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2024 年牡丹江地区共同体高二期末联考
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. 48 B. 15 C. 3 D. 63
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解.
【详解】由题意， ，
所以 .
故选：A
2. 若 是等差数列， 表示 的前 项和， ， ，则 中最小的项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差中项的性质及求和公式可得 ， ，进而可确定数列 的最小项.
【详解】由数列 为等差数列，
则 ，且 ，
即 ， ，
所以当 时， 取最小值，
即数列 的最小项为 ，故选：B.
3. 若 ， ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数导数公式可求f′(x)，由条件列方程求 .
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
4. 已知椭圆 的右焦点为 ，点 是 上的一点，点 是线段 的中点， 为坐标
原点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记椭圆 的左焦点为 ，连接 ，利用中位线的性质求出 ，再利用椭圆的定义可求得
.
【详解】记椭圆 的左焦点为 ，连接 ，又点 是线段 的中点， 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
在椭圆 中， ，
又点 是 上的一点，所以 ，所以 ．
故选：A．
5. 抛物线 上的点到其准线的距离与到直线 的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义，转化距离，利用数形结合，即可求解.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设抛物线上的点 到其准线的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，由抛物线的定义可知 ，则 ，
其最小值为焦点 到直线 的距离，距离 ，
即抛物线 上的点到其准线的距离与到直线 的距离之和的最小值为 .
故选：D
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点P(x,y)与 连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解.【详解】记 ，则 为直线 的斜率，
故当直线 与半圆 相切时，得k最小，
此时设 ，故 ，解得 或 （舍去），
即 ．
故选：C.
7. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，设 ，将数列
中的整数项组成新的数列 ，则 （ ）
A. 2023 B. 2024 C. 4046 D. 4048
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列定义，将 代入计算可得 ， ；可得 ，再由新的数列
的性质求出其通项为 即可得出结果.
【详解】令数列 的公比为 ， ，
因为 ，所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，解得 （舍去 ），
所以 ，即 ，
因为数列 中的整数项组成新的数列 ，
所以 ，此时 ，即 ，
可得 .
故选：D.
8. 已知 ， 是椭圆 和双曲线 的公共焦点， 是该椭圆和双曲线的一个公共点，
， 的外接圆半径为2，且 ，记椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为
，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到 ，判断A选项；由三角形正弦定理求
得角 ，由椭圆和双曲线定义表示出线段 ，再用余弦定理求得关系 ，
由三个参数的关系式，判断B选项；由 两边同除 再化简，判断C选项；用离心率公式代换代数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项.
【详解】∵双曲线 ，则焦点在 轴，则椭圆中 ，
∵ ，∴ ，即 ，即 ，故A选项错误；
由正弦定理可知在 中 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由椭圆和双曲线的定义可知： ，解得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，B选项错误；
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，C选项正确；
当且仅
当 ，即 时取等号，所以最小值为 ，D选项错误.故选：C.
的
【点睛】方法点睛，本题巧用三角形 正弦定理求出角 是关键，然后就是利用椭圆与双曲线
的几何性质和参数之间的关系，进行整理化简即可.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知数列 是公比为 的等比数列，且 成等差数列，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】AD
【解析】
的
【分析】根据等比数列 通项公式结合等差中项列方程求解.
【详解】由题意， ，由等比数列通项公式可得 ，
由于等比数列每一项都不是 ，故 ，
即 ，解得 或 .
故选：AD
10. 已知椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，左右两个顶点分别为 、 ，P点是椭圆
上任意一点（与 不重合）， ，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A. B. 的最大面积为C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】设P(x ,y )，表示出 和 ，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判
0 0
断B；利用椭圆定义将 的周长转化为 ，结合图形求解可判断D.
【详解】对A，由题知， ，则 ，
设P(x ,y )， ，
0 0
则 ，A正确；
对B，易知当点 为短轴端点时， 的面积最大，最大值为 ，B正确；
对C， ，
则 ，C错误；
对D，由椭圆定义可知， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
当 三点共线，且 在线段 上时，等号成立，D正确.
故选：ABD11. 已知数列 满足： ， ， ，数列 的前 项的积为 ，
记 ，则（ ）
A. 数列 是等比数列 B.
C. 当 为奇数时， D. 当 为偶数时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题设中数列 的递推关系式得到 ，结合条件 得到
，两边取对数得到数列 ，即可判断选项A；在此基础上求出 ，进而得到 与 的
关系即可判断选项B；结合条件 分 为奇数和 为偶数两种情况求 ，进而得到 即可
判断C、D.
【详解】显然 ， ．因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即当 时， ．显然 ，
对于A，∵ ，∴ ，又 ，所以数列 是首项为1，公比
为2的等比数列，故A正确；
对于 B，由选项 A 知， ，所以 ， ，两式相除得
，故B错误；对于C，当 为奇数时，
，
所以有 ，故C正确；
对于D，当 为偶数时，
，
所以有 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由导数的几何意义即可求解.
【详解】由题可得 ，当 时， ，
即曲线在点 处的切线斜率 ，所以所求切线方程为 ．
故答案为：
13. 若数列 满足 ， ，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄
金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，
在每个正方形中作圆心角为 的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以 为边长的正方形中的
扇形面积为 ，数列 的前n项和为 ．给出下列结论：① ；
② 是奇数；
③ ；
④ ．
则所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据递推公式求出 即可判断①；观察数列的奇偶特点即可判断②；根据递推公式，结合累加法
即可判断③；根据递推公式可得 ，结合累加法计算即可判断④.
【详解】对于①，由 ，且 ，可得斐波那契数列： ， ， ，
， ， ， ， ， 故 故①正确；
对于②：由斐波那契数列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
是
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且 ，所以 奇数，故②正确；
对于③：因为 ，
相加可得： ，故③错误；
对于④：因为斐波那契数列总满足 ，且 ，
所以 ，，
，
类似的有， ，
其中
累加得 ，
，
故： ，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，直接计算可判断①②，利用累加法即可判断
③④.
14. 已知 ，M是椭圆 上的动点， ， 分别是其左右焦点，则 的最
大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，可得 ，结合椭圆的第二定义可得 ，
进而得到 ，进而利用基本不等式求解即可.【详解】由题意，要求 的最大值，设 ，
则 ，即 ，
由 ，得 ，则 ，
则 ， ，椭圆 的右准线为 ，
则 到右准线为 的距离为 ，
根据椭圆的第二定义可知， ，即 ，
又 ， ，
则
，
由于 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，则 ，
即 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆的第二定义得到 ，进而表示出
，再利用基本不等式求解即可.
四、解答题（共77分）
15. 在数列 中， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数列 递推公式，采用累加 的方法可求得数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ，分别采用错位相减法和分组求和法即可求得结果.
【小问1详解】
因为数列 满足 ，且 ，
当 时，可得 ，
即 ，
当 时， 适合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
【小问2详解】
由于 ，且 ，
则 ，
即 ，
设 ，
则 ，
两式相减得： ，
所以 ，
所以 .
16. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上在第一象限的一点，点 在 轴上，
轴， ， ．
（1）求 的方程；（2）过 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点， 的面积为 （ 为坐标原点），求直线
的方程．
【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；
（2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程，利用弦长公式计算出 ，再根据点到直线
的距离公式计算出点 到直线 的距离，根据面积公式建立等式计算即可求解.
【小问1详解】
由题知， ，
由抛物线的定义知， ，
， 的方程为 ．
【小问2详解】
由（1）知 ，设 ， ，
直线 的方程为 ，代入 ，整理得 ，
由题易知 ， ， ，
，
到直线 的距离为 ，
，解得 ，直线 的方程为 或 ．
17. 如图，在三棱台 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， 平面 ，
设平面 平面 ，点 分别在直线 和直线 上，且满足 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 和平面 所成角的余弦值为 ，求该三棱台的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得 ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台
的体积公式可得结果.
【小问1详解】
由三棱台 知， 平面 ，
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ；【小问2详解】
取 中点 ，连接 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，
过点 做 轴垂直于 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得平面 的一个法向量 ，
易得平面 的一个法向量 ，
设 与平面 夹角为 ，
，
所以
由 ，得 ，
由（1）知 ，所以 ，
解得 ，所以三棱台的体积 .18. 在数列 中，已知 ， （ ）．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求使得 的整数 的最小值；
（3）是否存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列？若存在，求出 、 、
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）不存在，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）证明数列 为等比数列，即转化变形方向为 与 的关系.首先分离
与 ，然后两边同取倒数，再同减去1，即可得证；
（2）先由(1)结论求出 ，再化简 ，根据分式形式，裂项求和得 ，求解不等式，估值可得
整数 的最小值；
（3）假设存在正整数 、 、 ，使得 、 、 成等差数列，得到 、 、 的等量关系，根据整
数性质，等式左偶右奇不可能成立．
【详解】（1）证明：由 ，得 ，从而 ，
，
又 ，故数列 为等比数列；
（2）解：由(1)得， ，故 ，所以 ，
，
令 ，则 ，
解得 ， ， .
故使得 的整数 的最小值为10；
（3）解：假设存在正整数 、 、 满足题意，则 ，
即 ，
即
两边同除以 得，
(*)
由 得， ， ；
所以 为奇数，而 、 均为偶数，
故(*)式不能成立；
即不存在正整数 、 、 ，且 ，使得 、 、 成等差数列.
【点睛】数列常见裂项形式：
（1） ；
（2） ；（3） ；
（4） .
19. 在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，记 的轨迹为
曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
（1）求 的标准方程；
（2）证明： ；
（3）若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线
的垂线，垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解；
（2）根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理 ，结合数量积坐标运算即可证明；
（3）依据题意得直线 和直线 的方程分别为 ，联立直线 和曲线E方程求得韦
达定理 ，从而利用中点坐标公式求出点P坐标，同理求出点Q坐标，再利用点到直线距离
公 式 分 别 求 出 点 P 和 点 Q 到 两 渐 近 线 的 距 离 ， 接 着 根 据
计算结合变量取值范围即可求解.
【小问1详解】设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .
【小问2详解】
由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，
则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；
②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
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联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，所以
，
同理 ，所以 ，
综上， .
【小问3详解】
由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，
联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
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则 ，
， ，
故 ，因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，
所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，
Q到两渐近线的距离分别为 ，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：求解四边形 面积的取值范围的关键1在于明确直线 和直线的变量m的范围为 ，；关键2在于先将四边形 补形为矩形 再分
割为四边形 和两个三角形利用 来计算求解.
