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2024 年秋期六校第二次联考
高二年级数学参考答案
1．【答案】C
【解析】设→=x→+y→，即可解得x，y的值，进而求出λ值.
(cid:1) (cid:3) (cid:4)
2．【答案】B
【解析】因为→在→方向上的投影向量为3 →→，所以 →→ (cid:3)(cid:3) →→→ (cid:4)(cid:4)(cid:4) . →→ (cid:3)(cid:3) = 3 →→，所以→.→=3，所以→→+→→
(cid:4) (cid:3) 2 (cid:3)(cid:3) |→→→| →→| 2 (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:3)(cid:3) (cid:4)(cid:4)
(cid:3)(cid:3)(cid:3) ||(cid:3)(cid:3)
在→方向上的投影数量为 →→ (cid:3)(cid:3) .（→→ (cid:3)(cid:3) +→→ (cid:4)(cid:4) ） = 5 2 .
(cid:3) |→→→| 2
(cid:3)(cid:3)(cid:3)
3．【答案】B
【解析】当甲安排为“定点投篮”工作，另外3人任意安排工作有6种方法.当甲也不安排“定
点投篮”工作时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，则此时有2×2×2=8
种方法，共有6+8=14种，故选：B.
4．【答案】C
【解析】(cid:13)(cid:14)=(cid:13)(cid:14)-(cid:13)(cid:14)= 1（→+→）- 2 →→.
(cid:11)(cid:12) (cid:15)(cid:12) (cid:15)(cid:11) 2 (cid:4) (cid:1) 3 (cid:3)(cid:3)
5．【答案】D
【解析】取AC的中点H，SC的中点F，连接DH，EH，EF，DF，如右图
所示：在△SCA中，因为D，F分别为SA，SC的中点，故DF//AC，故∠FDE
即为所求角或其补角；设AB=BC=2SC=2，在△ABC中，AC=2BCsin60° =2 3，
又有DF= 1 (cid:21)(cid:22) = 3，由SC⊥平面ABC，可得SC⊥BC，则(cid:23)(cid:24)= 1+4 = 5，
2
(cid:26)(cid:27)=
1
(cid:23)(cid:24)=
5，由于DH//SC，可得DH⊥平面ABC，又(cid:26)(cid:28)⊂面ABC，则
2 2
DH⊥EH，可得(cid:30)(cid:26)= (cid:30)(cid:28)2+(cid:26)(cid:28)2 = 1 +1 = 5，所以
4 2
5 5
cos∠(cid:27)(cid:30)(cid:26)=
(cid:30)(cid:27)2+(cid:30)(cid:26)2−(cid:26)(cid:27)2
=
3+
4
−
4 =
15．故选：D.
2(cid:30)(cid:27)⋅(cid:30)(cid:26) 2 3× 5 5
2
6．【答案】A
【解析】设过点A（－a，0）且方向向量为→=（1，-1）的光线，交直线y=－b的点为B，
&
右焦点为C，因为方向向量→=（1，－1）的直线斜率为-1，则∠CAB=45°，直线AB的斜率
&
为-1，又由反射光线的性质可得BC的斜率为1，故AB⊥BC，所以△ABC为等腰直角三角形，
且B到AC的距离为b，又AC=c+a，故a+c=2b，(cid:3)2+(cid:1)2+2ac=4(cid:4)2=4（(cid:3)2-(cid:1)2），则（3a-5c）（a+c）
高二年级数学参考答案 第 1 页 （共 8 页）=0，故3a=5c，离心率e= (cid:1) = 3 .
(cid:3) 5
7．【答案】A
【解析】设点P（x，y），则由|(cid:13)(cid:14) |=2|(cid:13)(cid:14)|得点P的轨迹方程为x²+y²=4，圆心为（0，0），半
'(cid:21) '(cid:24)
径为2，由此可知圆（x－a－1）²＋(y－3(cid:3)＋2)2=9与x²+y²=4有公共点，又圆（x－a－1）²
＋(y－3(cid:3)＋2)2=9的圆心为（a+1，3a-2），半径为3，所以1≤ ((cid:3)+1)2+(3a−2)2 ≤5，解
得 -1≤a≤2，即a的取值范围是[-1，2].故选A.
8．【答案】D
【分析】可借助正方体解决正八面体的有关问题.
【解析】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：
因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为2 2.
∵A，E，C，F四点共面，直线AE与CF是共面的，故A错；设二面角E－AB－D为ɵ，(cid:23) =
△(cid:21)(cid:24)(cid:26)
3 ，(cid:23) 正方形(cid:21)(cid:24)(cid:22)(cid:30) =4，所以 cosɵ= 1
3
≠
2
2，ɵ≠ /
4
，所以：二面角E－AB－F=2ɵ≠ /
2
，故B错；
V= 1 ×4×2 2 = 8 2，故C错；由八面体的构成可知：平面ABE和平面DCF之间的距离
3 3
1
是正方体体对角线的 ，所以两个平面之间的距离为：1 ×2 2× 3 = 2 6，故D正确.
3 3 3
9．【答案】ABD
【解析】对于A，1 ⊥1 ，所以3a×2-4（2a-1）=0，解得a=2；对于B，点A在C圆内，
1 2
当CA⊥PQ时，|PQ|取最小值，|CA|= 5，r=3，所以|PQ|的最小值是4；对于C，方程表示椭
4−2> 0
圆的充要条件是 2−1> 0 ，解得1<k<4且k≠ 5；对于D，直线过定点P（1，-1），5 =4，
'(cid:21)
2
4−2≠2−1
5 =
3，画图可知k的取值范围是[ 3，4].
'(cid:24)
2 2
10．【答案】AC
【解析】直线过（0，1），双曲线的渐近线方程为y=±x，k=±1时一个交点，k=± 2时
切于一点，k˂ － 2或k ＞ 2时没有公共点，－ 2 ˂k˂－1或－1˂k˂1或1˂k˂ 2时两
个公共点.
高二年级数学参考答案 第 2 页 （共 8 页）11．【答案】BD
【分析】分类讨论两个平面的位置，作截面结合正方体的结构特征运算求解.
【解析】设该正方体为ABCD－A B C D ，且其棱长为a，若考虑4个平面中最中间的两
1 1 1 1
个平面，共有两种情况：①若中间的两个平面为平面A BD和平面B D C，如图1所示，则
1 1 1
过A ，A，C作截面，截面图如图2所示，AE= 2a，A(cid:21) =a，(cid:21) E= 6a，
1 1 1
2 2
设相邻两平面间距离即为A到A
1
E的距离h，可得 1
×
2a×a=1
×
6a×ℎ，解得h= 3 a，
2 2 2 2 3
即相邻两平面间距离即为A到A
1
E的距离 3 a，可知 3 a=1，解得a=
3
；（法二：
3 3
3a=3,故a= 3 ）②若中间的两个平面如图3所示，过B，C，C 1 作截面，截面图如图4所
示，
其中M，N分别为BC，B₁C₁中点，则BM= 1 a，B(cid:24) =a，(cid:24) M= 5a，设相邻两平面间距
2 1 1 2
离即为B到(cid:24) M的距离d，可得1 × 1 (cid:3)×a=1 × 5a×d，解得d= 5a，相邻两平面间距离即为
1 2 2 2 2 5
B到(cid:24) M的距离 5a，则 5a=1，解得a=
5
；故选：BD.
1
5 5
12．【答案】（-1，1）
【解析】圆心C到直线l的距离d= |k×6−0+4k| = |10k| ，要在圆C上至少存在两点到直
22+(−1)2 22+1
线l的距离等于t= 2，则需要|d-t|<r，即t-r<d<t+r，即 |10k| <t+r= 2+4 2=5 2，解
22+1
得-1<k<1，故实数k的取值范围是（-1，1）.
高二年级数学参考答案 第 3 页 （共 8 页）13．【答案】 2
【解析】如图，作PQ⊥BC于点Q，作QM⊥BD，交BD于点M，连接PM，得到PQǁAB，
QM//CD，PQ⊥平面BCD，PQ⊥BD，又QM⊥BD，QM∩PQ=Q，所以BD⊥面PQM，所以
PM⊥BD.设CQ=x，CB=2 2，'8 = (cid:22)8 则'8 = 9 ，PQ= 9，0≤x≤2 2，在△BCD中，(cid:24)8 =
(cid:21)(cid:24) (cid:22)(cid:24) 2 2 2 2 (cid:24)(cid:22)
8(cid:11)，即2 2−x = 8(cid:11)，QM= 2 2−x，PM= '82+8(cid:11)2= 92 + (8－4 29+92) = 92−2 2x+4=
(cid:22)(cid:30) 2 2 2 2 2 2
(9− 2)2+2 ≥ 2，当且仅当x= 2时等号成立，(cid:23) = 1 BD∙PM≥ 1 ×2× 2 = 2.
∆'(cid:24)(cid:30)
2 2
14．【答案】3 2+2 5
【解析】设CD中点为M，连接(cid:30) M，P(cid:24) ，(cid:24) (cid:30) ，PM，则AQ⊥平面PM(cid:30) (cid:24)
1 1 1 1 1 1
则截面即四边形PM(cid:30) (cid:24) .因为(cid:30) M＝P(cid:24) ＝ 22+12 = 5，(cid:24) (cid:30) ＝ 22+22 =2 2，PM＝ 2，
1 1 1 1 1 1
所以截面PM(cid:30) (cid:24) 的周长为3 2+2 5.
1 1
15．【答案】
（1）x－4y=0或x＋y－5=0；（2） 26+3
【解析】
（1）因为f（4）=1，所以定点A（4，1） .............1分
因为直线在x，y轴上的截距相等，设截距分别为m，n，
当m=n=0时，直线经过原点，设 y=kx，又经过点A，则有 k= 1，直线l的方程为x
4
－4y=0； .........................3分
当m=n≠0时，设直线l的方程为x + y =1，代入点A（4，1），解得m=n=5，所以直线
m n
l的方程为x+y－5=0. ...........................5分
综上可得直线l的方程为x－4y=0或x+y－5=0. ................6分
（2）设Q（x，y），P（x ，y ），由(cid:13)(cid:14)=（3，-4）
0 0
'8
9 =9−3
可得 0 ， .........8分
A =A+4
0
代入9 2+A 2=9，
0 0
高二年级数学参考答案 第 4 页 （共 8 页）得（9−3)2+（A+4)2=9即为点Q的轨迹方程， .........10分
圆心（3，-4），半径r=3，点A在圆外，点A到圆心的距离为
2 2
（4−3） +（1+4） = 26， ..................12分
所以|AQ|的最大值为 26+3. ..................13分
16．【答案】
（1）4；（2） 3.
【解析】圆M的圆心（-1，2），半径r=1. ..............1分
（1）由题意知直线过圆心，所以a+b=1，a>0，b>0， .......2分
1 + 1 = （1 + 1）（a+b） =2+ (cid:4) + (cid:3) ≥4，当且仅当a=b= 1时等号成立，
(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) 2
所以1 + 1 的最小值是4. .........................5分
(cid:3) (cid:4)
（2）由题意知抛物线的准线为x=-2，
所以抛物线方程为y2=8x， ...................7分
焦点F（2，0），9 ≥0，
0
|AF|=9 +2，|AB|= (9 +1)2+A 2, 其中A 2 =89 ， .........................9分
0 0 0 0 0
所以 |(cid:21) | (cid:27) (cid:21) | (cid:24) − | 1 = (90 9 + 0 1 + )2 1 +A0 2 = (90 9 + 0 1 + ) 1 2+890 = 1+ 90 2+ 8 2 9 9 0 0+1 = 1+ 90+ 8 2+ 9 1 0 ≤ 3 （9 0 >0），
当且仅当9 =1时等号成立. .............13分
0
9 =0时 |(cid:21)(cid:24)| =1， ...........14分
0 |(cid:21)(cid:27)|−1
所以 |(cid:21)(cid:24)| 的最大值是 3 . ..........15分
|(cid:21)(cid:27)|−1
17．【答案】
（1）3；（2）2 7
2 7
【解析】
（1）根据题意，由直角梯形边长AB=BC=2，DC=3，可知∠C=60∘，∠ABC=120∘；
又点E是DC边上靠近于点D的三等分点，所以EC=2，可得△BCE为等边三角形；
连接AE，如下图所示：
高二年级数学参考答案 第 5 页 （共 8 页）可得四边形ABCE为菱形，所以AC⊥BE，
即折起后AF⊥BE，(cid:22) F⊥BE， .........................................2分
1
如图所示，易知AF=(cid:22) F= 3 ，又A(cid:22) = 6 ，满足(cid:21)(cid:27)2+(cid:22) (cid:27)2=(cid:21)(cid:22) 2，
1 1 1 1
即AF⊥(cid:22) F； ......................................4分
1
又AF⋂BE=F，AF，BE⊂平面ABED，所以(cid:22) F⊥平面ABED， .......................5分
1
且(cid:22) F= 3 ，梯形ABED的面积为1 ×（1+2） × 3=3 3，
1
2 2
V= 1 × 3 3 × 3= 3. ........................7分
3 2 2
（2）以D为坐标原点，分别以(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:14),(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:14)为x，y轴，(cid:13)(cid:14)方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，
(cid:30)(cid:30)(cid:21)(cid:21) (cid:30)(cid:30)(cid:26)(cid:26) (cid:27)(cid:22)1
如下图所示：
则D（0，0，0），A（
3
，0，0），B（
3
，2，0），(cid:22) （ 3，3，
3
），
1
2 2
可得(cid:13)F(cid:14)=（ 3，1，-
3
），(cid:13)(cid:14)=（ 3，3，
3
），(cid:13)(cid:14)=（
3
，0，0）， ...............10分
(cid:22)1(cid:24) 2 2 (cid:30)(cid:22)1 2 2 (cid:30)(cid:21)
3 3
9+ A+ 3H=0
设平面(cid:22)
1
AD的法向量→
G
=（x，y，z），则
2 2
，
39=0
可得→=（0，-2，
3
）为平面(cid:22) AD一个法向量， ....................13分
G 1
设B(cid:22) 与平面(cid:22) AD所成的角为I，
1 1
|||→→→.(cid:13)(cid:13)(cid:13)FFF(cid:14)(cid:14)(cid:14)|
所以sinI=|cos <→→→,(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:14)>|= GGG (cid:22)(cid:22)(cid:22)111(cid:24)(cid:24)(cid:24) = |−4| = 2 7. ..........15分
GGG (cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:22)(cid:22)(cid:22)111 |→→→||(cid:13)(cid:13)(cid:13)FFF(cid:14)(cid:14)(cid:14)| 2 7 7
GGG (cid:22)(cid:22)(cid:22)111(cid:24)(cid:24)(cid:24)
其它建系方法，只要结果正确，都给分。
18．【答案】
（1）证明见解析；（2） 15.
5
【解析】
（1）取线段PC的中点M，连接OM，EM，在△PCD中，E，M分别为PD，PC的中点.EM//CD，
高二年级数学参考答案 第 6 页 （共 8 页）且EM= 1 CD， ....................2分
2
又∵底面ABCD是正方形，且O是AB的中点，所以AO//CD，且AO= 1 CD，所以EM//AO，
2
且EM=AO∴四边形AOME为平行四边形， ............4分
则OM//AE，又OM⊂平面POC，AE⊄平面POC，∴AE//平面POC. .......6分
（2）由OA=PA=2，∠PAB=60°可知△POA为等边三角形， .............7分
设OA中点为Q，则PQ⊥OA，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=OA，
所以PQ⊥平面ABCD， ...................9分
设CD上靠近点D的四等分点为N，以Q为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为x，
y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，
3
），B（3，0，0），D（-1，4，0），(cid:13)(cid:14)=（3，0，-
3
），(cid:13)(cid:14)=（-4，4，0），
'(cid:24) (cid:24)(cid:30)
...........11分
→→.(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:14)=39− 3H=0
设平面PBD的法向量为→=（x，y，z），则 && '''(cid:24)(cid:24)(cid:24) ，取x=1，得
& →→→.(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:14)(cid:14)=−49+4A=0
&&& (cid:24)(cid:24)(cid:24)(cid:30)(cid:30)(cid:30)
y=1，z=
3
，所以→=（1，1，
3
）为平面PBD的一个法向量. ......................14分
&
取平面ABD的法向量为→=（0，0，1） ...........15分
G
设平面PBD与平面ABD所成的平面角为I，且I为锐角，
则cosI=cos<→→，→→ >= →→→ &&& .→→ GG = 15. ......................17分
&& GG |→→→||→→→| 5
&&& GGG
19．【答案】（1）4；（2）存在，λ= 1
.
5 4
【解析】
x2 y2
（1）因为椭圆 + =1(a >b>0)是等差椭圆，所以2b=a＋c，所以c=2b－a，又c²=a²
a2 b2
高二年级数学参考答案 第 7 页 （共 8 页）－b²， ................2分
所以（2b－a）²=a²－b²， ................3分
化简得 b = 4 . .................5分
a 5
（2）由2c=6且 b = 4 可知a=5，b=4，c=3.
a 5
所以椭圆方程为92 + A2 =1， ............6分
25 16
联立直线x=my+3得（16G2+25）y2+96my-256=0，
A（-5，0），B（5，0），设P（9 ，A ），Q（9 ，A ），则
1 1 2 2
A +A = −96G ，A A = −256 ， ...............9分
1 2 16G2+25 1 2 16G2+25
9 =mA +3，9 =mA +3，2 =
A1
=
A1
，2 =
A2
=
1 1 2 2 1 91+5 GA1+8 2 92−5
A2 ，21 = GA1A2−2A1， ..................13分
GA2−2 22 GA1A2+8A2
把A = −96G -A ，A A = −256 代入，
1 16G2+25 2 1 2 16G2+25
−64G
得 21 = 16G2+25 +2A2 = 1， ..............16分
22
1
−
6G
25
2
6
+
G
25
+8A2 4
所以存在实数λ= 1，使得2 =λ2 . ...........17分
1 2
4
高二年级数学参考答案 第 8 页 （共 8 页）
