文档内容
余姚中学2024学年第二学期期中检测高二数学学科试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
a20.3 blog 2 c0.33
0.3
1、若 ， ， ．则a，b，c的大小关系为（ ）
．c2”
0 0 x x
0
D. “xy=1”是“lgx+lg y=0的充分不必要条件
cos2x
3、函数f(x)= 的部分图象是( )
ex+e-x
A. B. C. D.
4、有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，
从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同
的排法共有()种．
A. 432 B. 384 C. 144 D. 72
5、已知函数
f(x)=
{(3a-1)x+5,x⩽1
(a>0
且
a≠1)
，若对任意实数
x ≠x
，
log x+x+5a,x>1 1 2
a
f(x 2 )-f(x 1 ) >1 恒成立，则 a 的取值范围是( )
x -x
2 1
2 2 3
A. (0, ) B. (1,+∞) C. ( ,1) D. [ ,+∞)
3 3 2
6、下列结论不正确 的是( )A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为r =0.8，r =0.4，则A组数据比B组数据
A B
的相关性强
B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2=3.276，依据α=0.1的独立性检验
(x =2.706)，可判断X，Y相关，且犯错误的概率不超过0.1
0.1
7、已知 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则
a>0,b∈R x (ax-2)(x2+bx-8)≥0 (0,+∞)
4
b+ 的最小值是( )
a
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
15
8、若函数f (x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f [f (x)-2x-x]=- ，则
4
函数f (x)的零点所在的区间为( )
A. ( 1) B. (1 ) C. ( 3) D. (3 )
0, ,1 1, ,2
2 2 2 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知05)= .
13、函数 的最大值为 .
14、在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n
维坐标 ，其中 定义：在 维空间中两点
(a ,a ,⋯,a ) a∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N). n
1 2 n i
与 的曼哈顿距离为 在 维“立
(a ,a ,⋯,a ) (b ,b ,⋯,b ) |a -b |+|a -b |+⋯+|a -b |. 5
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则
E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
4x
15、设全集U R，集合 A x x1 0 ，集合 B x x22axa210 ，其中aR
.
当 a4 时，求 � U A B ；
(1)
若AB B，求实数a的取值范围．
(2)
16、在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究学生上课
是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取100名学生进
行调查，其中上课转笔的有45人.经调查，得到这100名学生近期考试的成绩(分数均在
[540,640]内)的频率分布直方图如图所示(分组区间为[540,560)，[560,580)，[580,600)，
[600,620)，[620,640]).记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格．(1)请完成上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生的成绩
是否优秀与上课是否转笔有关联．（单位：人）
(2)现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中
随机抽取5人进行进一步调查，记抽到的5人中成绩合格的人数为X，求X的分布列和均值；
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转
笔的人数为Y，求Y的均值和方差．
附：参考公式： n(ad-bc) 2 ，其中 ．
χ2= n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.0050.001
x 2.7063.8416.6357.87910.828
α
17、设函数f(x)的定义域为D，若存在x∈D，使得f(x)=-x成立，则称x为f(x)的一
个“准不动点”.已知函数f(x)=log
1
(4x-a⋅2x+1+2)．
2
(1)若a=1，求f(x)的准不动点；
若 为 的一个“准不动点”，且 ，求实数 的取值范围；
(2) x f(x) x ∈[1,2] a
0 0
设函数 ，若 ， ，使得 成立，求
(3) g(x)=2x ∀x ∈[0,1] ∃x ∈[0,1] |f(x )+g(x )|≤1
1 2 1 2
实数a的取值范围．
x a
18、已知函数f (x)=- ，g(x)=xlnx- x2-x，a∈R．
ex 2
(1)讨论f (x)的单调性；(2)若当x∈(1,+∞)时，f (x)与g(x)的单调性相同，求实数a的取值范围；
若当 [ 1)时， 有最小值 ，证明： e ．
(3) a∈ 0, g(x)(x∈(0,e]) h(a) - 2”
0 0 x x
0
D. “xy=1”是“lgx+lg y=0的充分不必要条件解：对A，若am2≥bm2中，m=0时a0，故B错误、D正确．
e0+e-0 2
故选D．
4、有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，
从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同
的排法共有(A)种．
A. 432 B. 384 C. 144 D. 72解：分3类：
红 蓝 ，红 蓝 ，排成一排有 种
① 1 1 4 4 A4=24 ;
4
红 蓝 ，红 蓝 ，排成一排有 种
② 2 2 3 3 A4=24 ;
4
个 选 张， 个 选 张， 个 选 张， 个 选 张，排成一排有
③2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 C1C1C1C1 ⋅A4=384
2 2 2 2 4
种，
由分类加法计数原理，共有24+24+384=432种，
5、已知函数
f(x)=
{(3a-1)x+5,x⩽1
(a>0
且
a≠1)
，若对任意实数
x ≠x
，
log x+x+5a,x>1 1 2
a
f(x 2 )-f(x 1 ) >1 恒成立，则 a 的取值范围是( D )
x -x
2 1
2 2 3
A. (0, ) B. (1,+∞) C. ( ,1) D. [ ,+∞)
3 3 2
解：若对任意实数 ，f(x )-f(x ) ，
x ≠x 2 1 >1
1 2 x -x
2 1
不妨令x >x ，则f(x )-f(x )>x -x ，即f(x )-x >f(x )-x ，
2 1 2 1 2 1 2 2 1 1
故函数g(x)=f(x)-x是增函数，
则 g(x)=
{(3a-2)x+5,x⩽1是增函数，
log x+5a,x>1
a
{
3a-2>0
则 ，解得 3，
a>1 a⩾
2
3a-2+5⩽log 1+5a
a
3
则a的取值范围是[ ,+∞).
2
6.下列结论不正确的是(C )A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为r =0.8，r =0.4，则A组数据比B组数据
A B
的相关性强
B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2=3.276，依据α=0.1的独立性检验
(x =2.706)，可判断X，Y相关，且犯错误的概率不超过0.1
0.1
解：对于A，样本相关系数|r|越接近1，相关性越强，故A正确;
对于B，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性
质，故 B正确;
对于C，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，
故 C错误;
对于
D
， χ❑2>x ，所以相关，且犯错误的概率不超过
0.1
，故D正确，
0.1
7.已知 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则
a>0,b∈R x (ax-2)(x2+bx-8)≥0 (0,+∞)
4
b+ 的最小值是(B )
a
A. 4 B. 4√2 C. 8 D. 8√2
解：设 ，
f(x)=ax-2 g(x)=x2+bx-8
2
因为a>0，当0 时，f(x)>0，
a
2
且 >0．
a因为不等式(ax-2)(x2+bx-8)⩾0在(0,+∞)上恒成立，
可知f (x),g(x)在(0,+∞)上的符号性相同，且g(0)=-8<0，
2
则 ，即b=4a- ，
a
4 2 4 2 √ 2
可得：b+ =(4a- )+ =4a+ ⩾2 4a× =4√2，
a a a a a
√2
当且仅当a= 时等号成立，
2
4
所以，b+ 的最小值为4√2．
a
15
8、若函数f (x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f [f (x)-2x-x]=- ，则
4
函数f (x)的零点所在的区间为( B )
A. ( 1) B. (1 ) C. ( 3) D. (3 )
0, ,1 1, ,2
2 2 2 2
15
解：因为函数f (x)在R上是单调函数，f [f (x)-2x-x]=- ，
4
设 ，所以 ，
f (x)-2x-x=t f (x)=2x+x+t
15
所以f [f (x)-2x-x]=f (t)=2t+t+t=2t+2t=- ，
4
因为y=2t与y=2t在R上单调递增，所以t有唯一解，解得t=-2，
所以 ，
f (x)=2x+x-2
1
又
f
(1)
=22+
1
-2=√2-
3
<0
，
f(1)=21+1-2=1>0
，
2 2 2
故 的零点所在的区间为(1 )．
f (x) ,1
2
9、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知05)= 0.2 .
解：因为P(X 1)=0,657,所以1- =0.657,即 =0.343,
≥ (1-p) 3 (1-p) 3
解得p=0.3,所以P(1≤Y<3)=p=0.3,
1-2P(1⩽Y<3) 1-2×0.3
则P（Y>5)= = =0.2.
2 2
13、函数 的最大值为√10 .
1
解：由题意得- ≤x≤1,函数y=2√1-x+√x+1≤√(2)2+12√(√1-x)2+(√x+1)2=√10
2
14、在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n
维坐标 ，其中 定义：在 维空间中两点
(a ,a ,⋯,a ) a∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N). n
1 2 n i
与 的曼哈顿距离为 在 维“立
(a ,a ,⋯,a ) (b ,b ,⋯,b ) |a -b |+|a -b |+⋯+|a -b |. 5
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则
80
E(X)= ．
31
解：对于 维坐标 ，其中 即 有两种选择
5 (a ,a ,a ,a ,a ) a∈{0,1}(1≤i≤5,i∈N). a
1 2 3 4 5 i i
(1≤i≤5,i∈N)，
故共有25种选择，即5维“立方体”的顶点个数是25=32个顶点；
当 时，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即有 个坐
X=k (a ,a ,a ,a ,a ) (b ,b ,b ,b ,b ) k k
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
标值满足a ≠b，剩下5-k个坐标值满足a =b，
i i i i
则满足
的个数为Ck25-k×2k
．
X=k 5 =Ck ⋅24
2 5
Ck ⋅24 Ck
所以 P(X=k)= 5 = 5 (k=1,2,3,4,5) ．
C2 25-1
25
故分布列为：
X1 2 3 4 5
5 1010 5 1
P
3131313131
5 10 10 5 1 80
则E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = ．
31 31 31 31 31 3115、设全集 ，集合 ，集合 ，其中
.
当 时，求 ；
(1)
若 ，求实数 的取值范围．
(2)
解：（ ）由 得： ，解得： ，即 ，
1
；
当 时， ，解得： ，即 ；
.
（ ）由（ ）知： ；
2 1
由 得： ，即 ，
由 得
，解得： ，即实数 的取值范围为
.
16、在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究学生上课
是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取100名学生进
行调查，其中上课转笔的有45人.经调查，得到这100名学生近期考试的成绩(分数均在
[540,640]内)的频率分布直方图如图所示(分组区间为[540,560)，[560,580)，[580,600)，
[600,620)，[620,640]).记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格．
转笔
成绩 上课不转 合计
上课转笔
笔
合格 25
优秀 10
合计 100(1)请完成上面的2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生的成绩
是否优秀与上课是否转笔有关联．（单位：人）
(2)现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中
随机抽取5人进行进一步调查，记抽到的5人中成绩合格的人数为X，求X的分布列和均值；
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转
笔的人数为Y，求Y的均值和方差．
附：参考公式： n(ad-bc) 2 ，其中 ．
χ2= n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.0050.001
x 2.7063.8416.6357.87910.828
α
解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有
100×20×(0.0050+0.0100+0.0200)=70(人)，
则成绩优秀的有30人．
2×2列联表如下表所示.单位：人
转笔
成绩 合计
上课转笔 上课不转笔
合格 25 45 70
优秀 20 10 30
合计 45 55 100
零假设为H ：学生成绩是否优秀与上课是否转笔无关联，计算得
0
100×(25×10-45×20) 2 16900
χ2= = ≈8.129>6.635=x ，
70×30×45×55 2079 0.01
依据小概率值α=0.01的独立性检验，
我们推断H 不成立，可以认为学生成绩是否优秀与上课是否转笔有关联．
0
(2)根据频率分布直方图可知，这100名学生中成绩优秀的频率为
(0.0125+0.0025)×20=0.3，
成绩合格的频率为1-0.3=0.7，故从这100名学生中抽取的10人中，成绩合格的有10×0.7=7(人)，成绩优秀的有
10×0.3=3(人)，
则X的可能取值为2，3，4，5，
P(X=2)= C 7 2C 3 3 = 1 ， P(X=3)= C 7 3C 3 2 = 5 ， P(X=4)= C 7 4C1 3= 5 ，
C5 12 C5 12 C5 12
10 10 10
P(X=5)= C 7 5C 3 0 = 1 ，
C5 12
10
故X的分布列为
X 2 3 4 5
1 5 5 1
P
12 12 12 12
1 5 5 1 7
E(X)=2× +3× +4× +5× = ．
12 12 12 12 2
45
(3)由题意知，从全市所有在校学生中随机抽取1人，其上课转笔的概率为 =0.45，
100
故Y∼B(20,0.45)，
所以E(Y)=20×0.45=9，D(Y)=20×0.45×(1-0.45)=4.95．
17、设函数f(x)的定义域为D，若存在x∈D，使得f(x)=-x成立，则称x为f(x)的一
个“准不动点”.已知函数f(x)=log
1
(4x-a⋅2x+1+2)．
2
(1)若a=1，求f(x)的准不动点；
若 为 的一个“准不动点”，且 ，求实数 的取值范围；
(2) x f(x) x ∈[1,2] a
0 0
设函数 ，若 ， ，使得 成立，求
(3) g(x)=2x ∀x ∈[0,1] ∃x ∈[0,1] |f(x )+g(x )|≤1
1 2 1 2
实数a的取值范围．
解：(1)若a=1，由f(x)=-x可得，4x-2x+1+2=2x，
令t=2x，则t2-3t+2=0，解t=1或t=2，
所以x=0或x=1，故f(x)的不动点为0或1．
(2)由f(x)=-x可得，4x-a⋅2x+1+2=2x在[1,2]上有解，令t=2x，由x∈[1,2]可得t∈[2,4]，则t2-2at+2=t在[2,4]上有解，
t2-t+2 2
故2a= =t+ -1，
t t
2
当t∈[2,4]时，y=t+ -1在[2,4]上单调递增，
t
所以 [ 7]， 7，
y∈ 2, 2≤2a≤
2 2
解得 7，故 的取值范围[ 7]．
1≤a≤ a 1,
4 4
由 ，
(3) |f(x )+g(x )|≤1⇔-1≤f(x )+g(x )≤1⇔-1-g(x )≤f(x )≤-g(x )+1
1 2 1 2 2 1 2
则-1-g(x ) ≤f(x )≤-g(x ) +1，
2 max 1 2 min
又g(x)在[0,1]上单调递增，则g(x ) =g(1)=2，g(x ) =g(0)=1，
2 max 2 min
则-3≤f(x )≤0，即1≤4x-a⋅2x+1+2≤8
1
令t=2x，x∈[0,1]，则t∈[1,2]，从而1≤t2-2at+2≤8，
6
{2a≥t-
则 t ，又 1， 6在 上均为增函数，
y =t+ y =t- [1,2]
1 2 t 1 t
2a≤t+
t
则y =-1，y =2，
1max 2min
1
所以-1≤2a≤2，即- ≤a≤1，
2
故 的取值范围为[ 1 ]．
a - ,1
2
x a
18、已知函数f (x)=- ，g(x)=xlnx- x2-x，a∈R．
ex 2
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若当x∈(1,+∞)时，f (x)与g(x)的单调性相同，求实数a的取值范围；
若当 [ 1)时， 有最小值 ，证明： e ．
(3) a∈ 0, g(x)(x∈(0,e]) h(a) - 0，
所以f (x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
(2)由(1)可知g(x)在(1,+∞)上单调递增，
即g'(x)=lnx-ax≥0在x∈(1,+∞)时恒成立，
lnx
即a≤ 在x∈(1,+∞)时恒成立．
x
lnx
令p(x)= ，x∈(1,+∞)，
x
即a⩽p(x) ，
min
1-lnx
又因为p'(x)= ，
x2
可得当x∈(1,e)时，p'(x)>0，当x∈(e,+∞)时，p'(x)<0，
1
所以p(x)在区间(1,e)上单调递增，在区间(e,+∞)上单调递减，且p(e)= ，
e
又 时， ，所以 ( 1]
x∈(1,+∞) p(x)>0 p(x)∈ 0, ,
e
所以a≤0，
即实数a的取值范围是(-∞,0]；
(3)由题可知g'(x)=lnx-ax，x∈(0,e],
1
令t(x)=lnx-ax，x∈(0,e]，则t'(x)= -a，
x
1 1
因为00，
e x
所以 在 上单调递增，
g' (x) (0,e]
又 ， ，
g' (1)=-a⩽0 g' (e)=1-ae>0
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，即 lnx ，
x ∈[1,e) g'(x )=0 lnx -ax =0 a= 0
0 0 0 0 x
0当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
x∈(0,x ) g'(x)<0 g(x) x∈(x ,e) g'(x)>0 g(x)
0 0
a x lnx
所以g(x) =g(x )=x lnx - x2-x = 0 0-x ，
min 0 0 0 2 0 0 2 0
xlnx lnx-1
令q(x)= -x，则q'(x)= <0在[1,e)上恒成立，
2 2
所以q(x)在[1,e)上单调递减，
e e
所以q(e)E(X )，E(Y )>E(Y )，
1 2 1 2
所以甲、乙两人都会优先选择方式一；
(2)记最终结果为甲获胜为事件A，
乙以一分之差惜败为事件B，
由P(X >Y )=P(X =2,Y <2)+P(X =4,Y <4)+P(X =6,Y <6)
1 2 1 2 1 2 1 2
=P(X =2)P(Y <2)+P(X =4)P(Y <4)+P(X =6)P(Y <6)，
1 2 1 2 1 2
9 4 27 8 27 8 13
得P(X >Y )= × + × + × = ，
1 2 64 9 64 9 64 9 16
由P(X >Y )=P(X =3,Y <3)+P(X =6,Y <6)
2 1 2 1 2 1
=P(X =3)P(Y <3)+P(X =6)P(Y <6)，
2 1 2 11 7 1 19 11
得P(X >Y )= × + × = ，
2 1 2 27 4 27 36
1 1 1 13 11 161
所以P(A)= P(X >Y )+ P(X >Y )= ×( + )= ，
2 1 2 2 2 1 2 16 36 288
1 1
P(B)= P(X =4,Y =3)+ P(X =3)P(Y =2)
2 1 2 2 2 1
1 27 4 1 1 2 43
= × × + × × = ，
2 64 9 2 2 9 288
43
P(AB) P(B) 288 43
所以P(B|A)= = = = ，
P(A) P(A) 161 161
288
43
即在最终结果为甲获胜的条件下，乙以一分之差惜败的概率为 ．
161
