． 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则￿ ￿A．P＞P＞P ￿Ｂ．P＞P＝P￿ ３ ２ １ ３ ２ １ ￿Ｃ．P＝Ｐ＞Ｐ Ｄ．P＝P＝P ３ ２ １ ３ ２ １ ￿ 12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单 位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位 时间内传递的最大信息量为 ￿A．２６￿ Ｂ．２４ ￿Ｃ．２０ ￿Ｄ．１９ ￿第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答) 第2页 | 共7页x2 y2 14．双曲线  1的两个焦点为Ｆ、Ｆ，点P在双曲线上，若ＰＦ⊥ＰＦ， １ ２ １ ２ 9 16 则点P到ｘ轴的距离为 15．设｛ａ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓ是它的前ｎ项和．若｛Ｓ｝是等差数列， ｎ ｎ ｎ 则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)￿ 求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分) 已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓ，Ｓ＝２５５０． ｎ k (Ⅰ)求ａ及ｋ的值； 1 1 1 (Ⅱ)求lim(    )  n S S S 1 2 n 19．(本小题满分12分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， 1 SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝ ． 2 (Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积； (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分12分) 设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面 的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传 2 3 画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[ , ]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最 3 4 小? 21．(本小题满分14分) x2 已知椭圆  y2 1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 2 交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴￿求证直线AC经过线段EF的中点． 22．(本小题满分14分) 设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称￿对任意ｘ，ｘ∈ １ ２ 1 ［０， ］，都有ｆ（ｘ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ），且f(1)=ａ＞０． １ ２ １ ２ 2 1 1 (Ⅰ)求ｆ( ), f( )； 2 4 (Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； 第3页 | 共7页1 （Ⅲ）记ａ＝ｆ（２ｎ＋ ），求lim(lna )． ｎ 2n n n 参考答案 一、选择题 1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题 16 13.4900 14. 15.1 16.2n(n-1) 5 三、解答题 17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分  ＝ 2sin(2x )2 8分 4 所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａ｝， ｎ 则a＝ａ，ａ＝４，ａ＝３ａ，Ｓ＝２５５０． １ ２ ３ ｋ 由已知有a+3a=2×４，解得首项a＝ａ＝２， １ 公差d=a－ａ＝２． 2分 ２ １ k(k 1) k(k 1) 代入公式S＝ｋ·ａ＋ d 得k2 2 2550 ｋ １ 2 2 ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０ 解得k=50,k=-51(舍去) ∴a=2,k=50. 6分 n(n1) (Ⅱ)由S  na  d得S＝ｎ（ｎ＋１）， n 1 2 ｎ 1 1 1 1 1 1          S S S 12 23 n(n1) 1 2 n 1 1 1 1 1 1 ( - )( - ) ( - )  1 2 2 3 n n1 1 1 9分 n1 1 1 1 1 lim(    )  lim(1 ) 1 12分  n S S S n n1 1 2 n 19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是 1 M = (BC  AD)AB 底面 2 10.5 3 = 1 2分 2 4 ∴四棱锥S—ABCD的体积是 第4页 | 共7页1 1 3 1 V  SAM  1  4分 3 底面 3 4 4 (Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影， ∴CS⊥ＳＥ， 所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝ SA2  AB2  2,BC 1,BC  SB BC 2 ∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝  SB 2 2 即所求二面角的正切值为 12分 2 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S，则有 Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 22 10 将ｘ＝ 代入上式得  5 Ｓ＝５０００＋４４ 10(8  ) 5分  5 5 5 当８  ,即 ( 1)时，S取得最小值，   8 8 4840 此时，高：ｘ＝ 88cｍ，  5 宽：λｘ＝ 8855ｃｍ 8分 8 2 3 2 3 如果λ∈［ , ］，可设    ，则由S的表达式得 3 4 3 1  2 4 5 5 Ｓ（λ）－Ｓ（λ）＝４４ 10(8   8   ) １ ２ 1 2   1 2 5 =44 10(    )(8 ) 10分 1 2  11 2 2 5 5 由于   ,故8 0 1 2 3  8   1 2 第5页 | 共7页因此Ｓ（λ）－Ｓ（λ）＜０， １ ２ 2 3 所以S（λ）在区间［ , ］内单调递增. 3 4 2 3 2 从而，对于λ∈［ , ］，当λ＝ 时，S（λ）取得最小值 3 4 3 答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ￿时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈ 2 3 2 ［ , ］,当λ＝ 时，所用纸张面积最小. 12 3 4 3 分 21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２， 3 点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N( ，0) 3分 2 若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ），Ｂ（１，－ｙ），Ｃ（２，－ｙ）， １ １ １ 3 ∴AC中点为N( ，0)，即AC过EF中点N. 2 若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０． 记A（ｘ，ｙ）和Ｂ（ｘ，ｙ），则C（２，ｙ）且ｘ，ｘ满足二次方程 １ 1 ２ ２ ２ １ ２ x2 k2(x1)2 1 2 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， 4k2 2(k2 1) ∴ｘ＋ｘ＝ ,x x  １０分 １ ２ 12k2 1 2 12k2 3 又ｘ２ ＝２－２ｙ２ ＜２，得ｘ－ ≠０， １ １ １ 2 故直线AN，CN的斜率分别为 y 2k(x 1) y ｋ＝ 1  1 k  2  2k(x 1) １ 3 2x 3 2 3 2 x  1 2 1 2 2 (x 1)(x 1)(2x 3) ∴ｋ－ｋ＝２ｋ· 1 2 1 １ ２ 2x 3 1 ∵（ｘ－１）－（ｘ－１）（２ｘ－３） １ ２ １ ＝３（ｘ＋ｘ）－２ｘｘ－４ １ ２ １ ２ 1 ＝ [12k2 4(k2 1)4(12k2)]0 12k2 ∴ｋ－ｋ＝０，即ｋ＝ｋ，故A、C、N三点共线. １ ２ １ ２ 所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14分 1 22.(Ⅰ)解：因为对ｘ，ｘ∈［０， ］，都有ｆ（ｘ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（x）, １ ２ １ ２ １ ２ 2 所以 第6页 | 共7页x x x x f(x)  f(  )  f( ) f( )0,x[0,1] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 f(1)  f(  )  f( ) f( ) [f( )]2  2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )  f(  )  f( ) f( ) [f( )]2 2 4 4 4 4 4 ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分 1 1 1 1 ∴ f( )  a2, f( )  a4 6分 2 4 (Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称， 故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R 又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R， ∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R， 将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ 这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］ 1 1 1 1 ∵ f( )  f(n )  f[ (n1) ] 2 2n 2n 2n 1 1  f( ) f[(n1) ]  2n 2n 1 1 1 1  f( ) f( )  f( ) [f( )]n  2n 2n 2n 2n 1 1 f( )  a2 2 1 1 ∴ f( )  a2n 12分 2n ∵ｆ（ｘ）的一个周期是2 1 1 1 ∴ｆ（２ｎ＋ ）=ｆ（ ）,因此a=a2n n 2n 2n 1 lim(lna )  lim( lna) 0 14分 n n n 2n 第7页 | 共7页