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江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题
一、单选题
1．若直线 的倾斜角的大小为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．若直线 ： 与直线 ： 平行，则 ＝（ ）
A． B． 或3 C． D．3
3．若直线 被圆 截得的弦长为4，则 （ ）
A． B． C．2 D．
4．已知点 ，若直线 与线段AB相交，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．“ ”是“直线 与曲线 恰有1个公共点”的（ ）条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，如： 可以转化为平面上点 与点 的距离．结合上述观
点，可得 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．7．与 圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．6条
8．设 ，圆 ．若动直线 与圆M交于点A，C，动直线
与圆M交于点B，D，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 可能与 轴垂直
B．当 时，直线 的倾斜角为
C．当 时，直线 与直线AB平行
D．当 时，直线 与直线AB垂直
10．下列说法中正确的有（ ）
A．若三条直线 不能构成三角形，则实数 所有可能的取值组成的集合
为
B．若直线 沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，回到原来的位置，则
该直线 的斜率为
C．若圆 上恰有2个点到直线 的距离等于 ，则r的取值范围是
D．已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、
为切点，则四边形 面积最小值为4
11．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系.例如，与直线 平行的直线系可表示为 ：.设直线系 ： ，则（ ）
A．点 到 中任意一条直线的距离为定值
B．存在定点 不在 中任意一条直线上
C．点 到 中所有直线距离的最大值为5
D．对任意的整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
三、填空题
12．已知斜率为 ，且在x轴上的截距为3的直线方程为 ．
13．已知圆C经过原点和点 ，并且圆心在直线 上，则圆C的标准方程为 ．
14．如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 上恰有3个点到直线 的距离为
．设点 ， ，点Q是圆O上的任意一点，过点B作 于M，则 的最小
值为 ．
四、解答题
15．已知坐标平面内两点 ．
(1)当直线MN的斜率不存在时，求 的值；
(2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出 的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ．(1)若 边上的高 所在的直线方程为 ，求直线 的方程；
(2)若 的平分线 所在的直线方程为 ，求边 所在的直线方程．
17．直线l过原点且与圆 交于A，B两点．
(1)过点 作圆C的切线，求切线方程；
(2)求弦AB的中点M到直线 距离的最大值．
18．过点 的直线 分别交 与 于 、 两点．
(1)若点P恰好是A，B的中点，求直线 的方程；
(2)过点P的直线m分别交 轴的正半轴和 轴的负半轴于M，N两点，当 取最小值时，求直线
m的方程；
19．在平面直角坐标系 中，已知 为三个不同的定点.以原点 为圆心的圆与
线段 都相切.
(1)求圆 的方程及 的值；
(2)若直线 与圆 相交于两点 且 ，求 的值；
(3)在直线 上是否存在异于 的定点 ，使得对圆 上任意一点 ，都有 （ 为常数）？若存
在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C A D B A AB BCD
题号 11
答案 ABD
1．D
根据直线方程及其倾斜角，结合斜率与倾斜角关系列方程求参数值.【详解】由题意知直线存在斜率为 ，则 ，可得 .
故选：D
2．B
根据两直线平行，系数满足的关系求 的值即可.
【详解】因为两直线平行，所以：
，
所以 或 .
故选：B
3．D
根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可.
【详解】由题设，圆心 ，半径为 ，则 到 的距离 ，
由直线与圆相交所得弦长为4，则 ，即 ，所以 .
故选：D
4．C
根据直线恒过定点 且斜率为 ，数形结合确定直线与线段AB相交情况下参数的范围.
【详解】由题设， 恒过点 且斜率为 ，如下图示，所以 ， ，
由图知，要使直线 与线段 有交点，则 或 ，故 或 .
故选：C
5．A
由 表示圆 上半部分，数形结合求出临界情况下的直线，进而确定参数范围，
最后由充分、必要性的定义得结论.
【详解】由 表示圆 上半部分，且圆心为 ，半径为2，如下图示，
由图知，当直线与半圆左上部分相切或与 轴的交点在线段 上（不含 点），满足题设，
当直线与圆左上部分相切时， ，可得 ，
当直线过 点时 ，即 ，直线过点 时 ，即 ，
综上，满足条件的 ，
所以“ ”是“直线 与曲线 恰有1个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
6．D
将 转化成 到点 的距离与到点 的距离之差，再结合
和两点间的距离公式进行求解．
【详解】由 ，可转化成 轴上一点 到点 的距离与到点 的距离之差，
则 （当且仅当 三点共线时取等号），
所以 的最大值为 ．
故选：D
7．B
首先排除坐标轴不为切线，再讨论截距是否为0，设出直线方程，并联立圆的方程得到一元二次方程，根
据判别式为0求参数值，即可得切线条数.
【详解】由 的圆心为 ，半径为 ，显然坐标轴不可能是切线，
若截距为0，则直线为 ，代入圆中得 ，
所以 ，则 ，可得 ，
故对应有2条切线，分别为 ；
若截距不为0，设直线为 ，代入圆中得 ，
所以 ，则 ，
整理得 ，可得 （舍）或 ，故切线为 ；
综上，共有切线为 、 ，共3条.
故选：B
8．A
根据已知有 、 均恒过点 ，且 ，令 ，则 ，结合圆
的弦长求法有 ，再应用基本不等式求其最大值，注意取值条件.
【详解】由 ，圆心 ，半径为 ，
、 均恒过点 ，由 知 ，且 ，即 在圆内，如下图示，
所以 ，设 分别是 的中点，则 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 最大值为 .
故选：A
9．AB
对于A，根据与 轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜
角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可
得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误.
【详解】对于A，当 时，直线 ，此时该直线与 轴垂直，故A正确；
对于B，当 时，直线 的斜率为 ，
由 ，则该直线的倾斜角为 ，故B正确；
对于C，当 时，直线 ，
由 ，则直线 ，化简可得 ，
显然两条直线重合，故C错误；对于D，当 时，直线 ，由直线 ，
且 ，则两直线不垂直，故D错误.
故选：AB.
10．BCD
当三条直线交于一点时， ，可判断A；设直线 方程为 ，从而得到平移后的解析式
，从而可判断B；计算圆心到直线的距离，根据题意列不等式计算得 ，可判断
C，根据对称性得 ，当 最小时，计算可得 ，可判断D.
【详解】对于A，当直线 ， 平行时，解得 ，
当直线 ， 平行时，解得 ，
显然直线 ， 交于点 ，
当点 在直线 时， ，
实数 的取值集合为 ，故 A错误；
对于B，当直线 的斜率不存在时，不满足要求，
当斜率存在时，设直线 方程为 ，
沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，
得到 ，即 ，故 ，解得 ，
则该直线 的斜率为 ，故B正确；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
要使圆 上恰有2个点到直线 的距离等于 ，则 ，解得 ，故C正确；
对于D，圆 的圆心为 ，半径 ，
设四边形 的面积为 ，
根据对称性可知， ，
因为 ，
所以当 最小时， 最小， 也最小，
当 垂直于直线 时， 最小，即 ，
此时 ， ，故D正确.
故选：BCD
11．ABD
根据点到直线的距离公式可判断A；找出符合题意的点即可判断B；根据直线系L表示几何意义结合圆的
限制即可判断C；说明存在符合题意的正三角形即可判断D.
【详解】对于A，直线系 ： 即 ：
，
点 到 中任意一条直线的距离为 ，为定值，A正确；
对于B，由于点 到 中任意一条直线的距离为1，
可知直线系L表示的圆 的所有切线，故存在定点P，例如圆 内的点，不在直线 中任意一条直线上，B正确；
对于C，由于直线系L表示的圆 的所有切线，其圆心为 ，半径为1，
而 ，则 ，故点 到 中所有直线距离的最大值为 ，C错误；
对于D，例如，圆 是一个正三角形的内切圆，
即正三角形的三边分别为圆 的切线，
而直线系L表示圆 的所有切线，
故该正三角形的三边均在 中的直线上，D正确，
故选：ABD.
12．
利用直线的斜截式方程求解.
【详解】因为直线的斜率为 ，且在x轴上的截距为3，
所以直线的方程为 ，
故答案为：
13．
根据已知，应用点斜式写出 的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程.
【详解】由原点 与 的中点坐标为 ，且 ，则垂直于 的直线斜率为 ，
所以 的垂直平分线为 ，即 ，
联立 ，可得 ，则圆心 ，半径为 ，
所以，所求圆的标准方程为 .
故答案为：14．
首先根据已知求得 ，设 ，则 ，在 中，根据余弦定理得
，再由 ，应用基本不等式求最小值.
【详解】因为圆心 到直线 的距离 ，
又圆 上恰有3个点到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
又
，
当 ，即 时取等.
故答案为：
15．(1)
(2)答案见详解
（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数；
（2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围.【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点 的横坐标相等，
即 ，解得 ；
（2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率 ，
即 ，解得 ；
直线MN的倾斜角为钝角时，斜率 ，
即 ，解得 或 ；
综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时， 的取值范围为： ；
直线MN的倾斜角为钝角时， 的取值范围为． .
16．(1)
(2)
（1）由 求得 ，由点斜式求得直线 的方程；
（2）设点 ，得线段 的中点 的坐标，将其代入直线 的方程，将点 代入直线 的方程，
分别可得 的方程，求解得 坐标，求出点 关于直线 对称点 ，由 三点共线求出 ，
进而可得直线 的方程．
【详解】（1）∵直线 的方程为 ，其斜率为 ，
∵ ，∴ ，又 ，
∴由点斜式得直线 的方程为 ，即 .（2）设点 ，则线段 的中点为 ，
将其代入 所在直线方程 中，得 ，
将点 代入 所在的直线方程 中，得 ，
解得 ，即 ，
设点 关于直线 对称点为 ，
则 ，得 ，即 ，
因 三点共线，则 ，
所以直线 所在的直线方程为 ，即 ．
17．(1) 或 ；
(2) .
（1）讨论切线斜率的存在性，设出直线方程，结合圆心与切线距离等于半径列方程求参数，即可得切线
方程；
（2）由题设易知 ，设 ，并利用向量垂直的坐标表示列方程求出 的轨迹，再应用点线
距离求点M到直线 距离的最大值.
【详解】（1）由题知，圆心 ，半径 ，且 ，故 在圆外，当直线斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ；
圆心到直线的距离 ，整理得 ，解得 ，
所以切线方程为 或 ；
（2）设 ，圆心 ，
因为 是弦 的中点，所以 ，又直线l过原点O，
所以 ， ，
，整理得 ，
所以 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆，则 到直线 的距离 ，
所以点M到直线 的最大值为 .
18．(1) ；
(2) .
（1）设 ，利用中点公式求参数，进而确定 的坐标，最后应用点斜式写出直线方程；
（2）设直线m的方程为 ，根据已知有 ，再应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，确定取值条件，即可得.
【详解】（1）设 ，点 是A，B的中点，
∴ ，可得 ，
∴ ，则 ，
∴直线 的方程为 ，即 ；
（2）设直线m的方程为 ，
∵直线m过点 ，则 ，
，
∴当 ，即 时取等号，则直线m的方程为 .
19．(1)圆 ， ，
(2)
(3) ，
【详解】（1）因为 ，
因为圆 与 相切，所以半径等于 到 的距离．
又直线 ，所以圆的半径 ，所以圆 ．
圆 与 相切，又过点 与圆 相切的直线有 或 ，所以直线 ，所以 ．即 ，
所以直线 ，
又 到 的距离为 ，所以 ，解得 或 （舍），
所以 ．
（2）设 ， ，则 .
由 ，可得 ，
，解得 .
所以 ， ，
故 .
所以 ，所以 .
故 .
（3）设 .
则 ， .
若在直线 上存在异于 的定点 ，使得对圆 上任意一点 ，
都有 为常数 ,
等价于 对圆 上任意点 恒成立.即 .
整理得 .
因为点 在直线 上，所以 .
由于 在圆 上，所以 .
故 对任意 恒成立.
所以 显然 ，所以 .
故 ，
因为 ，解得 或 .
当 时， ，此时 重合，舍去.
当 时， ，
综上，存在满足条件的定点 ，此时 .
