文档内容
2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则
这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若数列 满足 ，其前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 、 是两个不同的平面， 、 是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育
行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
8．已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递增
10．已知复数 ， （ ， ）（ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则下列结论正确
的是（ ）A． 的虚部为
B．
C．
D．若 ，则在复平面内 对应的点形成的图形的面积为
11．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ，
，则下列说法正确的有（ ）
A． B． 为奇函数
C． 的周期为6 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 且 ，则实数a的取值范围是 ．
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱
的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 ，则
该模型中圆柱的表面积为 .
14．对于任意两个正实数a，b，定义 ，其中常数 ．若 ，且 与 都
是集合 的元素，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 ；
（2）求函数的单调性和极值.
16．（15分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸
出的球中有 个红球，则分得 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
17．（15分）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 都是矩形， ，
.
(1)求证： ；
(2)若点 的在线段 上，且二面角 的大小为 ，求 的值.
18．（17分）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 的准线 交 轴于点 ，
过 的直线 与抛物线 相切于点 ，且交 轴正半轴于点 .已知 上的动点 到点 的距离与到直线
的距离之和的最小值为3.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满足 .证
明：直线 过定点.
19．（17分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按
原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以 余数为 的项，
将这样的操作记为 操作.设数列 是无穷非减正整数数列.
（1）若 ， 进行 操作后得到 ，设 前 项和为
①求 ．
②是否存在 ，使得 成等差？若存在，求出所有的 ；若不存在，说明理由．（2）若 ，对 进行 与 操作得到 ，再将 中下标除以4余数为0，1的项
删掉最终得到 证明：每个大于1的奇平方数都是 中相邻两项的和．
