文档内容
郴州市 2024 年上学期期末教学质量监测试卷
高二数学
（试题卷）
注意事项：
1.试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分．考试时间120分
钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答
题卡的指定位置，
3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上
按答题卡中注意事项的要求答题.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个
最佳答案，多选或不选得0分）
1. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为当 时， 一定成立，
而当 时， 不一定成立，如 ，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：B
2. 已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点分别为 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】先求出 ，然后求出 即可得出结果．
【详解】由题可得 ，所以 ，
，
故选：A．
3. （ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即得.
【详解】 .
故选：B
4. 已知 为椭圆 上一动点， 分别为其左右焦点，直线 与 的另一交
点为 的周长为16.若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程及其参数 的关系即可得出结果.
【详解】设椭圆的半焦距为 ，则由题设得 ，
解得 ，所以椭圆的离心率为 .故选：C．
5. 若 为一组数 的第六十百分位数，则二项式 的展开式的常数项是（ ）
A. 28 B. 56 C. 36 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可.
【详解】因为n为一组从小到大排列的数 的第六十百分位数， ，
所以 ，
二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以常数项为 ，
故选：A
6. 三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）
.
A 360种 B. 540种 C. 720种 D. 900种
【答案】C
【解析】
【分析】先将老师捆绑成一个团队，再将团队与另外4名同学进行排列，即可得出．
【详解】完成此事分步进行：（1）将老师捆绑成一个团队，有 种站法；（2）将团队与另外4名同
学进行排列，有 种站法；
根据分步计数原理，所以有 种不同的站法，
故选:C．
7. 已知函数 的两个零点分别为 ，若 三个数适当调整顺序后
可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 是方程 的两个不等实根，则有 ，不妨设
，且由 可得 ，再由题意列方程可求出 ，从而可求出 ，进而可求出
不等式的解集.
【详解】因为函数 的两个零点分别为 ，
所以可得 是方程 的两个不等实根，
所以 ，
所以 ，不妨设 ，
因为 三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，
所以 可以成等差数列， 可以成等比数列，
或 可以成等差数列， 可以成等比数列，
所以 ，解得 ， ，
所以 ，
所以 化为 ，
所以 ，解得 ，
即原不等式的解集为 .
故选：D8. 设函数 在 上存在导数 ，有 ，在 上 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过构造函数 ，利用 的奇偶性和条件得到 在 上单调递减，再将
变形得到 ，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，得到 ，
因为 ，所以 ，令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 为奇函数；
，当 时， 单调递减，因此 在 上单调递减；
， ，
所以
，因为 ，所以
即 ，所以 ，
由于 在 上单调递减，所以 ，解之得 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造了函数 ，从而分析得 的性质，由
此得解.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，正方体 的边长为 为 的中点，动点 在正方形 内（包含边
界）运动，且 .下列结论正确的是（ ）
A. 动点 的轨迹长度为 ；
B. 异面直线 与 所成角的正切值为2；
C. 的最大值为2；
D. 三棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】ACD
【解析】【分析】取 的中点 ，分析可知 平面 .对于A：分析可知动点 的轨迹是以点 为圆心，
半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线 与 所成角即为 ，即可得结果；
对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知 ，进而求球的半径和表面积.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ，且 ，
为
又因 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，可得 .
对于选项A：在 中， ，
可知动点 的轨迹是以点 为圆心，半径为1的半圆，
所以动点 的轨迹长度为 ，故A正确
对于选项B：因为 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ，
可知异面直线 与 所成角即为 ，其正切值为 ，故B错误；
对于选项C：因为线段 在平面 内的投影为 ，
结合选项A可知： 在 方向上的投影数量的最大值为1，所以 的最大值为 ，故C正确；
对于选项D：设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，
因为 平面 ，且 为 的外接圆圆心，可知 ，
则 ，解得 ，
所以三棱锥 的外接球表面积为 ，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知定义域在R上的函数 满足： 是奇函数，且 ，当 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周期 B.
C. 在 上单调递增 D. 是偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的性质结合周期性的定义即可求解A，利用性质作出函数的图象，即可结合图象逐一求
解.
【详解】由于 是奇函数，所以 ，则
又 ，则 ，所以
，所以 的周期为8，A错误，，
，故B正确，
根据函数的性质结合 ， ，作出函数图象为：由图象可知： 在 上单调递增，C正确，
由于 的图象不关于 对称，所以 不是偶函数，D错误
故选：BC
11. 锐角 中，角 的对边为 .且满足 .下列结论正确的是（ ）
A. 点 的轨迹的离心率
B.
C. 的外接圆周长
D. 的面积
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的定义，可得点 在以 为焦点的双曲线上，结合离心率的计算，可判
定A不正确；求得双曲线的方程，结合 的最大角为 或 ，利用余弦定理列出不等式，可判定B
不正确；求得 ，结合正弦定理，可判定C正确；分别求得 和 时求得
的面积，可得判定D正确.
【详解】因为锐角 中，满足 ，即 ，
即 ，由双曲线的定义，可得点 在以 为焦点的双曲线上，
且双曲线的实半轴长为 ，半焦距为 ，所以离心率为 ，所以A不正确；不妨设双曲线的焦点在 轴上，设 ，可得双曲线的方程为 ，
如图所示，要使得 为锐角三角形，则 的最大角为 或 ，
当 为最大角时， ，即 ，
可得 ，解得 ；
当 为最大角时， ，即 ，
可得 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 ，所以B不正确；
对于C中，若 时，可得 ，可得 ，
若 时，可得 ，因为 为锐角三角形，可得 ，
可得 的外接圆的半径为 ，
则 的外接圆周长 ，所以C正确；
对于D中，若 时，可得 ，即 ，解得 ，则 ，此时 的面积为 ；
若 时，可得 ，此时 的面积为 ，
因为 为锐角三角形，所以 的面积 ，所以D正确.
故选：CD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若直线 ： 与曲线 ： 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线过定点坐标及曲线 所表示的图形，再数形结合即可得解.
【详解】解：由题意可得直线 ： 即 ，所以直线 恒过定点 ，
曲线 ： 图象为以 为圆心，2为半径的上半圆（包含 轴部分），
它们的图象如图所示：当直线 过点 时，它们有两个交点，此时 ，
当直线 与上半部分圆相切时，有一个交点，此时 ，
由图象可知，若直线 与曲线 有两个不同的交点，则 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
13. 已知数列 满足： ．若 ，则数列 的前 项和
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出 ，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列 中，由 ，得 ，
因此数列 是以 为首项，1为公差的等差数列， ，即 ，
于是 ，
所以 .
故答案为：
14. 暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且
当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径
，高 ，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）
和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用余弦定理求两点间的距离，结合作图，求出上山路段及下山路段的
长即可得解.
【详解】设入口为点 ，古寺位置为 ，则由题意， 为母线 的中点，
由底面圆半径为2km，山高为 ，则母线 ,
底面圆周长 ，所以展开图的圆心角 ，
作圆锥侧面展开图，如图，
由余弦定理可得 ，
由点 向 引垂线，垂足为点 ，此时 为点 和线段 上的点连线的最小值，
即点 为公路的最高点， 段为上坡路， 段为下坡路段，由 可得， ，
所以 ， ，
所以上山和下山路段的长度之比为 .
故答案为： ；
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ，且满足 .
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角差的正弦公式可证明结论；
（2）由（1）结合 为锐角三角形可得 ，又注意到 ，由函数
在 上的取值范围可得答案.
【小问1详解】
由 ，
结合正弦定理 得：可得 ，
所以 ，所以 或 （舍去），
所以 ；
【小问2详解】
在锐角 中， ，
即 ，所以 .
由正弦定理结合（1）， .
令 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 为线段
的中点， 为线段 （不含端点）上的动点.（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意可证 平面 ，则 ，进而可得 平面 ，即可得结果；
（2）建系标点，设 ，分别为平面 、平面 的法向量，利用空间向量处理
二面角的问题.
【小问1详解】
因为底面 为正方形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ， 。
且 ， 平面 ，
可得 平面 ，由 平面 ，可得 ，
因为 ，且E为 的中点，则 ，
由 ， 平面 ，可得 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】以 分别为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
又因为 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意得： ，即 ，
整理得即 ，解得 或 （舍去），
所以存在，此时 .
17. 已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；（2）当 时，求证 在 上恒成立.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，问题转化为 ， 恒成立，用分离参数法再转化为求
函数的最值．
（2）求出 在 时的最大值，由最大值小于1证得结论成立，注意令 ，由单调
性得 有唯一零点 ，然后得出 是最大值，再由 的性质证明即可．
【小问1详解】
函数 ，则 ，
对任意的 恒成立，所以 ，
故 ， , ，
所以 ，所以 在 上为单调递增函数，
所以 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 ；
【小问2详解】
证明：由题意知，要证在 上， ，
令 ，则 ，显然在 上 单调减， ，
所以存 在，则 ，
所以当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ，则
故 在 上恒成立.
18. 已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，已知 ，
（1）求抛物线的方程及 的值；
（2）当 在第一象限时， 为坐标原点， 是抛物线上一点，且 的面积为1，求点 的坐标；
（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 的两个点分别记为 ，问抛物线的准线上是否存
在一点 使得， .
【答案】（1） ，
（2） 或 或
（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据焦半径可求出抛物线方程进而可求 ；（2）设点 的坐标为 根据 的面积为1，得出 边上的高为 ，利用 到直线
的距离公式可得， ，再把点 的坐标代入抛物线方程即可求解；
（3）将 转化为以 为直径的圆与准线的位置关系来进行判断.
【小问1详解】
由题意 ，解得 ，因此抛物线的方程为
点 在抛物线上可得 ，故
【小问2详解】
设点 的坐标为 边上的高为 ，我们知道 的面积是： ，
所以， ，
直线 的方程是 ，利用 到直线 的距离公式可得： ，
化简得： ，由于点 在抛物线上，即 ，
代入条件可得： ，
可以得到 或 ，解这个方程可以得到 或 ，
代入拋物线方程可以得到： 或 或
综上所述，点 坐的标有三个可能的值：
【小问3详解】
不存在，理由如下：
因为由（1）（2）知点 ，则 的斜率为 ，
所以平行于 的两个点分别记为 ，其斜率 ，
所以可得
则 的中点 ，
若 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
到准线 的距离等于 ，因为
所以，以 为圆心 为半径的圆与准线相离，故不存在点 满足题设条件.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线的关于求点坐标的问题，往往需要设点的坐标，根据题目的已知条件寻找所
设的点横纵坐标关系等.
19. 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 发生的概率为 ，试验进行到事件 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为 ，其分布列为 ，我们称 服从几何
分布，记为 .
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 ，没有办法把所有项真的加完，
可以先求数列前 项和 ，再求 时 的极限：
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为
随机变量 .
（1）证明： ；
（2）求随机变量 的数学期望 ；
（3）求随机变量 的方差 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，根据等比数列求和公式求出 ，再取极限即可；
（2）设 ，利用错位相减法求出 ，再取极限即可；
（3）依题意可得 ，再利用错位相减法求出，即可得解.
【小问1详解】
可知 ，且 ，
所以 ，
则 .
【小问2详解】
设
，
所以 ，
两式相减的 ，
所以 ，
则随机变量 的数学期望 ；
【小问3详解】
因为，
而 ，
，
两式相减：
，
从而 ，
那么 .
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给两个材料，根据所给材料结合数列的相关知识计算.
