(300)--周周清第十四周（6.09-6.15）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 6.9-6.15 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 4 4 ，则 在点 处 __________. − 2 2 2 2 + , + ≠0 , = , (0,0) 2 2 0, + =0 连续，但偏导数 和 不存在 ' ' (A)连续且偏导数 0,和0 0,都0 存在，但. 不可微 ' ' (B)可微但 和 不 连0续,0 0,0 . ' ' (C)可微且 和 连续 . ' ' (D) . 2.（数一二三）数列极限 2 （数一二三）已知向量 = → ∞ tan ( 可 以 由 +1)=__________. ， 线性表出， T T T 3则. = 1, ,−1 1 = +2,7,1 2 = 1,−1,2 =________. 2z 4.（数一二三）设函数z  z(x,y)由方程sinxy ylnzxz 1确定，则 |  ____. yx (0,1) 5.（数一二三）设函数 f(x)kxekx2 在(0,)上没有零点，则k 的取值范围是____. 6.（数一二三）设平面有界区域D位于第一象限，由曲线(x2  y2)4  x6  y6与 x6  y6 4(x2  y2)4  x6  y6以及坐标轴围成，计算 dxdy (x2  y2)2 D 7.（数一三）设X ,X ,,X 为来自总体X 的简单随机样本，总体X 的分布律为 1 2 n 100  已知利用中心极限定理可得P X 150的近似值为(10 2)，其中(x)表示标 i   i1 准正态分布的分布函数，则 p  ____.周周清 6.9-6.15 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 𝑥4−𝑦4 , 𝑥2+𝑦2 ≠0 1.（数一二三）设𝑓(𝑥,𝑦)={𝑥2+𝑦2 ，则 𝑓(𝑥,𝑦) 在点(0,0)处 __________. 0, 𝑥2+𝑦2 =0 (A)连续，但偏导数𝑓′(0,0)和𝑓′(0,0)不存在. 𝑥 𝑦 (B)连续且偏导数𝑓′(0,0)和𝑓′(0,0)都存在，但不可微. 𝑥 𝑦 (C)可微但𝑓′和𝑓′不连续. 𝑥 𝑦 (D)可微且𝑓′和𝑓′连续. 𝑥 𝑦 [知识点]：通过求偏导数、判断偏导数在原点的极限及连续性，依据可微判定条件（偏导 数连续则可微），分析函数在原点的连续性、偏导数存在性与可微性。 [答案]： D. [解析]：先求 𝑓′ 和 𝑓′. 𝑥 𝑦 当𝑥2+𝑦2 ≠0 时 4𝑥3(𝑥2+𝑦2)−2𝑥(𝑥4−𝑦4) 𝑓′ = 𝑥 (𝑥2+𝑦2)2 −4𝑦3(𝑥2+𝑦2)−2𝑦(𝑥4−𝑦4) 𝑓′ = 𝑦 (𝑥2+𝑦2)2 由 𝑓(𝑥,0)=𝑥2(∀𝑥)，𝑓(0,𝑦)=−𝑦2(∀𝑦) ⇒ 𝑓 ′(0,0)=0，𝑓 ′(0,0)=0 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 注意 | |≤1，| |≤1 𝑥2+𝑦2 𝑥2+𝑦2 ⇒ |𝑓′|≤4|𝑥|+2|𝑥|+2|𝑥|=8|𝑥| 𝑥 |𝑓′|≤4|𝑦|+2|𝑦|+2|𝑦|=8|𝑦| 𝑦 ⇒ lim 𝑓′ =0=𝑓′(0,0)， lim 𝑓′ =0=𝑓′(0,0) 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 因此 𝑓′(𝑥,𝑦)，𝑓′(𝑥,𝑦) 在 (0,0) 连续，从而 𝑓(𝑥,𝑦) 在 (0,0) 可微. 选(D). 𝑥 𝑦 [易错点]：求偏导数时运算易出错；判断偏导数连续性时，对极限计算和不等式放缩把握 不准，或混淆可微判定条件。2.（数一二三）数列极限 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛tan (𝜋√𝑛2+1)=__________. 𝑛→∞ [知识点]：利用正切函数周期性、恒等变形（如根式有理化）、等价无穷小替换，计算数列极 限。 𝜋 [答案]： . 2 [解析]：𝐼 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛tan (𝜋√𝑛2+1−𝑛𝜋) （周期性） 𝑛→∞ 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛tan (𝑛𝜋√1+ −𝑛𝜋) （恒等变形） 𝑛→∞ 𝑛2 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛tan [𝑛𝜋 𝑛2 ] 𝑛→∞ √1+ 1 +1 𝑛2 𝜋 = 𝑙𝑖𝑚 [𝑛⋅ 𝑛 ]= 𝜋 （等价无穷小因子替换） 𝑛→∞ √1+ 1 +1 2 𝑛2 [易错点]：变形时对周期性和根式处理不当，等价无穷小替换时机或对象错误，导致计算 出错。3（. 数一二三）已知向量𝛃=(1,𝑎,−1)T可以由𝛂 =(𝑎+2,7,1)T，𝛂 =(1,−1,2)T线性表出， 1 2 则𝑎 =________. [知识点]：向量线性表出与线性相关的关系，利用三阶向量组线性相关的充要条件（行列式 为0）求解参数。 [答案]：3或−4. [解析]：因为对任何𝑎，𝜶 ,𝜶 分量不成比例，故线性无关，所以 𝜷 可由𝜶 ,𝜶 线性表出的充 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 分必要条件是 𝜶 ,𝜶 ,𝜷 线性相关. 又因 𝜶 ,𝜶 ,𝜷 是3个三维向量，故 𝜶 ,𝜶 ,𝜷线 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 性相关的充分必要条件是行列式 |𝜶 ,𝜶 ,𝜷|=0. 𝟏 𝟐 由于 ∣𝑎+2 1 1 ∣ |𝜶 𝟏 ,𝜶 𝟐 ,𝜷|= ∣ ∣ 7 −1 𝑎 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 −1 ∣𝑎+2 −2𝑎−3 𝑎+3∣ = ∣ ∣ 7 −15 𝑎+7∣ ∣ =−2(𝑎2+𝑎−12). ∣ ∣ 1 0 0 所以 𝑎 =3 或 𝑎 =−4. [易错点]：计算行列式时易出错，或对线性表出与线性相关的关系理解不透彻，导致参数 求解错误 。2z 4.（数一二三）设函数z  z(x,y)由方程sinxy ylnzxz 1确定，则 |  ____. yx (0,1) [知识点]：多元隐函数的求导 [解析]：答案：e3e2 将x0,y 1代入方程sinxy ylnzxz 1可得lnz 1，解得ze. 对已知方程两端分别关于x和关于y 求偏导数，可得 y z z y z z ycosxy zx 0, xcosxylnz x 0 z x x z y y 1 z 1 z 将x0,y 1，ze代入上述两式，可得1 e0, 1 0，解得 e x e y z z | e2 e， | e x (0,1) y (0,1) y z z 对xcosxylnz x 0两端关于x求偏导数，可得 z y y 1 z y z z y 2z z 2z cosxyxysinxy    x 0 z x z2 x y z yx y yx z z 将x0,y 1，ze， | e2 e， | e代入上式，可得 x (0,1) y (0,1) 1 2z 3e1 0 e yx 2z 解得 |  e3e2. yx (0,1) [易错点]：对于没法解出显函数的多元函数，二阶导数的求法可参考上述思路。5.（数一二三）设函数 f(x)kxekx2 在(0,)上没有零点，则k 的取值范围是____. [知识点]：函数的零点求参数问题 1  [解析]：答案：k 0或k (2e) 3 计算 f(x)得 f(x)ekx2 (x)(2kx)ekx2 (2kx2 1)ekx2 . 可知，当k 0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(0,)时，f(x) f(0)k 0， f(x)在(0,)上没有零点，故k 0符合要求. 1 1 当k 0时，x 为 f(x)在(0,)上的唯一驻点。当0 x 时，f(x)0， 2k 2k 1 1 f(x)单调递减；当x 时，f(x)0，f(x)单调递增。故 f( )为 f(x)在(0,) 2k 2k 上的最小值，且 x lim f(x)k 0, lim f(x)k lim k 0 x0 x xekx2 1 于是，函数 f(x)在(0,)上没有零点当且仅当 f( )0 2k 1 1  1 3  1  1 由 f( )k e 2 0，可得k2 (2e) 2，即k (2e) 3 2k 2k 1  综上可知，k 0或k (2e) 3 [易错点]：对于函数本身直接进行的讨论，更像是高中题型，但考研也会涉及，需要同学们 的耐心。6.（数一二三）设平面有界区域D位于第一象限，由曲线(x2  y2)4  x6  y6与 x6  y6 4(x2  y2)4  x6  y6以及坐标轴围成，计算 dxdy (x2  y2)2 D [知识点]：极坐标系下二重积分的计算，华里士公式 5 [解析]：答案： 32 在极坐标系下，曲线(x2  y2)4  x6  y6与4(x2  y2)4  x6  y6的极坐标方程分别为 r8 r6cos6r6sin6, 4r8 r6cos6r6sin6 1 即r  cos6sin6,r  cos6sin6.区域D在极坐标系下的表示为 2  1  D(r,∣) cos6sin6r  cos6sin6,0   2 2 因此， x6  y6 极坐标 r3 cos6sin6  dxdy rdrd cos6sin6drd (x2  y2)2 r4 D D D  cos6sin6 2 cos6sin6d dr 0 1 cos6sin6 2  1 2 cos6sin6 cos6sin6d 0 2 1    2  cos6sin6  d2cos6d 2 0 0  5 3 1 5      2 6 4 2 32 [易错点]：弄清楚积分区域，以及华里士公式要牢固掌握，否则现推会非常费时。7.（数一三）设X ,X , ,X 为来自总体X 的简单随机样本，总体X 的分布律为 1 2 n 100  已知利用中心极限定理可得P X 150的近似值为(10 2)，其中(x)表示标 i   i1 准正态分布的分布函数，则 p  ____ . [知识点]：中心极限定理 1 [解析]：答案： 4 分别计算EX,DX  3p p E(X)0 1 1 p2 2p    2  2  3p p D(X) E(X2)[E(X)]2 02 1 12p22 (2p)2 3p4p2    2  2 100 由已知条件，n100.根据列维-林德伯格中心极限定理，X 近似服从均值为200p， i i1 100 X 200p i 方差为100(3p4p2)的正态分布，于是 i1 近似服从N(0,1)，从而 10 3p4p2 100  X 200p 100    i 150200p   P X 150 P i1  (10 2) i  i1  10 3p4p2 10 3p4p2    150200p 由此可得 10 2，化简可得48p2 48p90，配方可得 10 3p4p2 2  1 1 1 3 3p 2 1  p   ，解得 p 或 p .由于PX 01 0，故 p ，因此 p  2 16 4 4 2 3 4 [易错点]：掌握中心极限定理的使用规则，正确解出一元二次方程并根据具体情况对根做出 取舍。