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公众号：做题本集结地 880·数一高数·1.函数极限与连续
高等数学
第一章 函数、极限、连续
基础题
一、选择题
(1)函数fx =xsinxecosx,x∈-∞,+∞ ,是( ).
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数
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(2)设函数fx =cossinx ,gx =sincosx
π
,则当x∈0,
2
时,( ).
A. fx 单调增加,gx 单调减少 B. fx 单调减少,gx 单调增加
C. fx 与gx 都单调增加 D. fx 与gx 都单调减少
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(3)设函数fx = 1+x+x2- 1-x+x2,则( ).
A. fx 为偶函数 B. fx 为奇函数 C. fx 为无界函数 D. limfx
x→∞
=1
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(4)设当x→+∞时,fx ,gx 都是无穷大,则当x→+∞时,下列结论中正确的是( ).
A. fx -gx 是无穷小 B. fx +gx 是无穷大
gx
C.
fx
fx
→1 D.
+gx
fx gx
是无穷小
·第4页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·1.函数极限与连续
1 1
(5)当x→0时, sin 是( ).
x2 x
A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大
·第5页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·1.函数极限与连续
x2
(6)已知lim -ax-b
x→∞ x+1
=0,则( ).
A. a=1,b=1 B. a=-1,b=1 C. a=1,b=-1 D. a=-1,b=-1
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(7)设当x→0时,x-sinx tanx是比ln1+xn 高阶的无穷小,而ln1+xn 是比x2高阶的无穷小,则
n=( ).
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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1+ax2
(8)当x→0时,ex- 与x3是同阶无穷小,则( ).
1+bx
1 1 1 1
A. a= ,b=1 B. a=- ,b=1 C. a= ,b=-1 D. a=- ,b=-1
2 2 2 2
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(9)设fx =ln2x,gx =x,hx
x
=e2x>1 ,则当x充分大时,( ).
A. fx 0,若 limxPax -ax+1
x→+∞
存在,则P的取值范围为_____.
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ex2 -e2-2cosx
(3)lim =_____.
x→0 ex4 -1
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(4)设fx =a+bx+cx2+dx3-tanx,当x→0时,fx 是比x3高阶的无穷小,则a+b+c+d=__
___.
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三、解答题
(1)设fx 是定义在(-a,a)内的函数,证明:fx 可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.
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(2)设函数fx 满足afx
1
+bf
x
c
= ,其中a,b,c均为常数,且a≠b,求fx
x
的表达式,并证
明fx 是奇函数.
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(3)设函数fx 在区间(-a,a)内有定义,其中a>0,且对任意x 1 ,x 2 ∈-a,a ,有∣fx 1 -
fx 2 ≤x 1 -x 2 ∣,证明:Fx =fx +x在(-a,a)内单调增加.
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(4)设数列x n 满足limx =limx =a,证明:limx =a. 2k 2k+1 n
k→∞ k→∞ n→∞
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(5)求下列极限:
1 1 1 x2-xsinx ax +bx +cx
(I)lim ; (II)lim
x→∞x2+xsin1 x→+∞ 3
x
x
a,b,c为正数 ;
lnsin2x+ex
(III)lim
x→0
-x
lne2x-x2
1+x
; (IV)lim
-2x x→0
3
x -e3
;
x
etanx-ex 1 1
(V)lim ; (VI)limcotx -
x→0 x3 x→0 sinx x
;
(VI)lim1-x2
x→0
1
1- 1-x2; (III)limxsinx.
x→0+
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(6)求下列极限:
1 2 n
(I)lim + +⋯+
n→∞ n2+n+1 n2+n+2 n2+n+n
;
(II)lim 1+2+⋯+n- 1+2+⋯+n-1
n→∞
;
n
1
(II)lim ;
n→∞ 4k2-1
k=1
n 1 1 1
(IV)lim 1+ + +⋯+ ;
n→∞ 2 3 n
1+ n3
(V)lim
n→∞ 2
n
.
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(7)求fx =1+x
x
tanx-π 4 在0,2π 内的间断点,并指出其类型.
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(8)讨论函数fx
xn+2-x-n
=lim 的连续性.
n→∞ xn+x-n
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(9)设fx 在a,b 上连续,且a0 ,x = a+x ,证明:limx 存在,并求其值. n+1 n n
n→∞
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x +y
n n
(11)设x 1 =a≥0,y 1 =b≥0,a≤b,x n+1 = x n y n ,y n+1 = 2 n=1,2,⋯ ,证明:limx =limy n n n→∞ n→∞
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综合题
一、选择题
sin1
e x -1
(1)lim
x→∞ 1+1
x
k -1+1
x
=a≠0成立的充分必要条件是( ).
A. k≠1 B. k>1 C. k>0 D. 与k无关
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2arctanx-ln1+x
(2)已知lim 1-x =c≠0,则( ).
p
x→0 x
4 4 4 4
A. p=3,c=- B. p=-3,c= C. p= ,c=3 D. p=- ,c=-3
3 3 3 3
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(3)设当x→0时,αx =tanx-sinx,βx = 1+x2- 1-x2,γx
1-cosx
= sintdt都是无穷小,将它们
0
关于x的阶数从低到高排列,正确的顺序为( ).
A. αx ,βx ,γx B. αx ,γx ,βx C. γx ,αx ,βx D. βx ,αx ,γx
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(4)设y=yx 是方程y+2y+y=e3x的解,且满足y0 =y 0 =0,则当x→0时,与yx 为等价
无穷小的是( ).
A. sinx2 B. sinx C. ln1+x2 D. ln 1+x2
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(5)fx
xlnx 1
= ex-1
x-1
x-2 的无穷间断点的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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(6)下列结论中错误的是( ).
A. 设lima =a>1,则存在M>1,当n充分大时,有a >M
n n
n→∞
B. 设a=lima a-
n n
n→∞ n
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(7)设x n 与y n 为两个数列,则下列说法中正确的是( ).
A. 若x n 与y n 无界,则x n +y n 无界
B. 若x n 与y n 无界,则x n y n 无界
C. 若x n 与y n 中,一个有界,一个无界,则x n y n 无界
D. 若x n 与y n 均为无穷大,则x n y n 一定为无穷大
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(8)设数列x n 单调减少,y n 单调增加,且limx n -y n
n→∞
=0,则下列选项中正确的是( ).
A. limx =0,limy =0 B. limx ,limy 均存在,且limx =limy
n n n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
C. limx 存在,limy 不存在 D. limx 与limy 均不存在
n n n n
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
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(9)设fn 表示方程x1+lnx =n的正实根,其中x≥1,n为正整数,则下列选项中正确的是( ).
A. fn fn 收敛 B.
n
fn 发散 C. lnn
n
fn 收敛 D. lnn
n
发散
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(10)设x n 为数列,则下列结论中正确的是( ).
①若arctanx n 收敛,则x n 收敛；
②若arctanx n 单调,则x n 收敛；
③若x n ∈-1,1 ,且x n 收敛,则arcsinx n 收敛；
④若x n ∈-1,1 ,且x n 单调,则arcsinx n 收敛.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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(11)下列选择中极限存在的是( ).
1 sinx
A. lim B. lim1+
x→1 1 x→+∞ x
1+21-x
x
C. lim n+-1
n→∞
n n+1 1 1 1 D. lim + +⋯+
n→∞ 12 22 n2
1
n
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(12)设fx 在-∞,+∞ 内为连续的奇函数,a为常数,则必为偶函数的是( ).
x u
A. du tft
0 a
x u
dt B. du ft
a 0
x u
dt C. du ft
0 a
x u
dt D. du tft
a 0
dt
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(13)设fx
x+2tx
= lim ,则Fx
t→+∞1+2tx
x
= ft
-1
dt在x=0处( )
A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定
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(14)设fx
x3-1
=
sinx
x1+x2
, x≠0,
x∈-∞,+∞
0, x=0,
,则( ).
A. fx 在-∞,+∞ 内有界
B. 存在X>0,当xX时,fx 无界
C. 存在X>0,当xX时,fx 有界
D. 对任意X>0,当x≤X时,fx 有界,但在-∞,+∞ 内无界
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二、填空题
cosx-ex2
(1)极限lim
x→0
sinx2
=_____.
x2 +1- 1+x2
2
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fx
(2)设lim
x→a
-b e fx
=A,则lim
x-a x→a
-eb
=_____.
x-a
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n
(3)设a = 3 n+1 xn-1 1+xndx,则limna =_____.
n n
2 0 n→∞
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(4)设00;i=1,2,⋯,k i .
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1
(3)(I)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 3x n+1 -x n n=1,2,⋯ ,求limx ; n n→∞
1
(II)设x 1 =1,x 2 =2,x n+2 = 2 x n +x n+1 ,求limx . n n→∞
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(4)设f nx =1-1-cosx n n=1,2,⋯ .
(I)证明:方程f nx
1 π
= 在0,
2 2
内有且仅有一个实根x ; n
π
(II)设x ∈0, n
2
,满足f nx n
1 1 π π
= ,证明:arccos 0,求a,b的值.
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1 1
(13)设 0,数列x n 满足x n+1 =lne xn-1 -lnx ,证明:limx 存在,并求值. n n
n→∞
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(15)(I)当x<1时,求lim1+x
n→∞
1+x2 1+x4 ⋯1+x2n ;
x x x
(II)当x≠0时,求limcos cos ⋯cos ;
n→∞ 2 4 2n
1- sinx
(III)求lim
x→π 2
1- 3sinx ⋯1- nsinx
1-sinx
.
n-1
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ln 1+ fx
(16)(I)设lim
x→0
sinx 1
= a>0,a≠1
ax-1 2
fx
,求lim
x→0
;
x2
(II)设fx
fx
是三次多项式,且有lim
x→2a
fx
=lim
x-2a x→4a
=1a≠0
x-4a
fx
,求lim
x→3a
.
x-3a
·第63页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·1.函数极限与连续
π
(17)设x ∈0, 1 4 ,数列x n
1
满足x n = 2 x n+1 +tanx n n=1,2,⋯ .
(I)证明limx 存在,并求其值;
n
n→∞
x
(II)求lim n+1
n→∞ x n
1
x2 n.
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拓展题
解答题
(1)设fx 在a,b 上可导,且 f x <1,当x∈a,b 时,有a0,f x >0,f0 =0.取x 1 ∈0,1 ,数列x n 满足
x n+1 -x n f x n +fx n =0n=1,2,⋯ .证明:limx 存在,并求其值. n
n→∞
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第二章 一元函数微分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx
1-cosx
, x>0,
= x
x2⋅φx
其中φx
, x≤0,
是有界函数,则fx 在x=0处( ).
A. 可导 B. 连续,但不可导
C. 极限存在,但不连续 D. 极限不存在
·第68页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(2)设f x
fx+aΔx
存在,a,b为任意实数,则lim
Δx→0
-fx-bΔx
=( ).
Δx
A. a+b f x B. a-b f x C. af x D. bf x
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(3)下列函数中,在x=0处不可导的是( ).
A. fx =xsinx B. fx =xsin x C. fx =cosx D. fx =cos x
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(4)设fx
a x, 0≤x≤b,
= 在0,+∞
lnx, x>b
内可导,在x=0处右连续,则( ).
2 2 1 1
A. a= ,b=e2 B. a= ,b=e C. a= ,b=e2 D. a= ,b=e
e e e e
·第71页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(5)设f-x =-fx ,且在0,+∞ 内,f x >0,f x >0,则fx 在-∞,0 内必有( ).
A. f x <0,f x <0 B. f x <0,f x >0
C. f x >0,f x <0 D. f x >0,f x >0
·第72页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)设fx 在-1,1 上二阶可导,且f x
1
>0, fx
-1
dx=2,则f0 的取值范围为( ).
A. (-∞,0] B. 0,+∞ C. -∞,1 D. 1,+∞
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(7)设fx 在x=0的某邻域内连续,f0
fx
=0,lim
x→0
=2,则fx
1-cosx
在x=0处( ).
A. 不可导 B. 可导且f 0 ≠0 C. 有极小值 D. 有极大值
·第74页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(8)y=x-1
2
x-3
2的拐点个数为(
).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
·第75页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(9)设f x
0
=f x
0
=0,f x
0
>0,则下列选项中正确的是( ).
A. x 0 是fx 的极值点 B. fx 0 是fx 的极大值
C. fx 0 是fx 的极小值 D. x ,fx 0 0 是y=fx 的拐点
·第76页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(10)设fx 有一阶连续导数,Fx =fx 1+sinx ,则f0 =0是Fx 在x=0处可导的( ).
A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
·第77页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(11)设fx 在x=a处连续,则fx 在x=a处可导的一个充分条件是( ).
1
A. limx fa+
x→∞ x
-fa
fa+x3
存在 B. lim
x→0
-fa
存在
x2
fa+Δx
C. lim
Δx→0
-fa-Δx fa+x3
存在 D. lim
2Δx x→0
-fa
存在
tanx3
·第78页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(12)设fx 有任意阶导数,且f x =f2 x ,则fn x =( )n>3 .
A. n!fn+1 x B. nfn+1 x C. f2n x D. n!f2n x
·第79页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(13)设fx 连续,且f x 0 >0,则存在δ>0,使得( ).
A. 对任意x∈x -δ,x 0 0 ,有fx >fx 0 B. 对任意x∈x ,x +δ 0 0 ,有fx >fx 0
C. fx 在x -δ,x 0 0 内单调减少 D. fx 在x ,x +δ 0 0 内单调增加
·第80页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(14)已知y=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,且与直线y=-3x+3相切于点(1,0),则( ).
A. a=1,b=-8,c=6 B. a=-1,b=-8,c=-6
C. a=1,b=8,c=-6 D. a=-1,b=8,c=-6
·第81页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(15)设可导函数y=yx
x=arctant,
由
y=ln1-t2
确定,则( ).
-siny
A. x=0是y=yx 的极小值点
B. x=0是y=yx 的极大值点
C. 在x=0的邻域-δ,0 δ>0 内,y=yx 单调递减
D. 在x=0的邻域0,δ δ>0 内,y=yx 单调递增
·第82页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
1+e-x2
(16)曲线y= 渐近线的条数为( ).
1-e-x2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
·第83页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(17)设fx 为连续函数,且 limex 1+x+fx
x→+∞
存在,则曲线y=fx 有斜渐近线( ).
A. y=x B. y=-x C. y=x+1 D. y=-x-1
·第84页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
二、填空题
(1)设y=fx y-x πt 由方程x= sin2
4 1
1 dt确定,则limn f
n→∞ n
-1
=_____.
·第85页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(2)设函数fx
sinx fx
有连续导数,且lim +
x→0 x2
x
=2,则fx 的一阶麦克劳林展开式为_____.
·第86页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设函数fx 在-∞,+∞ 内连续,f x 的图形如图所示,则曲线y=fx 的拐点个数为____
_.
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(4)设f 0 存在,f0 1-cosfx =0,且lim 1+
x→0
sinx
1
x =e,则f 0 =_____.
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(5)当x→0时,ex+ln1-x
-1与xn是同阶无穷小,则n=_____.
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(6)设fx
x
=n2en -1+n x在x=x 处有水平切线,则lime xn=_____. n
n→∞
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(7)设y=fx
x=t2+1,
由参数方程 t≥0
y=4t-t2
2n+1 确定,则limn f
n→∞ n
-3
=_____.
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d
(8)设 fx3
dx
1
= ,则f x
x
=_____.
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(9)设fx =ln 1+x2-x ,则f5 0 =_____.
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(10)设fx
f2x-1
是连续函数,且lim
x→1
f 1+sint
=1,则lim
x-1 t→0
2
-f1+sint
=_____.
t
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(11)设y=yx
t
x= ,
1+t3
由参数方程 t2 确定,则曲线y=yx
y=
1+t3
的斜渐近线方程为_____.
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(12)设 lim ax2-x+3-2x
x→+∞
=b,其中a,b为常数,a>0,则曲线y= ax2-x+3在0,+∞ 内的斜
渐近线方程为_____.
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(13)设fx =cosx+x2 x在x=0处存在的最高阶导数的阶数为_____.
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(14)曲线x=acos3t,y=asin3ta>0
π
在t= 处的曲率=_____.
4
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(15)设fx 在-∞,+∞ 内有定义,且对任意的x,y,有fx+y -fx = fx -1 y+αy ,其中
αy
lim
y→0
=0,且f0
y
=2,则fx =_____.
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(16)设函数y=yx
x
x2+y2
π
由方程arctan =ln + x>0,y>0
y 2 4
确定,则yx 的极大值为___
__.
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三、解答题
(1)计算下列函数的导数:
(I)y=2sinx;
(II)y=lntanx+secx;
(III)y=1+x2 sinx 1 ; (IV)y=ln .
x+ x2+1
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(2)设y=yx
arctan
y d2y
由方程 x2+y2=e x 确定,求 .
dx2
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(3)设y=yx
x=t-sint, dy d2y
由参数方程 确定,求 , .
y=1-cost dx dx2
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π
(4)求心形线r=1-cosθ在对应于θ= 处的切线方程.
2
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(5)设fx
1
xksin , x≠0,
= x 问:
0, x=0.
(I)当k为何值时,fx 在x=0处不可导;
(II)当k为何值时,fx 在x=0处可导,但导函数不连续;
(III)当k为何值时,fx 在x=0处导函数连续.
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(6)设fx 在0,+∞ 内满足fxy =fx +fy ,且f 1 =1,证明:fx 在0,+∞ 内可导,并求
fx .
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(7)设fx
-1
= e x2, x≠0, 求fn
0, x=0,
0 .
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(8)设气体以100cm3/s的速率注入球状气球,求当半径为10 cm时,气球半径增加的速率.(设气体压
力不变)
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(9)一动点P在曲线9y=4x2上运动,已知点P横坐标变化速率为30cm/s,问:当点P经过(3,4)时,从
原点到点P的距离S的变化率为多少?(设坐标轴的单位长为1cm)
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(10)设fx 二阶可导,f0 =0,f 0 =1,f 0
fx
=2,求lim
x→0
-x
.
x2
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(11)设函数fx
xfx
在x=0处连续,且lim
x→0
-1+x
2x
+1
=1.证明:fx
x2
在x=0处可导,并求
f 0 .
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(12)设fx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,01.
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(18)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,且f0 =0,f1 =1.证明:
(I)存在x 0 ∈0,1 ,使得fx 0 =21-x 0 ;
(II)存在ξ与η∈0,1 ,且ξ≠η,使得f ξ 1+f η =2.
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(19)设fx 在0,1 上二阶可导, f x ≤1,fx 在(0,1)内取得最小值,证明: f 0 + f 1 ≤1.
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(20)设fx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,fa =fb ,且fx 在a,b 上不恒为常数.证明:存在
相异的ξ,η∈a,b ,使得f ξ ⋅f η <0.
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(21)设fx 在0,1 上二阶可导,且f0 =f1
1
=2 fx
1
2
dx,证明:
(I)至少存在一点ξ∈0,1 ,使得f ξ =0；
(II)对∀λ∈R,至少存在一点η∈0,1 ,使得f η -λf η =0.
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(22)设a,b为正数,证明:至少存在一点ξ∈a,b ,使得
aeb-bea
=eξ 1-ξ
a-b
.
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(23)证明下列不等式:
x x
(I)当0 ;
2 π
(II)当eba；
(III)当x>0时,有x2-1 lnx≥x-1 2 ;
fx
(IV)若lim
x→0
=1,且f x
x
>0,有fx ≥x.
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(24)求函数y=x-1
π+arctanx
e2 的单调区间与极值,并求其渐近线.
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(25)设fx
x2x, x>0,
= 求fx
x+2, x≤0,
的单调区间与极值.
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(26)设函数y=yx
x=tlnt,
由参数方程 1 t≥1
y= lnt
t
确定,求y=yx 的单调区间、凹凸区间、极值和
拐点.
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1
(27)求曲线y= 4x2+xln2+
x
的全部渐近线.
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x π
(28)证明:方程lnx= - 1-cos2xdx在0,+∞
e
0
内有且仅有两个不同实根.
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(29)讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x交点的个数.
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综合题
一、选择题
(1)设fx 在1-δ,1+δ δ>0 内存在导数,f x 严格单调减少,且f1 =f 1 =1,则( ).
A. 在1-δ,1 和1,1+δ 内,均有fx x
C. 在1-δ,1 内,fx x
D. 在1-δ,1 内,fx >x;在1,1+δ 内,fx xfa B. bfx >xfb C. xfx >bfb D. xfx >afa
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(3)设fx 在a,b 上可导,fx 在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则( ).
A. f + ′ a <0且f - ′ b <0 B. f + ′ a >0且f - ′ b <0
C. f + ′ a ≥0且f - ′ b ≥0 D. f + ′ a <0且f - ′ b >0
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(4)设fx 在x=0的某邻域内有定义,则Fx =fx sinx在x=0处可导的充分必要条件是( ).
A. limfx
x→0
存在
B. limfx
x→0
=f0
C. fx 在x=0处可导
D. limfx
x→0-
与limfx
x→0+
均存在,且limfx
x→0-
=-limfx
x→0+
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(5)设fx 在-∞,+∞ 内是连续的奇函数,Fx
x
= ft
0
dt,则下列选项中正确的是( ).
A. Fx 是不可导的奇函数 B. Fx 是可导的偶函数
C. Fx 是不可导的偶函数 D. Fx 是可导的奇函数
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(6)设fx
fx
在(-1,1)内可导,且lim
x→0
=1,则( ).
x2
f x
A. lim
x→0
f x
存在 B. lim
x x→0
不存在
x
C. f 0 =0,f 0 =2 D. f0 是fx 的极小值
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(7)设y=fx
x=tt,
由
y=t
t
eu2 du
确定,则下列选项中正确的是( ).
0
A. f x 在x=0处连续 B. fx 在x=0处不连续
C. f 0 不存在 D. f 0 存在
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(8)设y=fx 在x 的某邻域内有四阶连续导数,且f x 0 0 =f x 0 =f x 0 =0,且f4 x 0 <0,
则( ).
A. fx 在x 0 处取得极小值 B. fx 在x 处取得极大值 0
C. x ,fx 0 0 是y=fx 的拐点 D. fx 在x 的某邻域内单调减少 0
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(9)设fx 在a,b 上可导,fx 在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值.Fx
x
= ft
0
dt,x∈
a,b ,则( ).
A. F + ′′ a >0且F - ′′ b <0 B. F + ′′ a ≥0且F - ′′ b ≥0
C. F + ′′ a <0且F - ′′ b <0 D. F + ′′ a <0且F - ′′ b >0
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(10)设fx fx 在x 的某邻域内连续,且lim 0 x→x0 -fx 0 x-x
0
=1,则( ). n
A. 当n为奇数时,x 0 是fx 的极大值点 B. 当n为奇数时,x 0 是fx 的极小值点
C. 当n为偶数时,x 0 是fx 的极小值点 D. 当n为偶数时,x 0 是fx 的极大值点
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(11)设fx 在-∞,+∞ 内可导,则下列命题中正确的是( ).
A. 若 lim fx
x→-∞
=-∞,则必有 lim f x
x→-∞
=-∞ B. 若 lim f x
x→-∞
=-∞,则必有 lim fx
x→-∞
=-∞
C. 若 lim fx
x→+∞
=+∞,则必有 lim f x
x→+∞
=+∞ D. 若 lim f x
x→+∞
=+∞,则必有 lim fx
x→+∞
=+∞
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x
(12)设k>0,方程lnx- +k=0在0,+∞
e
内不同实根的个数为( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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1
(13)设当x≠0时,方程kx+ =1有且只有一个实根,则( ).
x2
2 2 2 2
A. k> 3 B. k< 3 C. k= 3 D. k=- 3
9 9 9 9
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(14)设可导函数fx ,x∈0,1 满足f x
1
≥M>0,且f
2
≥0,则在区间( )上,有fx
1
≥ M.
4
A. 0, 1
4
B. 1 , 1
4 2
C. 1 , 3
2 4
D. 3 ,1
4
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(15)设函数f 1x ,f 2x 有二阶连续导数,且f 1 ′′ x >0,f 2 ′′ x >0,若曲线y=f 1x 与y=f 2x 在点
x ,y 0 0 处有公切线y=gx ,且在该点处曲线y=f 1x 的曲率半径小于y=f 2x 的曲率半径,则在
点x 的某邻域内有( ).
0
A. gx ≥f 2x ≥f 1x B. gx ≥f 1x ≥f 2x
C. f 1x ≥f 2x ≥gx D. f 1x ≥gx ≥f 2x
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(16)设f x 在0,4 上连续,曲线y=f x 与x=0,y=0,x=4围成如图所示的三个区域,其面积
S ,S ,S 满足S >S >S ,则下列选项中正确的是( ).
1 2 3 2 1 3
A. f1 >f3 >f4
B. f4 >f3 >f1
C. f3 >f4 >f1
D. f4 >f1 >f3
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(17)设fx 在0,1 上二阶可导,且f x >0,f0 =f1 .当x∈0,1 时,下列结论中正确的是(
).
①1-x fx -f0 x f1 -fx ;
③x fx -f0 <1-x f1 -fx ; ④x fx -f0 >1-x f1 -fx .
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
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(18)设在[0,+∞)上的可导函数y=fx 满足y-px y>0,且f0 ≥0,其中px 在[0,+∞)上
为正值连续函数,当01,
β α<0,β>0
0, x≤1
,若f x 在x=1处连续,则( ).
A. α<-1且α+β<-1 B. α<-1且α+β≤-1
C. α≤-1且α+β<-1 D. α≤-1且α+β≤-1
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二、填空题
(1)设函数fx π = tan x
4
-1
π tan x2
4
-2
π ⋯ tan x100
4
-100
,则f 1 =_____.
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(2)设fx =3x2+kx-3,若对任意x∈0,+∞ ,都有fx ≥20,则k至少为_____.
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(3)已知fx 在-∞,+∞ 内可导,且limf x
x→∞
x+k
=e,lim
x→∞ x-k
x
=lim fx
x→∞
-fx-1 ,则k=____
_.
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(4)设y=fx 在-∞,+∞ 内连续,且其导函数f x 的图形如图2-3所示,其中x=0和x=x 5
是f x 的铅直渐近线,则y=fx 极值点的个数为_____,拐点的个数为_____.
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(5)设fx 在x=x 处可导,且fx 0 0
fx +1
≠0,则lim 0 x x→∞
fx 0
x
=_____.
·第153页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)设y=fx 在x 处有三阶连续导数,f x 0 0 =1,f x 0 =2,f x 0 =3,y=fx 有反函数x=
gy ,且y =fx 0 0 ,则g y 0 =_____.
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(7)设fx 为-1,+∞ 内的连续函数,fx
x
= e -ft
0
dt,若gx =xfx+1 ,则gn 0 (n>2)=_
____.
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(8)设fx 有连续的二阶导数,曲线y=fx
fx
在点(0,0)处与x轴相切,且lim
x→0
=1,则曲线y=
x2
fx 在点(0,0)处的曲率圆方程为_____.
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三、解答题
(1)已知fx 是周期为5的连续函数,fx 在x=1的某邻域内满足f1+sinx -3f1-sinx =8x+
αx ,其中αx 是当x→0时比x高阶的无穷小,且fx 在x=1处可导,求曲线y=fx 在点
6,f6 处的切线方程.
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(2)设fx =nx1-x n (n为正整数),求fx 在0,1 上的最大值Mn 及limMn
n→∞
.
·第158页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设fx 在0,1
fx
上二阶可导,且lim
x→0+
fx
=lim
x x→1-
=1,证明:
x-1
(I)至少存在一点ξ∈0,1 ,使得fξ =0；
(II)至少存在一点η∈0,1 ,使得f η =fη .
·第159页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(4)设fx 与gx 在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且fa =gb =0,证明:至少存在一点ξ∈(a,
b),使得f ξ
b
gt
ξ
dt+g ξ
ξ
ft
a
dt=0.
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(5)在x=0的右邻域内,用多项式e+ax+bx2近似表示函数fx =1+x
1
x,使其误差是比x2高阶
的无穷小x→0+ ,求a,b的值.
·第161页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(6)设fx 在a,b 上可导,证明:
(I)若f + ′ a f - ′ b <0,则存在ξ∈a,b ,使得f ξ =0；
(II)若f + ′ a ≠f - ′ b ,则对介于f + ′ a 和f - ′ b 之间的每个实数μ,都存在ξ∈a,b ,使得f ξ =μ.
·第162页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(7)设函数fx 在区间a,b 上有二阶导数,且fa =fb =0,f + ′ a f - ′ b >0.证明:在(a,b)内存
在两点ξ与η,使得fξ =0,f η =0.
·第163页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(8)设fx 在[0,+∞)上有二阶导数,f0 =0,f + ′ 0 <0,f x ≥M>0x>0 .证明:fx =0在
0,+∞ 内有唯一实根.
·第164页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(9)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,fx
fx+1
≠0,且lim
x→0-
存在,证明:
x
(I)存在ξ∈0,1
1-e
,使得
1
e ft
0
1
=-
dt
eξfξ
;
(II)存在η∈0,1
1
,使得e ft
0
dt=e-1 eξ ξ-1 f η .
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(10)设fx 在0,1 上具有二阶导数,且 fx ≤a, f x ≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内
任一点.
(I)写出fx 在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；
(II)证明: f c
b
≤2a+ .
2
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(11)证明下列结论:
(I)设fx = x dt + 1 x dt x>0
0
1+t2
0
1+t2
,则fx π = ;
2
1 2x π
(II)当x≥1时,arctanx- arccos = .
2 1+x2 4
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(12)设函数fx 有二阶连续导数,且x-1 f x =1-e1-x+2x-1 f x ,证明:当x=x 0 是fx
的极值点时,fx 在x 处取得极小值. 0
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(13)求椭圆x2-xy+y2=3上纵坐标最大和最小的点.
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(14)设fx =arctanx,求fn 0 .
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(15)设R=Rx 是抛物线y= x上任一点Mx,y x≥1 处的曲率半径,s=sx 是该抛物线上介于
点A1,1
d2R dR
与M之间的弧长,计算3R -
ds2 ds
2
的值.
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(16)已知函数fx 在[0,+∞)上有二阶连续导数,f0 =f 0 =0,且x∈[0,+∞),有f x >0,设
Fx 是曲线y=fx 上任一点 x,fx 处的切线在x轴的截距x>0 ,求lim Fx
x→0+
+F x .
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(17)设fx 在区间(a,b)内可导,f x 在(a,b)内严格单调增加,对任意的x 1 ,x 2 ∈a,b ,且x ≠x , 1 2
0<λ<1.证明:f λx 1 +1-λ x 2 <λfx 1 +1-λ fx 2 .
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(18)设函数fx
1 x fx
1 1
在区间(a,b)内可导,行列式A=
1 x fx 2 2
1 x fx
3 3
.证明:导函数f x 在(a,b)内严
格单调递增的充分必要条件是对(a,b)内任意的x
1
0.
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(19)设fx 在a,b 上二阶可导, f x ≤k<1,f x 0 =0,f x 0 ≠0,x 0 ∈a,b ,且满足fx 0 =
x 0 .∀x 1 ∈a,b ,x n+1 =fx n n=1,2,⋯ .
(I)证明:limx 存在,且limx =x ;
n n 0
n→∞ n→∞
x -x
(II)求lim n+1 0
n→∞
x n -x 0
.
2
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(20)设fx 在0,1 上连续,在(0,1)内可导,且f0 =0,f1 =1.证明:
(I)存在ξ 与ξ 满足0<ξ <ξ <1,使得f ξ
1 2 1 2 1
+f ξ
2
=2.
(II)在(0,1)内存在ξ与η,使得ηf ξ =fη f η .
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拓展题
解答题
(1)设fx 有二阶连续导数,f0 =f 0 =0,f 0 >0,u=ux 是曲线y=fx 在点(x,fx )处
x
的切线在x轴上的截距,求lim
x→0 ux
.
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(2)设fx 在a,b 上有二阶连续导数,且fa =fb =0,M=max f x
a≤x≤b
.证明:
(I)max fx
a≤x≤b
1
≤ Mb-a
8
2；
(II)max f x
a≤x≤b
1
≤ Mb-a
2
.
·第178页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·2.一元函数微分学及其应用
(3)设fx 在a,b 上有连续的导数,且f x >0,假设f fx 存在,证明:存在ξ∈a,b ,使得
f fb -f fa = f ξ 2 b-a .
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(4)设fx 在a,b 上有二阶连续的导数, f x ≥1,记Fx
1 1 1
= a b x
fa fb fx
,x∈a,b ,记
Fx 0 = max
x∈a,b
Fx ,x 0 ∈a,b .证明: Fx 0
b-a
≥
3
. 8
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(5)设不恒为零的函数fx 在0,1 上有二阶连续导数,且f0 =f1 =0,记M= max
x∈0,1
fx ,
f x ≥M.证明:
(I)至少存在一点ξ∈0,1 ,使得 f ξ ≥2M；
(II) f 0 + f 1 ≥M.
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第三章 一元函数积分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx 是连续函数,且fx ≠0,若∫xfx
dx
dx=arcsinx+C,则
fx
=( ).
1
A. 1-x2
3
3 2
2 +C B. 1-x2
3
3 1
2 +C C. - 1-x2
3
3 2
2 +C D. - 1-x2
3
3
2 +C
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(2)设fx 是连续函数,Fx 是fx 的原函数,则( ).
A. 当fx 为奇函数时,Fx 必为偶函数 B. 当fx 为偶函数时,Fx 必为奇函数
C. 当fx 为周期函数时,Fx 必为周期函数 D. 当fx 为单调函数时,Fx 必为单调函数
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(3)设Fx 是sinx2的一个原函数,则d Fx2 =( ).
A. sinx4dx B. sinx2dx2 C. 2xsinx2dx D. 2xsinx4dx
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(4)设fx sinx, 0≤x<π, = Fx
2, π≤x≤2π,
x = ft
0
dt,则( ).
A. x=π是Fx 的跳跃间断点 B. x=π是Fx 的可去间断点
C. Fx 在x=π处连续但不可导 D. Fx 在x=π处可导
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(5)fx
x2+1, x≤0,
= 的一个原函数为( ).
cosx, x>0
A. Fx
1
x3+x, x≤0
= 3 B. Fx
sinx+1, x>0
1
x3+x+1, x≤0
= 3
sinx+2, x>0
C. Fx
1
x3+x+1, x≤0
= 3 D. Fx
sinx, x>0
1
x3+x, x≤0
= 3
sinx, x>0
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n k+1 dx
(6)lim =( ).
n→∞ k=1 k x x-1
π
A. 1 B. C. π D. 2π
2
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(7)设fx 在0,1 上连续,fx >0,f x <0,f x
1
>0,记M= fx
0
dx,N=f1 ,P=
1
f0
2
+f1 ,则( ).
A. MI >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
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1 x t2
(9)设lim dt=c,且c≠0,则( ).
x→0 sinx-ax b 1+t2
A. a=1,b=0,c=-2 B. a=1,b=-2,c=-2
C. a=0,b=1,c=-2 D. a=1,b=1,c=1
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(10)设函数y=fx
t
x=2e-u2
du,
由 0 t
y=sint-u
0
确定,则当x→0时,fx
du
是x2的( )
A. 高阶无穷小 B. 等价无穷小
C. 同阶但不等价无穷小 D. 低阶无穷小
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(11)下列反常积分中收敛的是( ).
+∞ dx 1 dx
A. B.
1 x2 1+x 0 ln1+x
1 dx +∞ x
C. D. dx
-1 sinx -∞ 1+x2
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+∞ 2x2+ax+b
(12)已知 -1
1
2x2+bx
dx=1b>0 ,则( ).
A. a=e-1,b=e B. a=b=2e-1 C. a=e,b=e-1 D. a=b=2e-1
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二、填空题
(1)设Fx 是fx
π
的一个原函数,F
4
π π
=0,当 0,Fx fx
lntanx
=
,则
sinxcosx
fx =_____.
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(2)设对任意x,有fx+4 =fx ,且f x =1+x,x∈-2,2 ,f0 =1,则f9 =_____。
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(3)设Fx
x
= tfx2-t2
0
dt,fx 在x=0某邻域内可导,且f0 =0,f 0
Fx
=1,则lim
x→0
=___
x4
__；
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(4)设fx 在[0,+∞)上可导,f0 =0,y=fx 的反函数为gx
x+fx
,若
gt-x
x
dt=x2ln1+x ,
则f1 =_____.
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x u2
arctan1+t
0 0
(5)极限lim
x→0
dt
du
x1-cosx
=_____.
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x
sintdt
(6)lim 0 =_____.
x→+∞ x
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(7)函数y= x2 在 1 , 3
1-x2 2 2
上的平均值为_____.
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(8)设fx
a-x
= e t2a-t
0
dta>0 ,x∈0,a ,则曲线y=fx 与两坐标轴所围成图形的面积为___
__.
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x
(9)曲线y= 绕x轴旋转一周所得的旋转体,将它在x=0与x=ξξ>0
1+x2
之间部分的体积记为
Vξ ,且Va
1
= limVξ
2 ξ→+∞
,则a=_____.
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θ
(10)曲线r=asin3 a>0,0≤θ≤3π
3
的弧长s=_____.
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x
(11)曲线y= costdt的全长s=_____.
-π
2
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(12)设D是由曲线y=sinx+1与直线x=0,x=π,y=0所围平面图形,则D绕x轴旋转一周所得旋
转体的体积V=_____.
·第205页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
n-x
(13)设n为正数,lim
x→0 n+x
2 +∞
x = xe-4xdx,则n=_____.
1 n
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(14)设质点以速度 te- t t≥0 m/s做直线运动,则质点从开始运动到停止运动经过的路程为___
__m,它从t=0到t=4s时间段内的平均速度为_____m/s.
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三、解答题
(1)求下列积分:
2x⋅3x dx
(I) dx; (II)
9x-4x x2 1-x4
;
dx
(III)
x4 1+x2
arctanx
; (IV)
x2 1+x2
dx;
x+ln1-x
(V)
dx.
x2
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(2)求下列积分:
dx
(I)
x1+ x
xex
; (II) dx;
ex-1
x3 dx
(III) dx; (IV)
1+x2 2x2+1
;
1+x2
arctan x-1 x
(V) dx; (VI) dx.
x x-1 1-x x
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(3)求下列积分:
dx dx
(I) ； (II) ;
sin2xcos4x 1+sinx
sinx 3sinx+cosx
(III) dx; (IV) dx;
sinx+cosx sinx+2cosx
dx dx
(V) ; (VI) a2+b2>0
sin2x+2sinx a2sin2x+b2cos2x
.
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(4)求下列积分:
lnx
(I)arctan xdx; (II)
1-x
dx;
2
x2ex
(III)
x+2
dx; (IV)sinlnx
2
dx;
1 1-x (V) dx; (VI)e2x 1+tanx
x2 1+x
2 dx.
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(5)求下列积分:
π (I) 4 x2ln 1+x -cosx
-π 1-x
4
1 dx; (II) 2+sinx
-1
1-x2dx;
2 (III) x+x
-2
e -xdx; (IV) 1 2x2+xex+e-x
-1
dx.
1+ 1-x2
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(6)求下列积分:
2
(I) x-1
0
π
2 2x-x2dx; (II) e-cosx-ecosx
0
dx.
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(7)求下列积分:
2
(I) min2,x2
-3
x
dx; (II) 1-t
-1
dtx≥-1 ;
1
(III) x-yexdxy≤1
-1
π
; (IV) 1-sinxdx.
0
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(8)求下列积分:
π
(I) 2 x+sin2x
-π
2
1
cos2xdx； (II) x1-x4
0
3
2dx;
π 1
(III) tsintdt; (IV) 2x-x2+ 1-x2
0 0
3 dx.
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(9)求下列积分:
(I) +∞ dx ； (II) 3 2 dx .
1 ex+1+e3-x 1 2 x-x2
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(10)设fx
π
=2 x-tsint dt,x∈-∞,+∞
0
,求fx 的单调区间与极值.
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(11)设fx 在0,a 上具有二阶导数a>0 ,且fx >0,f x
a
>0,证明: fx
0
a
dx>af
2
.
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(12)设fx 在a,b
b
上连续且单调增加,证明: xfx
a
a+b b
dx≥ fx
2
a
dx.
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(13)设fx 在a,b 上连续,且y=fx
a+b
的图形关于直线x= 对称,证明:
2
b
xfx
a
a+b b
dx= fx
2
a
dx.
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(14)设fx 在[0,+∞)上连续,且单调增加,证明:当00
1
,梯形OABC的面积为S,曲边梯形OABC的面积为S ,其曲边由y= +x2 1 2
S 3
确定,证明: < .
S 2
1
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π
(17)设曲线y=sinx0≤x≤ 2 ,直线y=k0≤k≤1
π
与x=0所围面积为S ,y=sinx(0≤ x≤ 1 2 ,y
π
=k与x= 所围面积为S ,求S=S +S 的最小值.
2 2 1 2
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x=acos3t,
(18)设星形线 0≤t≤2π,a>0
y=asin3t
.求:
(I)所围面积A;
(II)弧长L;
(III)绕x轴旋转一周所得体积V和表面积S.
·第225页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(19)设立体图形的底是介于y=x2-1和y=0之间的平面区域,而它的垂直于x轴的任一截面是等
边三角形,求立体体积V.
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综合题
一、选择题
(1)设在(-1,1)内fx 是奇函数,Fx 是fx 在(-1,1)内的一个原函数,则在(-1,1)内fx +
Fx ( ).
A. 是可导的偶函数 B. 是连续的奇函数
C. 存在原函数 D. 存在原函数且原函数为奇函数
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(2)设δ>0,在-δ,δ 内有 fx ≤x2,f x
δ
>0,I= fx
-δ
dx,则( ).
A. I=0 B. I>0 C. I<0 D. 不能确定
·第228页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
π
(3)设I 1 =2 sinsinx
0
π
dx,I 2 =2 cossinx
0
dx,则( ).
A. I <1I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
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(5)设fx 在0,1 上可导,fx >0,f x <0,Fx
x
= ft
0
dt,则在x∈0,1 内,有( ).
A. xF1
1
>2 Fx
0
dx B. F1
1
>2 Fx
0
dx
C. Fx
1
<2 Fx
0
dx D. Fx
1
>2 Fx
0
dx
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(6)设函数fx 在0,a a>0 上有二阶连续导数,且f0 =0,f x >0,则下列选项中正确的是(
).
a
A. 3 xfx
0
a
dx<2 afx
0
a
dx B. 3 xfx
0
a
dx>2 afx
0
dx
a
C. 2 xfx
0
a
dx>3 afx
0
a
dx D. 2 xfx
0
a
dx<3 afx
0
dx
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(7)设fx 二阶可导,则下列结论中正确的是( ).
①当f x
π
<0时,则 fx
-π
sinxdx<0; ②当f x
π
<0时,则 fx
-π
sinxdx>0;
③当f x
π
>0时,则 fx
-π
cosxdx>0; ④当f x
π
>0时,则 fx
-π
cosxdx<0.
A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ①④
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+∞ -cos1
(8)设反常积分 xke x -e-1
1
dx收敛,则下列选项中正确的是( ).
A. k>-1 B. k<-1 C. k>1 D. k<1
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(9)设连续函数fx 满足fx =f2a-x a≠0
b
,b为常数,则I= fa-x
-b
dx=( ).
b
A. 2 f2a-x
0
b
dx B. 2 f2a-x
-b
b
dx C. 2 fa-x
0
dx D. 0
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(10)设螺线r=θ0≤θ≤2π 与极轴所围区域的面积为A,则A=( ).
n 4π3i2 n 4π3i2 n 8π3i2 n 2π3i2
A. lim B. lim C. lim D. lim
n→∞ n3 n→∞ n2 n→∞ n3 n→∞ n2
i=1 i=1 i=1 i=1
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(11)设fx 有连续导数,f0 =0,f 0 =6,αx
x3
= ft
0
dt,βx
x
= ft
0
dt
3
,则当x→0时,αx
与βx 是( ).
A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小
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+∞ln1+x
(12)设反常积分
0
dx收敛,则( ).
p
x
A. 01
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+∞ dx
(13)设积分I= p>0,q>0
p q
1 x ln x
收敛,则( ).
A. p>1且q<1 B. p>1且q>1 C. p<1且q<1 D. p<1且q>1
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+∞x 1-p arctanx
(14)设积分 dxp>0
p
0 2+x
收敛,则p的取值范围为( ).
A. 11,I=ln2 C. a=1,I=ln2 D. a<1,I=ln4
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二、填空题
(1)fx =max1,x2 在-∞,+∞ 内满足F0 =1的一个原函数为_____.
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(2)设fx 在a,b 上连续,若x 0 ∈a,b ,x∈a,b
1 x
,则极限lim ft+Δx Δx→0Δx x0 -ft dt=_____.
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(3)双纽线x2+y2
2 =x2-y2围成的平面图形的面积为_____.
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1 1
(4)曲线θ= r+
2 r
在区间r∈1,3 上的弧长为_____.
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(5)闭曲线x2+y2
3 =x4+y4所围区域的面积S=_____.
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(6)设f2
1
= ,f 2
2
2
=0,且 fx
0
1
dx=1,则I= x2f 2x
0
dx=_____.
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+∞sinx π +∞sin2x
(7)设 dx= ,则I= dx=_____.
0
x 2
0
x2
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+∞ 1 x+1
(8) ln dx=_____.
1 x x
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n
1 n+2k
(9)lim ln =_____.
n→∞ n 3n-2k
k=1
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(10)已知曲线y=yx
1
上任一点(x,y)处的切线斜率为 ,且曲线通过点(-2,0),则该曲线方
x x2-1
程为y=_____.
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三、解答题
(1)(I)设fx
x dt 1
= ,求I= x2fx
1 1+t4 0
dx;
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(II)设fx
x2 1
= e-t2 dt,求I= xfx
1 0
dx.
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(2)设fsin2x
x x
= ,求I= fx
sinx 1-x
dx.
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xcos3x-sinx
(3)计算积分I=esinx⋅ dx.
cos2x
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e-sinx⋅sin2x
(4)计算I=
sin4 π - x
4 2
dx.
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(5)设flnx
ln1+x
=
,求I=fx
x
dx.
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(6)设f x =arctanx-1 2 ,f0
1
=0,求I= fx
0
dx.
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2
1 x 4-x2u2du-2x
2
(7)求极限lim 0 .
x→0 1+2x3-1
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(8)设fx
x
在(-∞,0]上连续,且满足 tft2-x2
0
x2 1
dt= - ln1+x2
1+x2 2
,求函数fx 及其极值.
·第260页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
2x
1- t sintdt
x
(9)计算lim 0 .
x→0 x2
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(10)设fx 在1,2
x
上可导,且 tf2x-t
0
1
dt= arctanx2,f1
2
1
= ,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),
2
使得f ξ =0.
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(11)设fx
x2 x
满足e-x- =1+ ft-x
2
0
dt,求fx 在-∞,+∞ 内的最值.
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1 2 n
1 xn 2n 2n 2n
(12)证明:lim dx=0.(13)求极限lim + +⋯+
n→∞ 0 1+x n→∞ n+1 n+1 n+1
2 n
.
·第264页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
1
(14)求极限lim nnn+1
n→∞n
n+2 ⋯2n-1 .
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(15)设fx 是连续的偶函数,函数gx 连续,且满足gx ⋅g-x =1.
a fx
(I)证明:
-a
1+gx
a
dx= fx
0
dx;
π
(II)计算 4 dx
-π
4
1+ex
.
cos2x
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+∞
(16)设 fx
0
dx收敛,且fx
1 e-x +∞
= - fx
1+x2 1+ex
0
+∞
dx,求 fx
0
dx.
·第267页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
π
(17)设a =4 tannxdx,证明: 1 n
0 2n+1
1 0 n 的递推关系；
3x+4
(II)计算I=
x2+2x+2
dx.
2
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(20)证明:fx
x
= t-t2
0
sin2nt dtx>0 的最大值为f1 ,且f1
1
≤
2n+2 2n+3
.
·第271页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(21)设fx 在a,b 上有二阶连续导数,且fb =f b b =0,证明: fx
a
1 b dx= f x
2
a
x-a 2 dx.
·第272页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(22)设fx 在a,b 上二阶可导,且f x
a+b
>0,证明:f
2
1 b
< fx
b-a
a
fa
dx<
+fb
.
2
·第273页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(23)(I)设fx 与gx 均在a,b
b
上连续,证明: fx
a
gx dx
2 b
≤ f2 x
a
b
dx g2 x
a
dx.
·第274页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(II)设fx 在a,b 上有连续导数,且fa =fb
b
=0,证明: f2 x
a
b-a
dx≤
2
b
f′2 x
8
a
dx.
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(24)设fx 在a,b aga , fb >gb
b
, fx
a
b
dx= gx
a
dx.证
明:至少存在一点ξ∈a,b ,使得f ξ >g ξ .
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(26)设fx 在-a,a a>0 内连续,且f 0 =A≠0.证明:
(I)对x∈0,a ,存在θ∈0,1
x
,使得 ft
0
-x
dt+ ft
0
dt=x fθx -f-θx ;
1
(II)limθ= .
x→0+ 2
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(27)设y=fx 在0,1 上是非负连续函数.
(I)证明:存在x 0 ∈0,1 ,使得在0,x 0 上以fx 0 为高的矩形面积,等于在x ,1 0 上以y=fx 为曲
边的曲边梯形面积;
(II)又设fx 在(0,1)内可导,且f x
2fx
>-
,证明:(I)中的x 是唯一的. x 0
·第279页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(28)设曲线y=fx 上任一点 x,fx 处的切线斜率为a2x2-4ax+3,且y=fx 在x=1处取得
极小值0.
(I)求fx 及fx 的其他极值;
1
(II)证明:0≤ fut
0
2
dt≤ ,u∈0,1
3u
.
·第280页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(29)设fx 在-∞,+∞ 内连续,且满足fx+T =fx ,T>0,f-x =fx .
nT
(I)证明: xfx
0
n2T T
dx= fx
2
0
dx(n为正整数);
nπ
(II)计算I= xcosxdx.
0
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(30)设fx 在-∞,+∞
1 a
内有连续导数,证明:lim ft+a
a→0+4a2
-a
-ft-a dt=f 0 .
·第282页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(31)设曲线y=a xa>0 与y=ln x在点x ,y 0 0 处有公切线.求:
(I)常数a及点x ,y
0 0
；
(II)两曲线与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
·第283页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(32)设fx 在a,b 上可导,fa >0,f x >0,S 1x 与S 2x 为如图3-1所示阴影部分的面积,证
明:存在唯一的ξ,使得
S 1ξ
S 2ξ
=k(k为正的常数).
·第284页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
2
(33)求曲线4y= x 12-x2u2dux≥0
0
的全长.
·第285页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(34)设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x确定,求图形D绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积.
·第286页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(35)求曲线y=e-x sinxx≥0 绕x轴旋转所得旋转体的体积.
·第287页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
x=at-sint
(36)设摆线
,
y=a1-cost
0≤t≤2π,a>0
与x轴所围平面图形为D.求:
(I)D绕x轴,y轴各旋转一周所得旋转体的体积；
(II)D绕直线y=2a旋转一周所得旋转体的体积.
·第288页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(37)求圆x-2 2 +y2=1绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积.
·第289页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(38)求双纽线r2=a2cos2θa>0 绕极轴旋转所成旋转曲面的面积.
·第290页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(39)设fx =xn 1-x2,x∈0,1 与y=0所围平面区域的面积为S n ,gx =sin n 2x,x∈ 0, π 2 与y=
0所围平面区域绕x轴旋转一周所得体积为V nn=1,2,⋯
πS
,求极限lim n .
n→∞ V n
·第291页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(40)设曲线y=sinx在x∈0,nπ n=1,2,⋯ 上与x轴所围成的区域为D,D绕y轴旋转一周所得旋
转体的体积为a .
n
(I)求a ;
n
n 2kπ2 kπ
(II)求极限lim sin .
n→∞ k=1 a n 2n
·第292页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(41)将半径为R的球沉入水中,它与水面相切,设球的密度与水的密度相等,现将球从水中取出,问
至少需要做功多少?
·第293页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(42)设如图(a)和(b)所示为同一等腰三角形薄板,已知其底为2b、高为h,将其垂直放入静水中,图
(a)是其底与水面相齐,图(b)是其顶点与水面相齐,设图(a)与图(b)薄板一侧所受压力分别为P 和
1
P
P,求 2 .
2 P
1
·第294页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(43)求曲线y=3-x2-1与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转所得旋转体的体积.
·第295页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(44)设心形线r=41+cosθ
π
与θ=0,θ= 所围图形为D,求D绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.
2
·第296页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
1
(45)设D位于曲线y=
xlnx
α>0,2≤x<+∞
α+1
下方,x轴上方的无界区域.求:
(I)D的面积Sα ;
(II)Sα 的最小值.
·第297页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(46)设fx 在[0,+∞)上连续且单调减少,fx
n
≥0,a n = fk
k=1
n
- fx
1
dxn=1,2,⋯ ,证明:
lima 存在.
n
n→∞
·第298页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
1 π b
(47)设a = xn 1-x2dx,b =2 sinnxcosnxdx,求lim n .
n n
0 0
n→∞a
n
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(48)设非负函数fx 在区间0,1 上有连续的二阶导数,且f0 =1,f x <0,证明:
(I)当x∈0,1
x
时,有 ft
0
1
dt≥ xfx
2
+x ;
1 2
(II) -x
3
0
fx
1
dx≥ .
6
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拓展题
解答题
π
(1)已知曲线L的极坐标方程为r=1+cosθ0≤θ≤
2
.求:
π
(I)曲线L在θ= 对应点处的切线T的直角坐标方程；
4
(II)曲线L、切线T与x轴所围图形的面积.
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(2)如图(a)所示,在水平放置的椭圆底柱形容器内存放液体(密度为ρ,单位:kg/m3),容器长为4 m,
x2
椭圆方程为 +y2=1(单位:m),如图3-3(b)所示.
4
(I)当液面在过点0,y -1≤y≤1 处的水平线时,问容器内液体的体积是多少？
(II)当容器内存满了液体后,平均每分钟从容器顶端抽出0.16 m3的液体,当液面降至y=0处时,求
液体下降的速度.
(III)问抽出全部液体需做多少功?
·第302页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(3)设fx 在a,b 上有二阶导数,且fa =fb =0,f x <0,证明:当x∈a,b 时,有0a 上可导且不恒为常数,fa fb <0.证明:至少存在一点ξ∈a,b ,使得
2
b-a
b
fx
2
a
dx< f ξ .
·第304页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(5)设fx 在a,b 上有连续的二阶导数.
b
(I)证明: fx
a
1
dx= b-a
2
fa +fb
1 b
+ x-a
2
a
x-b f x dx;
(II)记M= max
x∈a,b
f x
b
,证明: fx
a
1
dx- b-a
2
fa +fb
b-a
≤
3
M.
12
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(6)设fx 在a,b 上有连续的二阶导数,且f a =f b .证明:存在一点ξ∈a,b
b
,使得 fx
a
dx
1
= b-a
2
fa +fb
b-a
+
3
f ξ
24
.
·第306页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(7)设fx 有二阶连续导数,f0 =f1 =1,M= max
x∈0,1
f x .
(I)证明:当x∈0,1 时,有 f x
1
≤ M;
2
1
(II)在第(I)问的基础上,证明: fx
0
M
dx≤1+ .
8
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(8)设fx 在[0,+∞)上有连续的二阶导数,且 f x ≤1.
1
(I)证明: fx
0
1
dx-f
2
1
≤ .
24
(II)若对任意的x∈[0,+∞),有fx =fx+1 n ,n为正整数.证明: fx
0
1 dx≤n + f0
6
.
·第308页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(9)设fx 在0,1 上有连续的导数,f0 =0,f1
1
=1,证明:limn fx n→∞ 0
n 1 k
dx- f n n k=1
1
=- . 2
·第309页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·3.一元函数积分学及其应用
(10)设fx 在0,1 上有连续的二阶导数,fx 不恒为零,且f0 =f1 =0, fx 在x=x 0 处取得
最大值,x 0 ∈0,1 .证明:
(I)至少存在点ξ ∈0,x
1 0
,ξ ∈x ,1
2 0
,使得f ξ
2
-f ξ
1
1
= f ξ
x 2
0
;
1
(II) f x
0
dx≥4 fx 0 .
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(11)设fx 在a,b 上有连续的二阶导数,且M= max
x∈a,b
f x .证明:
b
(I) fx
a
dx-b-a
a+b
f
2
b-a
≤
3
M;
24
(II)存在ξ∈a,b
b
,使得 fx
a
dx=b-a
a+b
f
2
b-a
+
3
f ξ
24
.
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(12)设fx 在-1,1 上有连续的二阶导数,证明:
(I)存在ξ∈-1,1
1
,使得 xfx
-1
1
dx= 2f ξ
3
+ξf ξ ;
(II)若fx 在(-1,1)内取得极值,则存在一点η∈-1,1 ,使得
2f η +ηf η
1
≥ f1
2
-f-1 .
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第四章 空间解析几何
基础题
一、选择题
(1)设向量a=1,2,1 ,b=-1,0,2 ,c=0,k,-3 共面,则k=( ).
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
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x-1 y-5 z+8 x-y=6,
(2)设直线L
1
:
1
=
-2
=
1
与L
2
:
2y+z=3,
则L
1
与L
2
的夹角为( ).
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
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x+3y+2z+2=0,
(3)设直线L: 平面π:4x-2y+z-2=0,则直线L( ).
2x-y-10z-1=0,
A. 平行于平面π B. 在平面π上 C. 垂直于平面π D. 与平面π斜交
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y2
(4)方程x2- +z2=1表示( ).
4
A. 旋转单叶双曲面 B. 双叶双曲面 C. 双曲柱面 D. 锥面
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二、填空题
(1)设向量a=-1,3,0 ,b=3,1,0 ,c=r(常数).当c满足a=b×c时,r的最小值为_____.
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(2)设向量a=2,-3,1 ,b=1,-2,3 ,c=2,1,2 ,向量r满足r⊥a,r⊥b,Prj r=14,则r=____ c
_.
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x-2y+4z-7=0,
(3)过点(2,0,-3)且与直线
垂直的平面方程为_____.
3x+5y-2z+1=0
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(4)点P1,-1,2 到平面π:2x-y+5z-12=0的距离d=_____.
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(5)点P1,-1,0
x y z+1
到直线L: = = 的距离d=_____.
3 3 2
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x-1=0, x+2y=0,
(6)直线L
1
: 与L
2
: 之间的距离d=_____.
y=z z+2=0
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x+2y-3z=2,
(7)直线L: 在平面z=0上的投影为_____,在平面z=1上的投影为_____.
2x-y+z=3
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(8)过点A1,1,-1 ,B-2,-2,2 和C1,-1,2 三点的平面方程为_____.
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x2+2z2=4,
(9)曲线
绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为_____.
y=0
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z=2x2+3y2,
(10)曲线
在xOy面上的投影曲线方程为_____.
z=12-x2-3y2
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π
(11)设α与β均为单位向量,其夹角为 ,则以α+2β与3α+β为邻边的平行四边形的面积为___
6
__.
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π α+xβ-α
(12)设α与β是非零常向量,β=2(β表示β的模),α与β之间的夹角为 ,求lim =_
3 x→0 x
____.
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三、解答题
(1)求平行于平面x+y+z=9且与球面x2+y2+z2=4相切的平面方程.
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(2)设平面π与点P1,2,1
3x-2y+2=0,
的距离为1,且过直线L: 求平面π的方程.
x-2y-z+6=0,
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x+5y+z=0,
(3)设平面π过直线L: 且与平面π
1
:x-4y-8z+12=0的夹角为45°,求平面π的方程.
x-z+4=0,
·第331页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·4.空间解析几何
x+2 2-y z+1
(4)求直线L: = = 在平面π:2x+3y+3z-8=0上的投影直线方程.
3 1 2
·第332页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·4.空间解析几何
x y z
(5)求过点(-1,2,3),垂直于直线 = = 且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程.
4 5 6
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x+4 z-4
(6)求与直线L :x+2=3-y=z+1和L : =y= 都垂直相交的直线方程.
1 2 2 3
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x-3 z-1 x+1 y-2
(7)求直线L : =y= 与L : = =z的公垂线方程.
1 2 0 2 1 0
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x-1 y z-1
(8)求直线 = = 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
0 1 2
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x-1 y-2 z+1 x=2,
(9)求直线L: = = 绕直线 旋转一周所得的曲面方程.
3 4 1 y=3
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拓展题
解答题
(1)求满足下列条件的动点的轨迹方程,并说明它们分别表示什么曲面.
(I)动点到坐标原点的距离等于它到平面z=4的距离；
(II)动点到坐标原点的距离等于它到点(2,3,4)的距离的一半；
(III)动点到点(0,0,5)的距离等于它到x轴的距离;
(IV)动点到x轴的距离等于它到yOz面的距离的两倍.
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第五章 多元函数微分学及其应用
基础题
一、选择题
(1)设fx,y =arcsin x2+y4,则下列选项中正确的是( ).
A. f x ′ 0,0 存在,f y ′ 0,0 存在 B. f x ′ 0,0 不存在,f y ′ 0,0 存在
C. f x ′ 0,0 不存在,f y ′ 0,0 不存在 D. f x ′ 0,0 存在,f y ′ 0,0 不存在
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(2)设f x ′ x 0 ,y 0 ,f y ′ x 0 ,y 0 均存在,则下列选项中正确的是( ).
A. limfx,y
x→x0
y→y0
存在 B. fx,y 在x ,y 0 0 处连续
C. limfx,y 0
x→x0
存在 D. fx,y
∘
在Ux ,y 0 0 内有定义
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(3)设fx,y
x2+y2
sinxy2
= x2+y4
, x2+y2≠0,
则正确的是( ).
0, x2+y2=0,
A. f x ′ y ′ 0,0 存在,f y ′′ x0,0 存在 B. f x ′ y ′ 0,0 不存在,f y ′′ x0,0 存在
C. f x ′ y ′ 0,0 存在,f y ′′ x0,0 不存在 D. f x ′ y ′ 0,0 不存在,f y ′′ x0,0 不存在
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(4)设fx,y = xy,则( ).
A. 当x>0时,f x ′ x,y
1 y
=- 2 x B. 当x<0时,f x ′ x,y
1 y
= 2 x
C. 当y≠0时,f x ′ 0,y =0 D. 当y≠0时,f x ′ 0,y 不存在
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(5)设方程xy-zlny+exz=1,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).
A. 可确定隐函数y=yx,z 和z=zx,y B. 可确定隐函数x=xy,z 和z=zx,y
C. 可确定隐函数x=xy,z 和y=yx,z D. 只能确定隐函数z=zx,y
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(6)设可微函数fx,y 在点Px ,y 0 0 处取得极大值,则( ).
A. fx ,y
0
在y=y 处导数小于零 B. fx ,y
0 0
在y=y 处导数大于零
0
C. fx ,y
0
在y=y 处导数等于零 D. fx ,y
0 0
在y=y 处导数不存在
0
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(7)设fx,y =e2x x+y2+2y ,则fx,y
1
在点P ,-1
2
处( ).
e e
A. 取得极小值- B. 取得极大值- C. 取得极大值e D. 不取得极值
2 2
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(8)设z=fx,y 在点(0,0)的某邻域内有定义,且f x ′ 0,0 =1,f y ′ 0,0 =1,则( ).
A. dz
0,0
=dx+dy
z=fx,y
B. 曲线
,
在点 0,0,f0,0
y=0
处的切向量为(1,0,1)
C. 曲面z=fx,y 在点 0,0,f0,0 处的法向量为(1,1,1)
D. limfx,y
x→0
y→0
必存在
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(9)设曲面S由方程Fax-bz,ay-cz =0所确定,F有连续偏导数,a,b,c是不为零的常数,则曲面S
上任一点的切平面都平行于直线( ).
x y z x y z x y z x y z
A. = = B. = = C. = = D. = =
a b c b c a c b a c a b
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二、填空题
y
lnx+e
(1)lim
x→3
y→0
=_____.
x2+y2
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x+y
(2)lim =_____.
x→∞
x2-xy+y2
y→∞
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1
(3)lim1-
2x
x→∞
y→0
x2
x+y =_____.
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(4)设z=1+xy y ,则dz
1,1
=_____.
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(5)设函数fx,y 可微,且f1,2 =2,f x ′ 1,2 =3,f y ′ 1,2 =4,Fx =f x,fx,2x ,则F 1 =___
__.
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y=fx,t
(6)设
,
Fx,y,t
dy
f,F 有一阶连续偏导数,则 =_____.
=0, dx
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(7)设z=zx,y 由方程e 2yz +x+y2+z= 7 确定,则dz
4 1,1
2 2
=_____.
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(8)设fx,y = xy sint dt,则 ∂2f
0
1+t2 ∂x2
0,2
=_____.
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(9)设zx,y 的全微分dz=x2+2xy-y2 dx+x2-2xy-y2 dy,则zx,y =_____.
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(10)设z=zx,y 由方程z+lnz-
x
e-t2 dt=0确定,则
∂2z
=_____.
y ∂x∂y
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x
(11)设z=fxy,
y
y
+g
x
∂2z
,f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,则 =_____.
∂x∂y
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(12)曲面z=x2+y2-1在点P2,1,4 处的切平面方程为_____,法线方程为_____.
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x2+y2=10,
(13)曲线L: 在点P3,1,1
x2+z2=10
处的切线方程为_____,法平面方程为_____.
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x+ky
(14)设
dx+y dy
x+y
为某二元函数的全微分,则k=_____.
2
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(15)设fx,y 有连续偏导数,在P1,-2 处有f x ′ 1,-2 =1,f y ′ 1,-2 =-1,则fx,y 在P1,-2 处
增加最快的方向为_____.
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(16)函数u=lnx2+y2+z2 在点P1,2,-2 处的梯度graduP =_____.
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三、解答题
(1)设y=yx ,z=zx
x2+y2+z2=3x, dy dz
由方程组 确定,求 , .
2x-3y+5z=4 dx dx
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(2)设x≥0,y≥0时,有x2-y2 e -x2-y2 ≤k成立,求k的最小值.
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(3)求fx,y y =1+e cosx-ye y的极值.
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(4)设曲面S:x-y 2 -z2=1,求坐标原点到S的最短距离.
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(5)求函数z=x3-3x2-3y2在闭区域D:x2+y2≤16上的最大值.
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z=x2+y2,
(6)设椭圆
上的点(x,y,z)到原点的距离为d,求其最值以及使得d取最大和最小的点.
x+y+z=4
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(7)在第一象限内,过曲线3x2+2xy+3y2=a上任一点作其切线,若切线与两坐标轴所围成的三角形
1
面积的最小值为 ,求a的值.
4
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(8)设ux,y
∂2u ∂2u ∂2u
有二阶连续偏导数,利用变换ξ=x+ay,η=x+by,将方程 +4 +3 =0
∂x2 ∂x∂y ∂y2
∂2u
化为 =0,求a,b的值.
∂ξ∂η
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(9)设fu 有二阶连续导数,且z=fexsiny
∂2z ∂2z
满足 + =ze2x,求fu
∂x2 ∂y2
.
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综合题
一、选择题
(1)设fx,y 在点x ,y 0 0 处不可微,则下列命题中一定不成立的是( ).
A. fx,y 在点x ,y 0 0 处不连续
B. fx,y 在点x ,y 0 0 处两个偏导数均存在且偏导数连续
C. fx,y 在点x ,y 0 0 处两个偏导数均存在且至少有一个不连续
D. fx,y 在点x ,y 0 0 处沿任何方向的方向导数均不存在
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(2)设fx,y
fx,y
在点(0,0)处连续,且lim
x→0
y→0
=1,则( ).
x2+y2
e -1
A. fx,y 在点(0,0)处取得极小值 B. fx,y 在点(0,0)处取得极大值
C. fx,y 在点(0,0)处不取得极值 D. 不能确定fx,y 在点(0,0)处取得极值
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(3)设fx,y
fx,y
在点(0,0)的某邻域内连续,且lim
x→0
y→0
-f0,0
=-1,则fx,y
x+y4
在点(0,0)处( ).
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值
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(4)设fx,y
1
yarctan , x,y
= x2+y2
≠0,0 ,
0, x,y =0,0
则fx,y
,
在点(0,0)处( ).
A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续
C. 可微 D. 连续但偏导数不存在
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(5)设函数fx,y =x+y-1
x
arcsin ,则在点(0,1)处( ).
y
A. f x ′ 0,1 =f y ′ 0,1 =1 B. df
0,1
=dy
C. df
0,1
=dx D. df
0,1
不存在
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(6)设fx,y 在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0
fx,y
=0,且lim
x→0
y→0
- x2+y2
=kk为常数
x2+y2
,则当
k>-1时,( ).
A. fx,y 在点(0,0)处可微 B. fx,y 在点(0,0)处取得极小值
C. fx,y 在点(0,0)处取得极大值 D. f x ′ 0,0 ,f y ′ 0,0 都存在
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(7)设fx,y
∂fx,y
可微,对任意的x,y,有
∂fx,y
>0, ∂x
<0,则使得fx ,y ∂y 1 1 y B. x >x ,y >y C. x x ,y
0,F x ′ x ′ x 0 ,y 0 <0,则由方程Fx,y =0确定的隐函数y=yx 在x=x 处( ). 0
A. 取得极小值 B. 取得极大值
C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值
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(9)设fx,y 有一阶连续偏导数,且fx,y =1-x-y+o x-1 2 +y2 ,gx,y =fx+y,xy ,则全
微分dg
1,0
=( ).
A. -2dy B. -dx C. -dx-2dy D. dx-2dy
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二、填空题
(1)设z=zx,y
∂2z
有二阶连续偏导数,满足 =x+y,并且zx,0
∂y∂x
=x,z0,y =y2,则zx,y =__
___.
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(2)设z= 2x ,则 ∂nz
x2-y2 ∂yn
2,1
=_____.
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(3)设fx,y 对任意的x,y ∈R2满足fx,y x+y-2 =e +oρ ,其中ρ= x-1 2 +y-1 2 ,则
f1+2h,1
lim
h→0
-f1,1-2h
=_____.
h
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(4)设曲线x2+2y2+3z2=21的切平面平行于平面x+4y+6z=0,则该切平面方程为_____.
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(5)设可微函数fx,y 对任意x,y,t,满足ftx,ty =t2fx,y ,P 01,-2,2 是曲面z=fx,y 上一点,
且f x ′ 1,-2 =4,则曲面在P 点处的切平面方程为_____. 0
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(6)设ux,y,z =xy2z3在点P1,2,-1 处沿曲面x2+y2=5的外法线方向的方向导数为_____.
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三、解答题
x
(1)设f有一阶连续导数,证明:z=f
y
∂z ∂z
的充分必要条件是x +y =0.
∂x ∂y
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(2)设z=zx,y
1 1 1
是由方程F - -
x y z
1 ∂z ∂z
= 确定的隐函数,其中F可微,求x2 +y2 .
z ∂x ∂y
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(3)设y=gx,z 与z=zx,y 是由方程fx-z,xy
dy
=0确定的函数,求 .
dx
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(4)求函数fx,y =1+y 2 +1+x 2在条件x2+y2+xy=3下的最大值.
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x2 y2 z2
(5)求椭球面 + + =1a,b,c>0
a2 b2 c2
在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成的四面体的最
小体积.
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(6)设fx,y =x3+y3-ax2-by2 a>0,b>0
x2 y2
有极小值-8,求a,b的值,使得椭圆 + =1所
a2 b2
围面积最大.
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(7)设fx,y =e-x ax+b-y2 在点-1,y 0 处取得极大值,求a,b满足的条件.
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(8)设函数fx,y =x2+2kxy+y2 k>0 满足x2+y2=1的最大值与最小值分别为λ 与λ ,求λ +λ . 1 2 1 2
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(9)求fx,y = 1 e - 2 1 y2 x-a
y2
2+y-1 2 (y≠0,a为常数)的极值.
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(10)设函数z=zx,y 由方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定,求z=zx,y 的极值.
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(11)设可微函数fx,y 在点Px,y 处沿l 1 =-1,0 与l 2 =0,-1 的方向导数分别为x2-y与1-
x,且f1,1
1
=- .
3
(I)求fx,y ;
(II)求fx,y 在D= x,y ∣0≤y≤7-x,0≤x≤7 上的最大值.
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(12)设函数fx,y 的全微分为dfx,y =2ax+by dx+2by+ax dya,b为常数 ,且f0,0 =-3,
f x ′ 1,1 =3.
(I)求fx,y ;
(II)求点(-1,-1)到曲线fx,y =0上的点的距离的最大值.
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(13)求曲线x2+xy+y2=1上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
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(14)设可微函数fu,v
∂f ∂f
满足 + =u+v
∂u ∂v
eu-v,且f0,v =0,若u=x,v=x+y,求:
∂fx,x+y
(I)
;
∂x
(II)fu,v 的极值.
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(15)设x=xy ,z=zy
Fy-x,y-z
由方程组
=0,
z
Gxy,
y
dx dz
确定,求 , .
=0 dy dy
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1 1 (16)设α,β为正数,且 + =1,求fx,y
α β
= 1 xα+ 1 y β在条件xy=1x>0,y>0
α β
下的最小值.
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(17)设w=xy-z,z=zx,y
∂2z ∂2z ∂2z
有二阶连续偏导数,且满足 +2 + =0.作变换u=x+y,v
∂x2 ∂x∂y ∂y2
=x-y.
∂2w
(I)求 ;
∂u2
∂w0,v
(II)若
=ve-v,w0,v
∂u
v2
= ,求zx,y
4
的表达式.
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x2 y2 z2
(18)求函数u= + + 在点Px,y,z
a2 b2 c2
处沿l=xi+yj+zk的方向导数,并讨论在哪些点该方
向导数等于梯度的模.
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拓展题
一、选择题
下列( )选项条件成立时,能够推出函数fx,y 在点x ,y 0 0 处可微,且全微分dfx,y x 0 ,y 0 =0.
A. f x ′ x 0 ,y 0 =f y ′ x 0 ,y 0 =0
B. fx,y 在点x ,y 0 0
ΔxΔy
处的全增量Δf=
Δx
2
+Δy
2
C. fx,y 在点x ,y 0 0
sin Δx
处的全增量Δf=
2
+Δy
2
Δx
2
+Δy
2
D. fx,y 在点x ,y 0 0 处的全增量Δf= Δx 2 +Δy 2 1 sin
Δx
2
+Δy
2
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二、解答题
设fx,y 在点(0,0)的某邻域内有定义,f0,0
fx,y
=0,且lim
x→0
y→0
=1+k(k为常数).证明:
x2+y2
I fx,y 在点(0,0)处连续;
(II)当k≠-1时,fx,y 在点(0,0)处不可微;
(III)当k=-1时,fx,y 在点(0,0)处可微.
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第六章 重积分及其应用
基础题
一、选择题
1 (1)设D为由直线x+y= 2 ,x+y=1与两坐标轴所围的区域,I 1 = lnx+y
D
9 dxdy,I = 2
x+y
D
9 dxdy,I 3 = sinx+y
D
9 dxdy,则( ).
A. I ≤I ≤I B. I ≤I ≤I C. I ≤I ≤I D. I ≤I ≤I
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
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(2)设D是xOy平面上以A1,1 ,B-1,1 ,C-1,-1 为顶点的三角形区域,D 是D在第一象限的部 1
分,则I= xy+cosxsiny
D
dxdy=( ).
A. 0 B. 2 xydxdy
D1
C. 2 cosxsinydxdy D. 4 xy+cosxsiny
D1 D1
dxdy
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2 x2
(3)积分I= dx2 fx,y
0 0
2 2 8-x2
dy+ dx fx,y
2 0
dy=( ).
2 8-y2
A. dy fx,y
0 y
2 8-y2
dx B. dy fx,y
0 2y
dx
2 8-y2
C. dy fx,y
0 2y
2 8-y2
dx D. dy fx,y
0 y
dx
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(4)设D:x2+y2≤x,则 fx,y
D
dxdy=( ).
π cosθ
A. dθ frcosθ,rsinθ
0 0
π sinθ
rdr B. dθ frcosθ,rsinθ
0 0
rdr
π cosθ
C. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0
π sinθ
rdr D. 2 dθ frcosθ,rsinθ
-π
2 0
rdr
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π 2sinθ
(5)将二重积分I=2 dθ frcosθ,rsinθ
π
4 0
rdr化为直角坐标系下的二次积分,则I=( ).
1 x
A. dx fx,y
0 1- 1-x2
1 1-x2
dy B. dx fx,y
0 x
dy
1 y
C. dy fx,y
0 0
2 2y-y2
dx+ dy fx,y
1 0
1 2y-y2
dx D. dy fx,y
0 y
dx
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(6)设V:x2+y2+z2≤R2,z≥0,V 是V位于第一卦限的部分,则( ).
1
A. zdV=4 zdV B. xdV=4 xdV
V V1 V V1
C. ydV=4 ydV D. xyzdV=4 xyzdV
V V1 V V1
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二、填空题
(1)I= 1 1 x -2 3dx π 4 csc2ydy=_____.
3
0 arctanx
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(2)设ft t t =dx e -x-y
0 x
2 dyt≥0 ,则f 1 =_____.
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(3)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx
a fx
在[0,+∞)上连续且取正值,则I=
D
+b fy
fx + fy
dxdy
=_____.
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(4)设fx 在0,1
1
上连续,且 fx
0
1 1
dx=A,则I= dx fx
0 x
fy dy=_____.
·第417页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
1+x-y
(5)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,则I= dxdy=_____.
D1+x2+y2
·第418页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
dxdy
(6)设D:2x≤x2+y2,0≤y≤x≤2,则I= =_____.
D x2+y2
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(7)设D= x,y ∣0≤y≤1-x,0≤x≤1
x
,则 ex+ydxdy=_____.
D
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x2 y2
(8)设D:x2+y2≤1,则I= +
4 9
D
dxdy=_____.
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(9)设区域D由x=- 2y-y2,x=-2,y=0,y=2所围,则I= ydxdy=_____.
D
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(10)设D:x2+y2≤2x,则I= 2x+3y
D
dxdy=_____.
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(11)设V:x2+y2+z2≤2y-2x,则I= x+y+z
V
dV=_____.
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(12)球体x2+y2+z2=R2 R>0 被圆柱面x2+y2=Rx所截得含在圆柱面内的立体的体积为___
__.
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(13)r≤1与r≤1+cosθ所围平面区域的形心坐标为_____.
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(14)设平面薄片(密度ρ=1)由y2=x3与直线y=x所围,则D对x轴和y轴的转动惯量分别为I =
x
_____,I =_____.
y
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三、解答题
(1)(I)设D由x-y=0,x+y=0及x=1所围,求I= xyx-y
D
dxdy;
siny
(II)设D由y= x,y=x所围,求I= dxdy;
y
D
(III)设D由y=x2 x≥0
xy
,y=1,x=0所围,求I= dxdy;
D 1+y3
(IV)设D:-1≤x≤siny,y≤
π
,求I= xe
x2+cosy
siny-1
2
D
dxdy.
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(2)设D= x,y ∣1≤x+y≤2,x≥0,y≥0
xex+y
,计算I=
D
2
dxdy.
x+y
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(3)设D:x2+y2≤ 2x,0≤y≤x,计算I= x2+y2-1dxdy.
D
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(4)设D= x,y ∣0≤x≤2,0≤y≤ 2x-x2 ,计算I= x+y-2dxdy.
D
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y
(5)设D:1≤x2+y2≤2x,y≥0,计算I=
D 1+x2+y2
dxdy.
x2+y2
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(6)设D:0≤x≤2,0≤y≤2,计算I= 1+x+y
D
dxdy,其中1+x+y 表示不超过1+x+y的最大
整数.
·第433页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(7)设D= x,y ∣0≤x≤1,0≤y≤1 ,计算I= max 2x-x2,1-y
D
2 dxdy.
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(8)计算I= sgnx2-y2+2
D
dxdy,其中D:x2+y2≤4.
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(9)设fx,y
1
= x2+y2
, 1≤x≤3, 3 x≤y≤x,
2 3 D由x=3,x=1,y=0,y=3所围,计算I=
0, 其他,
fx,y
D
dxdy.
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(10)计算I= xydxdy,其中D由下列双纽线所围.
D
(I)x2+y2 2 =2x2-y2 ;
(II)x2+y2 2 =2xy.
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(11)设V由曲面z= R2-x2-y2与z= x2+y2所围,求I= zdV.
V
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(12)设V是由曲面z= 1-x2-y2与z+1= x2+y2所围的区域,计算I= z2dV.
V
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(13)求曲面z= 5-x2-y2与x2+y2=4z所围立体体积.
·第440页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(14)设V是由x2+y2+z2=R2与x2+y2+z-R
2 =R2所围的区域,计算I= z2dV.
V
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综合题
一、选择题
(1)I 1 = cos x2+y2dxdy,I 2 = cosx2+y2
D D
dxdy,I 3 = cosx2+y2
D
2 dxdy,其中D:x2+y2≤1,则(
).
A. I >I >I B. I I >I D. I >I >I
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2
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n n
1
(2)lim
n→∞ i=1j=1 1+ i
n
n2+j2
=( ).
π π π
A. ln2 B. ln2 C. ln2 D. πln2
4 8 2
·第443页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(3)设D是以1,1 、-1,1 和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D 1 是D在第一象限的部分,且fx,y
=xy+ fx,y
D
dxdy,其中fx,y 在D上连续,则( ).
A. fx,y
D
dxdy= fx,y
D1
dxdy B. fx,y
D
dxdy=2 fx,y
D1
dxdy
C. fx,y
D
dxdy= fy,x
D
dxdy D. fx,y
D
dxdy=2 fy,x
D1
dx dy
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二、填空题
(1)设D:0≤x≤y≤2π,则I= sinx-y
D
dxdy=_____.
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(2)设D= x,y x ≤x2+y2≤ x , y ≤x2+y2≤ y
4 2 4 2
1 ,则I= dxdy=_____.
xy
D
·第446页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
1 y2
(3)积分I= dy ysin1-x
0 0
2 dx=_____.
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π a sin2θ
(4)交换积分顺序I=2 dθ frcosθ,rsinθ
0 0
rdra>0 为_____.
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x2 y2
(5)(选做)设D: + ≤1,则I= y2dxdy=_____.
a2 b2
D
·第449页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
ez
(6)设V是由z= x2+y2,z=1,z=2所围成的立体,计算I= dxdydz=_____.
V x2+y2
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1 1-x 1-x-z (7)积分I= dx dz 1-y
0 0 0
e -1-y-z 2 dy=_____.
·第451页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(8)设V是由曲面x2+y2-2z2=1、平面z=1及z=2所围成的区域,则I= zdV=_____.
V
·第452页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(9)设V由曲面z= x2+y2与z= 1-x2-y2所围,则I= x+z
V
dV=_____.
·第453页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
三、解答题
(1)设D是由曲线xy+x+y=1与x轴所围成的有界区域,计算I= [2ln1+y
D
-y+x]dxdy.
·第454页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·6.重积分及其应用
(2)设D= x,y ∣x-1 2 +y-1 2 ≤1,x2+y2≤1 ,计算I= 2x-y2
D
dxdy.
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(3)设平面曲线x+y 3 =xy在第一象限所围区域为D,计算I= x-y
D
3 +1 dxdy.
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1 2-x (4)计算积分I= dx ex+y
0 1-x
2 sin2x+cos2y 2 2-x dy+ dx ex+y
1 0
2 sin2x+cos2y dy.
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1 t t (5)求极限lim dxsinxy
t→0+t6
0 x
2 dy.
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(6)设D= θ,r π 0≤θ≤ , 0≤r≤1
2
,计算I= r3er2cos2θsin2θdθdr.
D
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(7)设D= x,y ∣x2+y2≤1,0≤y≤x
xy
,计算I= dxdy. D1+x2-y2
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(8)设D= x,y ∣0≤x≤1,0≤y≤x ,计算I= arcsin2 x-x2
D
dxdy.
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(9)设可导函数fx fx 满足lim
x→0
t t2-x2
dx f x2+y2
=1,求极限lim 0 - t2-x2
x t→0+
+2y dy
.
t3
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(10)设ft 在-∞,+∞ 内有连续导数,且ft =2 x2+y2
D
f x2+y2 dx dy+t4,D:x2+y2≤t2,
求ft .
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(11)设fx,y 在区域:0≤x≤1,0≤y≤1上连续,f0,0 =0,且fx,y 在点(0,0)处可微,f y ′ 0,0 =
x2 t
dt ft,u
1,求lim 0 x
x→0+
du
.
-x4
1-e 4
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(12)设D:x2+y2≤4,x≥0,y≥0,fx,y 在D上连续,且fx,y =x2+y2-x+y-1 +
fu,v
D
dudv,求fx,y .
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(13)设D是由y= 1-x2,y= 4-x2与x+y=0及x轴所围且位于x+y≥0部分的区域,计算I=
x2+y2
dxdy.
D
x2+2y2
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(14)设D= x,y ∣4≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0 ,fx,y 在D上连续,且fx,y =sinπ x2+y2 +
1 xfx,y
π
D
dxdy.求I= fx,y
x+y
D
dxdy.
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(15)设fx
1
xf2 x
是连续正值函数,且单调减少,证明: 0
dx
1
xfx
0
1
f2 x
≤ 0
dx
dx
1
fx
0
.
dx
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x=t-sint,
(16)设D为由摆线 0≤t≤2π
y=1-cost
及x轴所围的平面区域,求D的质心坐标.
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(17)设V:0≤z≤ R2-x2-y2 R>0 ,求I= 3x2+5y2+7z2
V
dV.
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(18)设Ft = z2+fx2+y2
V
dV,fu 连续,其中V:0≤z≤h,x2+y2≤t2.求:
dF
(I) ;
dt
1
(II)lim Ft
t→0 t2
.
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(19)设V是由平面z=0,z=1及圆柱面x2+y2=2所围成的图形,计算I= z- x2+y2dxdydz.
V
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(20)某均匀物体由上、下两部分组成,上部分是半径为a的半球体,下部分是底面半径为a、高为3
的直圆锥体,且半球体的底面圆与圆锥的底面重合,问当a为何值时,此物体的质心恰好在球心位置?
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(21)设fx 在0,1 上是连续正值函数,且fx 单调减少,D:0≤x≤1,0≤y≤1,证明
xfx
D
fy fx -fy dxdy≤0.
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(22)设fu 在-1,1 上连续,D:x+y≤1,证明: fx+y
D
1
dxdy= fu
-1
du.
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(23)设非负函数fx 在区间0,a a>0 上有连续的二阶导数,且f0 =f 0 =0,f x 严格单调
递增,平面区域D= x,y ∣0≤x≤a,0≤y≤fx
的形心坐标为x,y
3
.证明:x> a.
4
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拓展题
解答题
(1)设D由x轴,曲线y=fx fx ≥0 ,x=0,x=aa>0 围成,平面图形D的质心(形心)的横坐
2
标为x= a.
3
(I)记Fx
x
= ft
0
dt,证明:F x
2Fx
=
;
x
(II)求fx .
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x=1-cost,
(2)设D是由曲线 0≤t≤2π
y=t-sint
与y轴所围平面区域,计算I= 2x+y
D
dxdy.
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1
(3)设在第一象限内,x2+y2= 与x2+y2=x4+y4及x=0,y=0所围区域为D.计算
4
xy
I= dxdy.
Dx2+y2
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第七章 微分方程及其应用
基础题
一、选择题
dy x
(1)下列选项中(C为任意常数)是微分方程 + =0的通解的是( ).
dx y
A. x2+y2=C2 B. x2-y2=C2 C. x2+y2=C D. x2-y2=C
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(2)设y+Px y=0的一个特解为y=cos2x,则该方程满足y0 =2的特解为( ).
A. 2cosx B. 2cos2x C. cos2x D. cos2x+1
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(3)微分方程y+2y-3y=e-x+x的一个特解形式为( ).
A. ae-x+bx+c B. axe-x+xbx+c C. axe-x+bx+c D. aex+xbx+c
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(4)设y 1x ,y 2x 是y+Px y=0的两个不同特解,其中Px 在-∞,+∞ 内连续,且Px 不恒
为0,则下列结论中错误的是( ).
A. y 1x -y 2x =常数 B. C y 1x -y 2x 是方程的通解
C. y 1x -y 2x 在任一点不为0 D.
y 2x
y 1x
≡常数 y 1x ≠0
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(5)设y 1x ,y 2x ,y 3x 是微分方程y+px y+qx y=fx 的三个线性无关的解,fx ≠0,则该
方程的通解为( ).
A. C 1 y 1x +C 2 y 2x +y 3x B. C 1 y 1x +1-2C 1 y 2x +C 1 y 3x
C. C -C 1 2 y 1x +C 2 y 2x +y 3x D. C 1 y 1x +C 2 y 2x +C 3 y 3x C +C +C =1 1 2 3
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(6)设fx 在[0,+∞)上可导, lim fx
x→+∞
=bb≠0 ,yx 为方程y+ay=fx a>0 的任一解,则y
=yx 有水平渐近线( ).
b a
A. y=ab B. y=-ab C. y= D. y=
a b
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二、填空题
(1)微分方程1+y2 dx+2x-1 ydy=0的通解为_____.
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y y
(2)y= +tan 满足y1
x x
π
= 的特解为_____.
6
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y
(3)微分方程y-6 +xy2=0y不为常函数
x
的通解为_____.
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x
(4)微分方程 1+ey
x
x dx+ey1-
y
dy=0y>0 的通解为_____.
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(5)微分方程xy= x2+y2+y的通解为_____.
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(6)方程y+2y+y=xex满足y0 =0,y 0 =0的特解为_____.
·第491页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(7)方程y-3y+2y=10e-xsinx满足当x→+∞时,yx →0的特解为_____.
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(8)方程1-x2 y-xy=0满足y0 =0,y 0 =1的特解为_____.
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(9)欧拉方程x2y-xy+y=0x>0 满足y1 =1,y 1 =1的解yx =_____.
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(10)设二阶线性非齐次微分方程y+px y+qx y=fx 有三个特解为x,ex,e-x,则该方程的通解
为_____.
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(11)设二阶常系数线性微分方程y+ay+by=cex有特解y*=e-x 1+xe2x ,则该方程的通解为_
____.
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三、解答题
(1)求x2y-y′2=0过点P1,0 ,且在点P与y=x-1相切的积分曲线.
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(2)求微分方程xcosy+cosx
dy
-ysinx+siny=0的通解.
dx
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(3)设fx 是连续函数,且fx
x
=cosx- x-t
0
ft dt,求fx .
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(4)设fx 可导,对任何实数x,y满足fx+y =exfy y +e fx ,且f 0 =e,求fx .
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1
(5)求微分方程y+ y′2=2y满足y0
2
=y 0 =2的特解.
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(6)求微分方程y-y=0的一条积分曲线,使此积分曲线在原点处有拐点,且以直线y=2x为切线.
·第502页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(7)设fu 有二阶连续导数,z=f x2+y2
∂2z ∂2z
满足 + =x2+y2,求z的表达式.
∂x2 ∂y2
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(8)设L是一条平面曲线,其上任意一点Px,y x>0 到原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的
1
截距,且L过点 ,0
2
.求:
(I)曲线L的方程；
(II)L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围的面积最小.
·第504页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(9)设OA是连接O0,0 和A1,1 的一段向上凸的曲线弧,Px,y
为OA上任一点,曲线弧OP与有
向线段OP所围图形的面积为x2,求曲线弧OA的方程.
·第505页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(10)设fx 满足xf x -fx =a1-lnx +x2 x>0,a≠0 ,f1 =1-a.
(I)求fx 的表达式;
(II)若方程fx =0在x∈0,+∞ 内有唯一实根,求a的取值范围.
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综合题
一、选择题
(1)下列方程中,以y=C ex+C cosx+C sinxC ,C ,C 为任意常数)为通解的是( ).
1 2 3 1 2 3
A. y-y+y-y=0 B. y+y+y-y=0
C. y+y-y-y=0 D. y-y-y-y=0
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(2)若二阶常系数线性齐次微分方程y+py+qy=0的通解为y=C ex+C xex,则非齐次微分方程
1 2
y+py+qy=x满足y0 =2,y 0 =0的特解为y=( ).
A. xex-x-2 B. xex-x+2 C. -xex+x+2 D. -xex-x+2
·第508页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(3)设C为任意常数,则以y=eCx+x2为通解的一阶微分方程为(
).
A. xy-ylny=x2y B. xy+ylny=xy2 C. xy-ylny2=xy D. xy+ylny=xy
·第509页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(4)设y 1 ,y 2 是一阶线性非齐次微分方程y+Px y=Qx 的两个解,若常数λ,μ使得λy +μy 是该 1 2
方程的解,λy -μy 是对应的齐次微分方程的解,则( ).
1 2
1 1 1 1 1 2 2 2
A. λ=- ,μ=- B. λ= ,μ= C. λ= ,μ= D. λ= ,μ=
2 2 2 2 3 3 3 3
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二、填空题
y
(1)微分方程y=
x+y+1
(y不为常函数)的通解为_____.
2
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(2)微分方程y-y=sinx满足y0 =0,y 0
3
= 的特解为_____.
2
·第512页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
y2-x
(3)微分方程y=
2yx+1
的通解为_____.
·第513页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
dy y-x
(4)微分方程 = 满足y1
dx y+x
=0的特解为_____.
·第514页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
x
(5)微分方程ysec2y+ tany=x满足y0
1+x2
=0的特解为_____.
·第515页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(6)微分方程y+y=x+cosx的通解为_____.
·第516页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(7)设函数yx 满足y+2ay+b2y=0a>b>0 ,且y0 =1,y 0
+∞
=1,则 yx
0
dx=_____.
·第517页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(8)设fx 有连续导数,对任意a满足fx+a
x+att2+1
=
x
ft
dt+fx ,且f1 = 2,则fx =__
___.
·第518页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(9)设fx 有二阶连续导数,且fx
x
= f1-t
0
dt+1,则fx =_____.
·第519页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
三、解答题
(1)设fx 满足fx+y
fx
=
+fy
1-fx fy
,且f 0 存在,求f x 及fx .
·第520页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(2)利用变量替换x=sint,y=yt
π
00
fx
,且lim
x→0+
=0.
x
(I)求fx 的表达式;
(II)若y=fx 在0,nπ 上与x轴所围图形的面积为A nn=1,2,⋯
A
,求lim n
n→∞ n+1
.
2
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(12)设ft 有二阶连续导数,f1 =f 1 =1,在x>0的平面区域内,存在函数ux,y ,使得
dux,y y2 y = +xf x x y dx+ y-xf x dy.求ft 及ft 的极值.
·第531页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(13)设ft 在0,+∞ 内有二阶连续导数,记gx,y
y
=f
x
.若gx,y
∂2g ∂2g
满足x3 +x2y +
∂x2 ∂x∂y
∂2g
xy2 =y,且gy,y
∂y2
∂g
=1,
∂y y,y
2
= ,求ft
y
.
·第532页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(14)设fx 在0,1 上有连续导数,f0 =1,f + ′ 0 =1,且 f x+y
D
dxdy=
fx+y
D
+x-y 3 dxdy,其中D= x,y ∣0≤y≤t-x,0≤x≤t 02.
1 2
·第534页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(16)设上凸曲线y=yx y>0 上任一点Mx,y 处的切线与x轴交于点N,且满足OM=ON,
y0 =1,y x >0,求y=yx .
·第535页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(17)设y=yx
1
是向上凸的连续曲线,其上任一点(x,y)处的曲率为 ,且此曲线上点(0,1)
1+y′2
处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程.
·第536页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(18)(I)设at
+∞
在[0,+∞)上是非负连续函数,证明:当且仅当 at
0
dx
dt发散时,微分方程 +
dt
at x=0的每一个解xt 满足 limxt
t→+∞
=0;
(II)设a>0,ft
dx
在[0,+∞)上连续有界,证明:方程 +ax=ft
dt
t≥0 的所有解在[0,+∞)上有
界.
·第537页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(19)设在第一象限内的曲线y=yx 满足y0 =0,且y x >0,曲线上任一点Mx,y 处的切线段
为MT,点M到x轴的垂线为PM,如图所示,△PMT的面积与曲边三角形OPM的面积之比恒为常数
1
kk>
2
.求y=yx .
(20)设yx 在[0,+∞)上有二阶连续导数,点Px,y x>0 为凹曲线y=yx 上的任意一点,沿曲
线从点(0,1)到点Px,y 的弧长在数值上等于该曲线在点Px,y 处的切线的斜率,且曲线在点(0,1)
处有水平切线.
(I)求y=yx 的表达式;
(II)求曲线y=yx
5
从点ln2,
4
5
到点ln3,
3
的一段弧长.
·第538页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(21)一架质量为4.5t的歼击机以600km/h的航速开始着陆,在减速伞的作用下滑跑500m后速度减
为100km/h,设减速伞的阻力与飞机的速度成正比,忽略飞机所受的其他外力,求减速伞的阻力系数.
若保障飞机安全着陆,跑道长度至少应为多少?
·第539页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
拓展题
解答题
(1)设环境保持恒定温度20°C,有一物体的温度在10 s内从100°C降到60°C,若物体温度下降的速
度与该物体与环境温度之差成正比,问此物体从100°C降到25°C需要多少时间？
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(2)设ft t≥0 有连续导数,且满足ft
1
= ft- x2+y2
2π x2+y2≤t2
dxdy+t,求ft .
·第541页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(3)设全微分方程为 xyx+y -fx y dx+ x2y+f x dy=0,其中fx 有二阶连续导数,且f0
=0,f 0 =1,求fx 及全微分方程的通解.
·第542页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·7.微分方程及其应用
(4)发现一架飞机在原点O0,0 处沿y轴正向以常速度v飞行,随即从点P 016,0 处发射导弹追击,
且导弹方向始终指向飞机,导弹速度为2v,如图7-2所示.求:
(I)导弹飞行轨迹y=yx 的表达式；
(II)飞机被击中的位置及所需时间T.
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第八章 无穷级数
基础题
一、选择题
∞ ∞
(1)设级数u
n
与v
n
均发散,则( ).
n=1 n=1
∞
A. u n +v n
n=1
∞
必发散 B. u n v n 必发散
n=1
∞
C. u n+v n
n=1
∞
必发散 D. u2 n +v2 n
n=1
必发散
·第544页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(2)下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
v n收敛,则u2
n
与v2
n
都收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u2 n 和v2 n 都收敛,则 u n +v n
n=1 n=1 n=1
2收敛
∞ ∞
C. 若v
n
收敛且u
n
≤v
n
,则u
n
收敛
n=1 n=1
∞
D. 若u n 发散u n ≥0
n=1
1
,则u ≥ n
n
·第545页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(3)下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ ∞
A. 若u
n
与v
n
都收敛,则u
n
v
n
必收敛
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
B. 若u
n
与v
n
都发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞ ∞
C. 若u
n
收敛,v
n
发散,则u
n
v
n
必发散
n=1 n=1 n=1
∞ ∞
D. 若u n 收敛,v nv n >0
n=1 n=1
∞
收敛,则u n v n收敛
n=1
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∞
(4)设u
n
收敛,则下列级数中收敛的是( ).
n=1
∞ ∞
A. u2 n B. u n +u n+1
n=1 n=1
∞
C. -1
n=1
∞
u
n-1 n D. u -u n 2n-1 2n
n=1
·第547页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(5)设u nu n >0
n=1
收敛,则下列结论中正确的是( ).
∞ ∞ u
A. u2 n 收敛 B. u n 收敛 C. lim n+1 <1 D. limnu n <1
n=1 n=1 n→∞ u n n→∞
·第548页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(6)下列结论中正确的是( ).
∞
A. 若u nu n >0
n=1
收敛,则limn2u =0 n
n→∞
∞ ∞
B. 若u n 收敛,则 -1
n=1 n=1
n-1 u n 必条件收敛
∞
C. 若 -1
n=1
n-1 u nu n >0
∞
条件收敛,则u n 发散
n=1
∞
D. 若 u +u 2n-1 2n
n=1
∞
收敛,则u n 必收敛
n=1
·第549页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
n+1- n-1
(7)级数 sinn+k
n
n=1
k为常数 ( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与k有关
·第550页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(8)设幂级数a nx-1
n=1
∞
n在x=-1处条件收敛,则a n ( ).
n=1
A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性
·第551页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞ ∞
a
(9)设级数a n xn在x=2处条件收敛,则 n x-1
n+1
n=0 n=0
n在x=-1处( ).
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定
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二、填空题
(1)设fx
∞
=xn,则Fx
n=0
xfx
=
展开为x的幂级数为_____.
1-x
·第553页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(2)设a nx-1
n=0
n的收敛域为-1,3
∞
,则a n x2n的收敛域为_____.
n=0
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(3)fx
x
= e-t2 dt展开为x的幂级数为_____.
0
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∞
1 1+x 1
(4)设
4
ln
1-x
+
2
arctanx-x=a
4n+1
x4n+1,x<1,则a
4n+1
=_____.
n=1
·第556页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(5)设fx
-1, -π0,p>0
n p n
n=1
;
∞ 1 ∞ 1 1
(III) ; (IV) an -an+1
n
n=1 1+x3 dx n=1
0
a>0 ;
∞
1 1 (V) -ln1+
n n
n=1
∞
1 ; (VI) na- 1+
n
n=1
a>0 .
·第559页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(2)判别下列级数的敛散性,若收敛,则判断是条件收敛还是绝对收敛:
∞
(I)设 -1
n=1
∞
n-1 a n en收敛,判别a n 的敛散性;
n=1
∞
(II) -1
n=1
n-1 1
ln1+n
∞ -1
; (III)
n=1
n
;
n-lnn
∞
(IV) -1
n=1
n-1 n3-1 .
·第560页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(3)求下列级数的收敛域:
∞ -1
(I)
n=1
n xn ∞ x-3
; (II)
2n n
n=1
n
;
n⋅3n
∞
(II) -1
n=1
n nnxn; (IV)
∞ x2n-1
.
3n
n=1
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(4)求下列级数的收敛域:
∞ xn2 ∞ x2n+1
(I) ; (II) ;
2n 3n+n2
n=1 n=1
∞ 1
(III) 1+
n
n=1
-n2 ∞ 1 1
xn; (IV) +
nlnn 2n
n=2
xn.
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(5)求下列幂级数的收敛域及和函数:
∞ xn-1 ∞ n-1
(I) ; (II)
n2n
n=1 n=0
2
xn;
n+1
∞ n2+1 ∞ -1
(III) xn; (IV)
n! n=0 n=0
n n+1
2n+3
x2n.
!
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(6)将下列函数展开为x的幂级数,并确定收敛域:
(I)f 1x
1
=
x2-3x+2
; (II)f 2x =ln1-x-2x2 ;
(III)f 3x =lnx+ 1+x2 ; (IV)f 4x =xarctanx-ln 1+x2,
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(7)将fx
x
= 展开为x-5的幂级数.
x2-5x+6
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(8)将fx
π
=sin x在x=-2处进行幂级数展开.
2
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(9)求下列级数的和:
∞
1
(I)
n=2
n2-1
∞
2n+1
; (II) .
2n n!
n=0
·第567页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(10)(I)证明:yx
x3 x6 x9 x3n
=1+ + + +⋯+
3! 6! 9! 3n
+⋯-∞0, 收敛, 发散,则( ).
nn na
n=1 n=2
1 1
A. a>e B. a=e C. 1 D. p<0
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二、填空题
∞ ∞
(1)设a n xn的收敛半径为3,则na nx+1
n=0 n=0
n+1的收敛区间为_____.
·第582页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞ ∞
a
(2)设a
n
xn的收敛半径为R=1,则 n xn的收敛域为_____.
n!
n=0 n=0
·第583页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
n 1 1 1
(3)lim 1+
n→∞n 3k k
k=1
k2
=_____.
·第584页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
1 2 n
(4)lim + +⋯+
n→∞ a a2 an
a>1 =_____.
·第585页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(5)设 -1
n=1
∞ ∞
n-1 u n =2,u 2n-1 =5,则u n =_____.
n=1 n=1
·第586页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
三、解答题
(1)已知函数y=yx 满足方程y=x+y,且y0
∞
1 =1,讨论级数 y
n
n=1
-1- 1
n
的敛散性.
·第587页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞ xn
(2)求
n=1 n 3n+-2 n
的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性.
·第588页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(3)(I)设k>0,x>0,证明:kx<1+k2x2 arctankx;
∞ -1
(II)判别级数
n=1
n arctankn
k>0
n
是绝对收敛还是条件收敛.
·第589页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
1
(4)设 =a
n
xn.证明:
1-x-x2
n=0
(I)a 0 =1,a 1 =1,a n+2 =a n+1 +a nn=0,1,2,⋯ ;
∞ a
(II) n+1 收敛,并求其和.
a a
n=1 n n+2
·第590页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(5)设u nu n >0
n=1
发散,S =u +u +⋯+u . n 1 2 n
∞
1 1
(I)求 -
S S
n=1 n n+1
的和;
∞
u
(II)证明: n 收敛.
S2
n=1 n
·第591页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(6)设fx 可导,且fx >0, f x ≤afx 01
∞
,证明:当x<1时,a n xn收敛,并求其和
n=0
函数.
·第601页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
x
(16)设曲线y=n n sintdt(n为正整数)在0,nπ
0
上的全长为S . n
(I)求S ;
n
∞ xn
(II)求级数 的收敛域及和函数.
S S
n=1 n n+1
·第602页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(17)设fx
∞ xn
= ,证明:fx
n2
n=1
+f1-x +lnxln1-x
∞ 1
= .
n2
n=1
·第603页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(18)设fx = ∞ a n xn满足 f x n! n=0 -f x -2fx =0, f0 =0,f 0 求fx =1, 及a . n
·第604页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
∞
(19)求形如b n sinnx的级数,使其在0,π
n=1
1
内的和函数为 π-x
2
π
,当x= 时,求此级数的和.
2
·第605页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
拓展题
解答题
1 π
(1)设a n = xn 1-x2dx,b n =2 sinntdtn=1,2,⋯
0 0
∞
,求级数 -1
n=1
a
n-1 n 的和.
b
n
·第606页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(2)设a 0 =1,a 1 =0,n+1 a n+1 =na n +a n-1n=1,2,⋯ ,Sx
∞
=a n xn.求:
n=0
∞
(I)lima
n
,并计算级数a
n
xn的收敛半径;
n→∞
n=0
(II)Sx 满足的一阶微分方程,并求和函数Sx .
·第607页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·8.无穷级数
(3)设fx 满足f x +2f x +fx =0,且f0 =1,f 0
+∞
=0,a n = fx
n
dx.求:
(I)fx 及a ; n
∞
(II)级数a
n
的和.
n=1
·第608页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
第九章 曲线积分与曲面积分
基础题
一、选择题
(1)设L为圆周x2+y2=2x,则I= xds=( ).
L
A. 2π B. π C. 1 D. 0
·第609页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(2)设S为球面x-a 2 +y-b 2 +z-c 2 =1a,b,c均大于零 ,则I= x+y+z
S
dS=( ).
A. 4π B. 4πa+b+c
4
C. 0 D. πa+b+c
3
·第610页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(3)设S:x2+y2+z2=R2 z≥0 ,S 为S在第一卦限的部分,则( ). 1
A. xdS=4 xdS B. ydS=4 ydS C. zdS=4 zdS D. xyzdS=4 xyzdS
S S1 S S1 S S1 S S1
·第611页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(4)设D= x,y ∣x-1 2 +y-1 2 ≤2 x+y ,L为D的边界曲线,取顺时针方向,I = xdx+ 1
L
2
dy, 8
x-y
I = xdx+
2
L
2
x+y
dy,I =
8 3
L
2
dx+ydy,则( ).
8
A. I >I >I B. I >I >I C. I >I >I D. I >I >I
1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 1 3
·第612页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
二、填空题
(1)设S为平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分,则I= zdS=_____.
S
·第613页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(2)设L为x2+y2=R2 y≥0
R R
上由点A- ,
2 2
到点BR,0 的一段弧,则 yds=_____,
L
ydx=_____.
L
·第614页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(3)设L为球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线,则I= z+x2
L
ds=_____.
·第615页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
9
(4)设曲线L为x2+y2+z2= 与x+z=1的交线,则I= x2+y2+z2
2
L
ds=_____.
·第616页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(5)设曲面S:x+y+z=1,则I= x+y+z
S
dS=_____.
·第617页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(6)设L为点(1,-1,2)到点(2,1,3)的直线段,则I= x2+y2+z2
L
ds=_____.
·第618页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(7)设曲线L为上半圆周y= 1-x2,则 x-y
L
2 e x2+y2 ds=_____.
·第619页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
三、解答题
(1)设L为由r=aa>0
π
,θ=0和θ= 所围凸平面区域的边界,r,θ
4
为极坐标,计算I=
e
x2+y2
ds
L
·第620页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
1
(2)设L为x-
2
2 1
+y2= y≥0
4
上从点O0,0 到点A1,0 的一段弧,计算I=
3+2- 2
L
y+exsiny dx+ 2x+excosy dy.
·第621页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
xdy-ydx
(3)计算积分I= ,其中
L
x2+y2
(I)L为x+2 2 +y-2 2 =1,取逆时针方向；
(II)L为x2+y2=1,取逆时针方向;
x2 y2
(III)L为 + =1,取逆时针方向.
a2 b2
·第622页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(4)设L:x2+y2=R2 R>1
xdy-ydx
,取逆时针方向,计算I= .
L
4x2+9y2
·第623页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(5)设曲线L:x2+y2=R2 R>0 ,取逆时针方向,问R为何值时,积分IR = y3dx+(3x- x3
L
dy取
得最大值,并求最大值.
·第624页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(6)设平面力场为F=2xy3-y2cosx
i+1-2ysinx+3x2y2
j,求质心在F作用下,沿L:2x=πy2从点
O0,0
π
到点A ,1
2
所做的功W.
·第625页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
xdy-ydx
(7)计算I= ,其中L是从点A1,1
L
x2+y2
沿直线到点B-1,0 ,再沿曲线y=x2-1到点
C1,0 .
·第626页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(8)设Px,y
x x2+y2
=
k
,Qx,y
y
x2 x2+y2
=-
k
,D= x,y
y2
∣y>0 .
(I)若积分I= Pdx+Qdy在D内与路径无关,求k的值;
L
(II)在D内求函数ux,y
2,2
,使得du=Pdx+Qdy,并计算I=
1,1
Pdx+Qdy.
·第627页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(9)设曲线L为z=4-x2-y2与z=3的交线,从z轴正向看是逆时针方向,计算
I= x2y3dx+zdy+ydz.
L
·第628页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(10)设曲线L为锥面z= x2+y2与圆柱面x2+y2=2x的交线,从z轴正向往负向看去,L为逆时针
方向,计算I= y2+z2
L
dx+z2-x2 dy+x2+y2 dz.
·第629页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(11)设曲面S为上半圆锥z= x2+y2被圆柱面x2+y2=2axa>0 所截出的有限部分,计算I=
x2y+yz2+z2x
S
dS.
·第630页，共675页·公众号：做题本集结地 880·数一高数·9.曲线积分与曲面积分
(12)设S为z=x2+y2介于z=0与z=1之间部分的下侧,计算I= x2dydz+zdxdy.
S
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(13)设S为曲面4-y=x2+z2上y≥0的部分,取外侧,计算I= yzdydz+x2+z2
S
ydzdx+xydxdy.
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(14)设曲面为z= x2+y2介于z=1与z=2之间的部分,取上侧,计算I= xz2dydz+y2dzdx+
S
zxdxdy.
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xdydz+z2dxdy
(15)设S是x2+y2=1,z=-1,z=1所围成的圆柱体的全表面,计算I=
S
外
x2+y2+z2
S 表示外侧
外
.
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dV
(16)一个体积为V,表面积为S(不含底面)的雪堆,融化速度为 =-aS,其中a>0为常数,设在融
dt
x2+y2
化期间雪堆的形状保持为z=h- z>0 h ,其中h=ht ,问一个高度为h h >0 0 0 的雪堆全部
融化需要多长时间?
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综合题
一、选择题
(1)设曲线L为x2+y2=1,取逆时针方向,fx,y >0,fx,-y =fx,y .L ,L ,L 如图所示,记I = 1 2 3 1
fx,y
L1
dx,I 2 = fx,y
L2
ds,I 3 = fx,y
L3
dx,则( ).
A. I >I >I B. I >I >I
1 2 3 2 3 1
C. I >I >I D. I >I >I
3 2 1 2 1 3
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ax dy-by dx
(2)设L为闭曲线x+y=1,取逆时针方向,则I= =( ).
L x+y
A. 8a+b B. 2a+b C. 8a-b D. 2a-b
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(3)设L为平面光滑简单闭曲线,取逆时针方向,L所围区域的面积为S,则( ).
1
A. S= ydy-xdx B. S= xdy-ydx
2
L L
1
C. S= xdy-ydx D. S= ydy-xdx
2
L L
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(4)设∑为曲面z= x2+y2的下侧,P=Px,y,z ,Q=Qx,y,z 均为连续函数,则 Pdydz-Qdzdx
∑
=( ).
x y
A. - P+ Q
z z
∑
x y
dxdy B. - P- Q
z z
∑
dxdy
x y
C. P- Q
z z
∑
x y
dxdy D. P+ Q
z z
∑
dxdy
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二、填空题
ex2 -x2y xy2-e y2
(1)设L:x2+y2=R2,取顺时针方向,则I= dx+ dy=_____.
L
x2+y2 x2+y2
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(2)设积分I= Fx,y
L
ydx+xdy 与路径无关,且Fx,y =0确定的隐函数的图形过点(1,2)且与坐
标轴无交点,其中Fx,y 可微,则Fx,y =0确定的隐函数为_____.
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(3)设曲面S:x2+y2+z2=2x,其密度为ρ=x2+y2+z2,则曲面S的质量m=_____.
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(4)设光滑有向曲面S的边界曲线为光滑有向闭曲线L,方向符合右手法则,则I= gradsin(x+y+
L
z)ds=_____.
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(5)向量场Ax,y,z =x+y+z i+xyj+zk在点P1,1,1 处的旋度rotA=_____,divA=_____.
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(6)设γ=xi+yj+zk,n为球面S:x2+y2+z2=1的外单位法向量,则 γ⋅ndS=_____.
S
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三、解答题
(1)设fx 有二阶连续导数,f0 =0,f 0 =1,曲线积分I= xe2x-6fx
L
sinydx-
5fx -f x cosydy与路径无关,求fx 的表达式.
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(2)设D:x2+y2≤1,x≥0,y≥0,L为D的正向边界,证明: xe y2 dy-ye-x2 dx≥ π .
2
L
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(3)设fx,y
x2 x2
在 +y2≤1上有二阶偏导数,L为 +y2=1,取顺时针方向,计算
4 4
I= -3y+f x ′ x,y
L
dx+f y ′ x,y dy.
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(4)设L为y=πcosx从Aπ,-π 到B-π,-π
x+y
的曲线,计算I=
L
dx-x-y dy
.
x2+y2
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-ydx+xdy
(5)设平面曲线L为lnx+lny=1,取逆时针方向,计算I= .
L lnx+lny
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(6)设fx 有连续导数,L为从点A2,2π 沿x-1 2 +y-π 2 =1+π2的上半圆周到点O(0,0)的一
段弧,计算I= f x
L
sinydx+ fx cosy-πx dy.
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(7)设fy 有连续导数,f0
=0,曲线OA的极坐标方程为r=a1-cosθ ,a>0,0≤θ≤π,O(0,0)
与A分别对应于θ=0与θ=π,计算I= fy
OA
ex-πy dx+ f y ex-π dy.
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(8)设fx 在-∞,+∞
2
内有连续导数,L为从点A3,
3
到点B1,2 的直线段,计算
1+y2fxy
I=
L
x
dx+ y2fxy
y y2
-1 dy.
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(9)设fx ,gx 在0,+∞ 内有连续导数,且Vx,y =yfxy dx+xgxy dy.
(I)若存在函数ux,y ,使得du=V,求fxy -gxy ;
(II)若fx =φ x ,求函数ux,y ,使du=V.
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(10)设曲线L为微分方程y=fx,y fx,y ≠0 确定的一条简单闭曲线,且L所围平面区域D的面
积为A,计算I= xfx,y
L
y
dx-
fx,y
dy.(L为D的正向边界)
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(11)设在D= x,y ∣y>0 内,fx,y 有一阶连续偏导数,fx,y ≠0,且对任意t>0,有ftx,ty =
t2fx,y
y
,证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
L fx,y
x
dx-
fx,y
dy=0.
(12)设曲面∑:z=x2+y2 z≤1 与平面z=1所围均匀立体为V,M为∑上一动点,当曲面∑在点M处
的切平面与V的质心距离最近时,点M的轨迹方程记为L.
(I)求V的质心坐标;
(II)求曲线L,并计算I= xdy-ydx+zdz,从Oz轴的正向往负向看去,L取逆时针方向.
L
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(13)设曲面S为由圆柱面x2+y2=R2、平面z=0和z-x=RR>0 所围立体的表面,计算
I= zdS
S
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(14)设球面为x2+y2+z2=R2,柱面为x2+y2=RxR>0 ,球面在柱体内的面积为S ,柱面在球体 1
S
内的面积为S ,求 1 .
2 S
2
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(15)设薄片型物体S为圆锥面z= x2+y2被柱面z2=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为
μx,y,z =9 x2+y2+z2,记圆锥面与柱面的交线为C.求:
(I)C在xOy面上的投影曲线方程;
(II)S的质量.
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(16)在半径为a的球表面上取一点,以该点为球心作半径为R的球,问R为何值时,该球位于定球内
的表面积最大?
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(17)设立体Ω由曲面∑:x2+y2=-2xz-1 0≤z≤1 与平面z=0围成.Ω的密度ρ=1.
(I)求Ω的形心坐标x;
2x2
(II)计算I=
∑ 4x4+x2+y2
dS.
2
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(18)设fu 有连续导数,S为z= x2+y2与两个半球面z= 1-x2-y2,z= 4-x2-y2所围立体的
1 x+4 全表面的外侧,计算I= f
y+3 y+3
S
+3xy2
1 x+4 dydz+ f
x+4 y+3
+3x2y
dzdx+z3dxdy.
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(19)已知点A0,0,0 与B0,1,1
,∑是由直线段AB绕z轴旋转一周所得的旋转曲面(介于z=1与z
=2之间部分的内侧),fx 可导.
(I)求曲面∑的方程;
x (II)计算I- xf
y ∑
+x
x dydz+ yf
y
+y
x dzdx+ zf
y
+4z
dxdy.
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x=0,
(20)设∑是直线
绕直线L:x=y=z旋转一周所得的曲面,L
1
为∑与平面x+y+z=1的交线,
y=0
L 1 的正向与n=1,1,1 满足右手法则.
(I)求曲面∑的方程;
(II)计算I= zdx+xdy+ydz.
L1
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(21)设曲面S:x2+y2+z2=R2,z≥0,n=cosα,cosβ,cosγ 是S向外的单位法向量,计算I=
zn-yn
S
cosα+xn-zn cosβ+yn-xn cosγ dSn≥1 .
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(22)设曲面S:z= R2-x2-y2 R>0
Rxdydz+R+z
,取下侧,计算I=
S
2
dxdy
.
x2+y2+z2
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xdydz+ydzdx+zdxdy
(23)设S为椭球面x2+2y2+3z2=1外侧,计算I=
S x2+y2+z2
.
3 2
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(24)设Ω= x,y,z ∣x2+y2+z2≤2ty,t>0 ,Ω的边界曲面记为∑,取外侧,fu 在Ω上可导,且f0
=1,It = xfz
∑
dydz+zfx dzdx+xfy
It
dxdy.计算lim
t→0+
.
t3
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(25)在球面z= 1-x2-y2,x≥0,y≥0上,取以M 11,0,0 ,M 20,1,0
2 2
,M ,0, 3 2 2 为顶点的球
xdydz+zdxdy
面三角形∑,∑的法向量的方向余弦cosγ>0,计算I= .
∑
x2+y2+z2
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x2+y2
(26)设曲面S为球面x2+y2+z2=4z与锥面z= 所围,且位于锥面上方部分的立体表面,
3
流速场为Ax,y,z
1 1 1
= x3+x2y+x2z, y3+y2z, z3
3 3 3
,求Ax,y,z 从曲面S内部流向外部的流量Φ.
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(27)设∑:x2+y2+z2=2y,计算I= x2+2y2+3z2
∑
dS.
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(28)设fr r>0 有二阶连续导数,u=f x2+y2+z2 满足divgradu = x2+y2+z2,求函数u的
表达式.
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拓展题
解答题
(1)设fx,y 在D= x,y ∣x2+y2≤1 上有二阶连续偏导数,且
∂2f
+
∂2f
=e -x2+y2 ∂x2 ∂y2 ,计算I=
∂f ∂f
x +y
∂x ∂y
D
dxdy.
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(2)设fx,y 在x2+y2≤1上有一阶连续偏导数,且在边界上取值为零,证明:
-1 xf x ′ x,y
lim
t→0+ 2π D
+yf y ′ x,y
dxdy=f0,0
x2+y2
,其中D:t2≤x2+y2≤1,t>0.
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(3)设∑为光滑闭曲面,取外侧I= x3-x
∑
dydz+y3-y dzdx+z3-z dxdy.
(I)确定曲面∑使得I最小,并求I的最小值；
(II)若满足(I)的曲面∑被锥面z= x2+y2所截且位于锥面上方的部分为,求曲面的面积.
1 1
·第675页，共675页·
