(318)--周周清第二十三周（8.11-8.17）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 8.11-8.17 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 （数一二三）设函数 ，则 1. 当 时， 在 点= 取−最 大−值 A >0 , 0, . 当 时， 在点 取最小值 B >0 , , . 3 3 当 时， 在点 取最大值 C <0 , , . 在点 不取得极值3 3 D , 0,0 .（数一二三）设二元函数 具有二阶连续偏导数，且 ，则 2. , = ( , ) + ( , ) ∂Q ∂P ∂x −∂y=_________. (A)2 (B)1. (C)0. (D)−1.（数一二三）设 ，则 1 1 0 0 2 2 0 0 5 3. = =________. 0 0 1 0 0 0 0 21ln(1x) 1ln(1x) 1ln(1x2) （数一二三）设I   dx,J   dx,K   dx ，则____. 0 1x 0 1x2 0 ex 4. (A).I  J  K (B).J  I  K (C).I  K  J (D).J  K  Ixcsc2t   （数一二三）设曲线 L由参数方程 , t  确定，则曲线L的弧长 y lntant  6 3 5. s ____.3 （ 数 一 二 三 ） 已 知 sin4 x 为 y(4) aybycydy  0 的 解 ， 则 8 6. abcd  ____.（ 数 一 ） 设 L 为 封 闭 曲 线 2x  2x y 1 ， 取 逆 时 针 方 向 ， 则 7.  xydxsin(4x1)dy  ____. L周周清 8.11-8.17 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑦(𝑎−𝑥−𝑦)，则 (A) 当𝑎 >0时，𝑓(𝑥,𝑦)在点(0,𝑎)取最大值. 𝑎 𝑎 (B) 当𝑎 >0时，𝑓(𝑥,𝑦)在点( , )取最小值. 3 3 𝑎 𝑎 (C) 当𝑎<0时，𝑓(𝑥,𝑦)在点( , )取最大值. 3 3 (D) 𝑓(𝑥,𝑦)在点(0,0)不取得极值. [知识点]：求二元函数驻点，用二阶偏导数判别式判断驻点是否为极值点。 [答案]： D. [解析]：分析： 𝑓′ (𝑥,𝑦)=𝑦(𝑎−𝑥−𝑦)−𝑥𝑦 𝑥 𝑓′ (𝑥,𝑦)=𝑥(𝑎−𝑥−𝑦)−𝑥𝑦 𝑦 𝑓″ (𝑥,𝑦)=−2𝑦，𝑓″ (𝑥,𝑦)=𝑎−2𝑥−2𝑦，𝑓″ (𝑥,𝑦)=−2𝑥. 𝑥𝑥 𝑥𝑦 𝑦𝑦 𝑎 𝑎 显然 (0,0)，(0,𝑎)，( , ) 都是驻点. 3 3 在 (0,𝑎) 处，𝐴𝐶−𝐵2 =−𝑎2 <0(𝑎≠0)，则 𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (0,𝑎) 不取得极值； 在 ( 𝑎 , 𝑎 ) 处，𝐴𝐶−𝐵2 = 𝑎2 ，𝐴=− 2𝑎 ，则当 𝑎 >0 时，𝑓(𝑥,𝑦) 在点 ( 𝑎 , 𝑎 ) 取极大 3 3 3 3 3 3 𝑎 𝑎 值； 当 𝑎 <0 时，𝑓(𝑥,𝑦) 在点 ( , ) 取极小值. 3 3 在 (0,0) 处，𝐴𝐶−𝐵2 =−𝑎2 <0(𝑎≠0)，则 𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (0,0) 不取得极值，当 𝑎 =0 时，𝑓(𝑥,𝑦)=−(𝑥2𝑦+𝑥𝑦2)，此时 𝑓(0,0)=0，𝑓(𝑥,𝑥)=−2𝑥3在 (0,0) 点的任意 邻域内可正可负，则 𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (0,0) 不取得极值，故应选D. [易错点]：求偏导数、判别式计算出错，讨论极值时逻辑混乱，或忽略特殊情况，导致极 值点判断错误。2.（数一二三）设二元函数𝑈(𝑥,𝑦)具有二阶连续偏导数，且𝑑𝑈 =𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦， ∂Q ∂P 则 − =_________. ∂x ∂y (A) 2 (B) 1. (C) 0. (D) −1. [知识点]：。依据全微分定义得到一阶偏导，再求二阶混合偏导，利用二阶连续偏导时混合偏 导相等的性质求解。 [答案]：C. 𝜕𝑈 𝜕𝑈 [解析]：因为𝑑𝑈 =𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑄(𝑥,𝑦)𝑑𝑦，于是 = 𝑃(𝑥,𝑦)， = 𝑄(𝑥,𝑦)，继续求偏导 𝜕𝑥 𝜕𝑦 得： 𝜕𝑃 𝜕2𝑈 𝜕𝑄 𝜕2𝑈 = ， = . 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕2𝑈 𝜕2𝑈 由于𝑈(𝑥,𝑦)具有二阶连续偏导数， 与 连续，从而它们相等，即 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 ∂Q ∂P 𝜕2𝑈 𝜕2𝑈 − = − = 0. ∂x ∂y 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 故应选(C). [易错点]：对全微分与偏导关系理解不清，或忽略二阶连续偏导时混合偏导相等的条件， 导致推导错误 。1 1 0 0 2 2 0 0 3.（数一二三）设𝐀=[ ]，则𝐀5 =________. 0 0 1 0 0 0 0 2 [知识点]：分块矩阵幂运算性质，对角矩阵的幂运算公式。 34 34 0 0 2·34 2·34 0 0 [答案]：[ ] . 0 0 1 0 0 0 0 25 [解析]：有3个公式： 𝐴 𝑂 𝑛 𝐴𝑛 𝑂 [ ] =[ ]; 𝑂 𝐵 𝑂 𝐵𝑛 若 𝑟(𝐀)=1，则 𝐀𝑛 =𝑙𝑛−1𝐀，其中 𝑙 =∑𝑎 ; 𝑢̈ 对角矩阵𝑛次方公式 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 1 1 [ 𝑎 ] =[ 𝑎𝑛 ]. 2 2 𝑎 𝑎𝑛 3 3 𝐁 𝐎 1 1 1 0 把矩阵𝐀分块为𝐀=[ ]，其中𝐁=[ ]，𝐂=[ ]. 𝐎 𝐂 2 2 0 2 对于𝐁的秩𝑟(𝐁)=1，先算其迹𝑙 =∑𝑎 =1+2=3. 𝑖𝑖 根据“若𝑟(𝐀)=1,则 𝐀𝑛 =𝑙𝑛−1𝐀”，这里𝑛 =5，所以 1 1 34 34 𝐁5 =35−1𝐁=34[ ]=[ ] ， 2 2 2⋅34 2⋅34 对于𝐂是对角矩阵，根据对角矩阵𝑛次幂公式， 15 0 1 0 𝐂5 =[ ]=[ ]. 0 25 0 25 𝐀 𝐎 𝑛 𝐀𝑛 𝐎 再依据分块对角矩阵幂运算性质[ ] =[ ], 可得 𝐎 𝐁 𝐎 𝐁𝑛 34 34 0 0 𝐁5 𝐎 2⋅34 2⋅34 0 0 𝐀5 =[ ]=[ ]. 𝐎 𝐂5 0 0 1 0 0 0 0 25 [易错点]：分块矩阵划分错误，幂运算公式中 “迹” 计算错误，或对角矩阵幂运算时指数、 元素对应失误。1ln(1x) 1ln(1x) 1ln(1x2) 4.（数一二三）设I  dx,J  dx,K  dx，则____. 0 1x 0 1x2 0 ex (A).I  J  K (B).J  I  K (C).I  K  J (D).J  K  I [知识点]：定积分比大小 [解析]：答案：(B).J  I  K 首先比较I,J 1  1 1  1(x2 x)ln(1x) I J  ln(1x)  dx dx.   0 1x 1x2  0 (1x)(1x2) 由于在(0,1)内，ln(1x)0,x2 x0，故由定积分的性质可知I J 0，即J  I . 再比较I,K . 我们先证明当x 0时，ex  x1. 记 f(x)ex x1，则 f(0)0，f(x)ex 1.当x 0时，f(x)0，f(x)单调 1 1 递增，故 f(x) f(0)0，即ex  x1.进一步可得  . ex x1 由此可得，当x(0,1)时， ln(1x) ln(1x2) ln(1x) ln(1x2) ln(1x)ln(1x2)     1x ex 1x 1x 1x ln(1x) ln(1x2) 由于在x(0,1)时，x x2，从而ln(1x)ln(1x2)，故  0. 1x ex 故I  K . 综上可知J  I  K . [易错点]：要会合适地对函数进行分析，构造相应函数作比较，利用积分保号性。xcsc2t   5.（数一二）设曲线 L 由参数方程 ,  t  确定，则曲线 L 的弧长 y lntant  6 3 s  ____. [知识点]：一元函数积分学的几何应用 2 3 [解析]：答案： 3 根据由参数方程确定的曲线弧长公式，ds [x(t)]2 [y(t)]2dt. 分别计算x(t),y(t). 2cos2t sec2t 1 2 x(t)2csc2tcot2t  , y(t)   sin22t tant sintcost sin2t 因此，  4cos22t 4  4cos22t4sin22t s3  dt 3 dt  sin42t sin22t  sin42t 6 6  2  |  2 3 3 dt 3csc22td(2t)cot2t 3  sin22t   3 6 6 6 [易错点]：注意参数方程下弧长的公式，代入计算即可。3 6.（数一二三）已知sin4 x 为 y(4) aybycydy 0的解，则abcd  8 ____. [知识点]：微分方程解的结构 [解析]：答案：84 由于 2 1cos2x 1 1 1 1cos4x sin4 x    (12cos2xcos22x)  cos2x ，  2  4 4 2 8 3 1 1 故sin4 x  cos2x cos4x， 8 2 8 1 1 从而， cos2x cos4x是y(4) aybycydy 0的解. 2 8 由此可得，2i,4i是该四阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两对共轭复根，于 是可知，该方程的特征方程为(r2 4)(r2 16)0，即 r4 20r2 640 因此原齐次方程为y(4) 20y64y 0，ac0,b20,d 64 则abcd  84 [易错点]：对微分方程解的结构理解不深，对三角函数的恒等变形不熟练。7.（数一）设L为封闭曲线 2x  2x y 1，取逆时针方向，则  xydxsin(4x1)dy  L ____. [知识点]：格林公式 [解析]：答案：cos1cos3 当 x0 且 2x y0 时， 2x  2x y 1为 4x y 1； 当 x0 且 2x y0 时， 2x  2x y 1为 4x y 1； 当 x0 且 2x y0 时， 2x  2x y 1为 y 1； 当x0且2x y0时， 2x  2x y 1为y 1. 由此可得，L是由四条直线围成的平行四边形，如图所示。 记L围城的区域为D，D为图中灰色区域，将D写成Y 型区域.  y1 y1  D(x,y)|  x ,1 y1  4 4  由格林公式可得 y1 原积分4cos(4x1)xdxdy  1 dy 4 4cos(4x1)xdx y1 1 4 1  x2 | y1 1  (y1)2 (y1)2  sin(4x1) 4 dy sin ysin(y2)  dy     1 2  y1 1 32 32  4  1  sin ysin(y2) y dy 对  称  性  1 sin(y2)dy cos(y2) | 1 1   8   1 1 cos(1)cos(3)cos1cos3. [易错点]：画不出积分区域来。