文档内容
海南中学高三年级第六次月考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 对应的向量 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量求得复数，从而可求其模.
【详解】由题意得 ，则 ．
故选：D．
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的意义求解即可.
【详解】则 ．
故选：B．
3. 无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其
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学科网（北京）股份有限公司飞行的最大距离 （千米）服从正态分布 ，记 ，
，当 变小时，则（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 变小
【答案】C
【解析】
【分析】由正态分布性质可知a、b不变，可得结论.
【详解】由正态分布性质可知a、b不变，所以 不变.
故选：C．
4. 记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A. B. C. 或1 D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列片段和性质可求公比.
详解】由 ，得 ，解得 ，
【
故选: A．
5. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 与 的夹角的余弦值等于（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知可求得 ， ，进而利用向量的夹角公式可求 .
【详解】因为 ，两边平方得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
所以 ．
故选：D．
6. 在平面直角坐标系 中，斜率为 的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于P，Q两点，
N为PQ的中点，则直线ON的斜率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ，由已知得 及 ，作差可求得直线ON的斜率.
【详解】设 ， ，双曲线的渐近线方程为 ，
故 及 ，两式相减整理得： ，
所以 ，即直线ON的斜率为1．
故选：D．
7. 已知正四面体 的棱长为a，E、F分别为棱PA、BC的中点，则以EF的中点为球心，体积为
的球的球面与该正四面体棱的交点个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用正四面体的性质可求得正四面体外接球的半径为 ，求得体积为 的球的半径，
求得 到各棱的距离，进而可得结论.
【详解】因为正四面体 ，所以EF的中点为正四面体 的中心 ，
所以 到6条棱的距离相等，
又因为正四面体 的棱长为a，所以可求得 ，
所以 所，所以 ，
所以正四面体外接球的半径为 ，
所以 到各棱的距离为 ，
设球的半径为 ，因为球的体积为 ，所以 ，解得 ，
所以球的半径为 ．因为 ，所以球与正四面体的六条棱均相交，
所以共有12个交点．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 有且仅有一个零点，其中 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 且 得到 为 的唯一零点，从而得到 ，再利用基本不
等式求得 的最小值.
【详解】因为 有且仅有一个零点，又 ，所以 为 的唯一零点．
因为 ，因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
若 ，因为 ，所以 ，所以此时 ，
在 上单调递减，所以 ，
又 ，所以 在 上存在唯一零点，此时 有两个零点，不合题意；
同理若 ，即 时， 有两个零点，不合题意，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以 的最小值为 ．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：证明
，分 和 即 和 两种情况讨
论，均有两个零点，不符合题意，从而得到 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数 ，下列正确的有（ ）
A. 是偶函数 B. 在区间 单调递增
C. 是周期函数且最小正周期为 D. 的图象关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A 根据奇偶性的定义验证 即可判断，对于 B 当 时，
，则 即可判断，对于C验证
即可判断，对于D验证 是否成立即可.
【详解】因为 ，所以 是偶函数，故A正确；
当 时， 在区间 单调递增，
且 ，根据正弦函数的单调性可知B正确；
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是 的一个周期，故C错误；
因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故D正确．
故选：ABD.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在 ，使得 恰有1个零点
B. 过曲线 上任意一点，均可作两条直线与 相切
C. 若 存 在两个极值点 ， 且 ，则
D. 若 存在两个极值点 ， ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】因为存在 使得 恰有1个零点，判断A选项；根据三次函数的性质判断B选项；通过求
导得到 的极值点，在根据 解得 的取值范围判断C选项；通过求三次函数的对
称中心判断D选项.
【详解】当 时， ， 恰有1个零点，A对；
三次函数经过曲线 的对称中心，仅能作一条切线，B错；
由 ，令 得 的极值点为0， ，
所以 ，解得 ， ，C对；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，设 ，则 ，令 得 ，
所以，曲线 的对称中心为 ，所以 ，D错．
故选：AC.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过其准线 上的动点 作 的两条切线，切点分别为A，B，则
（ ）
A. 准线 的方程为 B. 当 时， 点坐标为
C. A、F、B三点共线 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由抛物线方程即可判断A，由通径可判断B， 通过求导确定切线方程，结合
在切线上得到AB方程为 ，即可判断C，以过焦点的弦为直径圆与准线相切可判断
D；
【详解】抛物线 的准线方程为 ，答案A正确；
设 ， 由 ，
可得： 处的切线方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司处的切线方程为： ，
代入 ，可得： 和
又 ，
可得： ， ，
所以AB方程为 ，所以焦点 在直线AB上，即A、F、B三点共线答案C正确；
当 时， 为通径，故与 轴垂直，此时 ，答案B错误；
由焦点弦的性质可知：以过焦点的弦为直径圆与准线相切，所以 ，所以 ，
答案D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，在 上单调递增，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】当 时，若 ，则 单调递增，符合题意，若 ，根据二次函数的单调性得
，所以 ； 时， ，由 单调递增得 ；在分段处得 ，
从而可以得到 的取值范围.
【详解】当 时，若 ，则 单调递增，符合题意，
若 ，则为二次函数，要在 上单调递增，需要开口向下，则 ,
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学科网（北京）股份有限公司所以要保证在 上单调递增，则 ；
当 时， ，由 单调递增得 ；
在分段处要使得 单调递增则 ，从而可以得到 的取值范围.
从而要保证 在 上单调递增，得 ，解得 .
故答案为： .
13. 数列 满足 ， ，记 ，则
__________．
【答案】1650
【解析】
【分析】先应用累乘得出 ，再结合组合数性质运算即可得出 ，最后应用等差数列求和公
式计算即可.
【详解】由 ，得 ，
而 也满足该式，故 ，
所以 ，
，则 ．
故答案为： .
14. 在如图 方格表中， ，且 ， ， ， 两两
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学科网（北京）股份有限公司互不相等，则满足条件的 方格表共有__________张．
【答案】16
【解析】
【分析】根据两个数字之和最大为 ，最小为 ，可知 和 只能出现一次，先假设 取到最值，
可得到 种情况，所以共有 种.
【详解】因为 ，所以两数之和最大为 ，最小为 ，
又因为 ， ， ， 两两互不相等，故一定有一个数为2或 ，
不妨设 ，则 ，则 ， 只能一个为 ，另一个为0，有 种情况，
同理，若 ，则 ，则 ， 只能一个为 ，另一个为0，有 种情况，
所以 取到最值的情况有 种，
故共有 种．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：根据最大值来分析取值，根据两个数字之和最大为 ，最小为 ，可知 和 只能
出现一次，再根据取到 或 分类讨论.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， 成等差数列．
（1）求A；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差中项列式，再利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简求解.
（2）利用正弦定理，结合差角的正弦及辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出范围.
【小问1详解】
由 ， ， 成等差数列得： ，
在 中，由正弦定理得： ，
则 ，而 ，因此 ，又 ，
所以 .
【小问2详解】
由正弦定理得：
，
由 ，得 ，则 ，
所以 .
16. 如图，在正四棱柱 中，E，F分别为棱 ，BC的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若直线AE与 所成的角为60°，
（i）证明： 平面 ；
（ii）求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连结 ，BG，利用线线平行可得线面平行，再由线面平行可证面面平
行.
（2）分别以DA、DC、 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正四棱柱的底面边长为2，高
为 ，利用已知可求得 ，求得平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用向
量法可求得平面 与平面 所成二面角为的正弦值.
【小问1详解】
取 的中点 ，连结 ，BG．
由 为正四棱柱，得 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证，四边形 是平行四边形，于是 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
分别以DA、DC、 为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设正四棱柱的底面边长为2，高为 ，
则 ， ， ， ， ，
， ，
由 ，解得 ．
（i）所以 和 都为等腰直角三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为BF， 平面 ， ，所以 平面 ．
（ii） ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ．
为
设平面 与平面 所成二面角 ，
则 ，所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角为的正弦值为 ．
17. 离心率为 的椭圆 交 轴负半轴和 轴负半轴分别于点A，B，点 ，
且 的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作直线l与椭圆C的一个交点为M，与直线 的交点为N，若P为MN的中点，
求直线l的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由离心率及 的面积列出等式求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）法一： 联立 求得N，结合中点坐标公式求得M坐标，代入椭圆方程
即可求解；法二：设 ，则 ，所以 ，联立椭圆方程求解即可；
【小问1详解】
设椭圆 的焦距为2c，因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，
所以直线 ， ，
所以点 到直线AB的距离为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
【小问2详解】
方法一：当 ，则 ， ，P不是MN的中点（舍去）；
当 ，联立 得 ，所以 ，
代入椭圆 整理可得 ，解得 ，或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的方程为 或 ．
方法二：设 ，则 ，所以 ，
联立 消去 整理可得 ，所以 或 ，
所以 ，或 ，
所以直线 的方程为 或 ．
18. 已知函数 和 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，证明： ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导函数可求得 ，进而可求得切线方程；
（2）记 ，利用反证法可证明 ，进而可得 ；
（3）由已知可得 ，令 ， ，求导可求得结论.
【小问1详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故在点 处 的切线方程为 ；
【小问2详解】
记 ，则 ，因为 ，故 ．
反证法：若 ，则存在 ，使得 在 单调递增，
此时 ，与 恒成立矛盾．
同理可得， 也不成立．故 ．
， ， ．
下面证明： 时， ．
令 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，
当 时，因为 且 ，
故 ；
为
当 时，因 且 ，故 ．
所以，当 时，对任意 ， 恒成立．
【小问3详解】
由（1）知，当 时， ，所以 在 单调递增，如图．
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学科网（北京）股份有限公司，
， ．
， ，即 ， ， ，
令 ， ， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 ，即 ．
19. 一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，
如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球
放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为 ．
（1） 为何值的概率最大？
（2）求随机变量 的分布列；
（3）求随机变量 的数学期望 关于 的表达式．
【答案】（1）
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）操作1次后， 的可能取值为10，11，12，利用古典概率公式求得对应概率可得结论．
（2）操作2次后， 的可能取值为10，11，12，13，14，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得分
布列；
（3）法一：记执行上述操作 次后，盒子中2号球的个数为 ， ，
，进而可得 ，构造等比数列，进
而可得 .法二：记执行上述操作 次后，盒子中2号球的个数的数学期望为 ，
则1号球有 个，由已知可得，
，进而可得
，可求结论.
【小问1详解】
操作1次后， 的可能取值为10，11，12．
， ， ，
所以 时的概率最大；
【小问2详解】
操作2次后， 的可能取值为10，11，12，13，14，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
所以 的分布列为
10 11 12 13 14
P
【小问3详解】记执行上述操作 次后，盒子中2号球的个数为 ，
设 ， ，
则 ， ，
则 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司则
．
所以 ，
又由（1）可得 ，所以 ．
因为 ，
所以 ．
法二：记执行上述操作 次后，盒子中2号球的个数的数学期望为 ，则1号球有 个，则
，
整理得： ，所以 ，
又由（1）可得 ，
所以 ．
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
【点睛】关键点点睛：求得 是解题的关键，对学生的计算能力和综合应用能力要
求较高.
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学科网（北京）股份有限公司
