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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）
第 I 卷 选择题（共 40 分）
一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1， 集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
2，在等比数列 中， ，公比 .若 ，则
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合
体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图
所示，则该几何体的俯视图为
正（主）视 侧（左）视
图 图
（ A （ B
）
）
（ C （ D
） ）
4，8名学
生和 2 位
老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为
（A） （B） （C） （D）
5，极坐标方程 表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
6， 为非零向量，“ ”是“函数 为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7，设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数 的图象上存在区域
D上的点，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）8，如图，正方体 的棱长为
2，动点E，F在棱 上，动点P，Q分别在
B
A
棱 上 ， 若 1 1
（ 大 于
D Q C
P
零），则四面体 的体积
（A） 与 都有关 B
A
（B） 与 有关，与 无关
（C）与 有关，与 无关
（D） 与 有关，与 无关
第 II 卷 （共 110 分）
二、 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
9，在复平面内，复数 对应的点的坐标为______
10 ， 在 中 ， 若 ， 则
11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可
知 .若要从身高在
三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活
动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为
________.
12，如图， 的弦 的延长线交于点A，若
，则
13，已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆
的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐
近线方程为_______.
14，如图放置的边长为 1的正方形 沿x轴滚动，设
顶点 的轨迹方程是 ，则函数 的最小
正周期为_____； 在其两个相邻零点间的图象与 x
轴所围区域的面积为_______.
说明：“正方形 沿x轴滚动”包括沿 轴正方向和
沿 轴负方向滚动.沿 轴正方向滚动指的是先以顶点A为
中心顺时针旋转，当顶点 落在 轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 沿x轴负方向滚动.
三、 解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明
过程。
15，（本小题共13分）
已知函数
（I） 求 的值；
（II） 求 的最大值和最小值.
16，（本小题共14分）
如图，正方形 和四边形 所在的平面互相垂直， ， ∥ ，
(1) 求证： ∥平面 ；
(2) 求证： 平面 ；
(3) 求二面角 的大小.17，（本小题共13分）
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为 ，第二、第
三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，
记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
0 1 2 3
P a b
(1) 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2) 求 的值；
(3) 求数学期望 .
18，（本小题共13分）
已知函数 .
(1) 当 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 求 的单调区间.19，（本小题共14分）
在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动点，且直线
与 的斜率之积等于 .
(1) 求动点P的轨迹方程；
(2) 设直线 和 分别与直线 交于点 ，问：是否存在点 使得 与
的面积相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20，（本小题共13分）
已知集合 .对于，定义 与 的差
为：
Aa,a ,...,a ,Bb,b ,...,b S
1 2 n 1 2 n n
A与B之间的距离为 .
(1) 证明： ，有 ，且 ；
(2) 证明： ， 三个数中至少有一个是偶数；
设 ， 中有 个元素，记 中所有两元素间距离的平均值为 .证明：参考答案
一， 选择题
B C． C． A．C．B．A．D．
二、填空题
9，（-1，1）.
2 7
10 ， 1。
11 ， 1 0.030， 3
12，5，
13， ，
14， 4，
三、解答题
15（I）
（2）
因为 所以当 时， 取最大值6；当 时，取最小值
。
16
证明：（I）设 AC 与 BD 交于点 G，因为 EF∥AG，且
EF=1，AG= AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以
AF∥EG。因为EG P平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥
平面BDE。
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以
C 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz。则 C（0， 0，
0），A（ ， ，0），D（ ，0， 0），E（0，0， 1），F（ ， ，1）。所以 =（ ， ，1）， =（0，－ ，１），
＝（－ ，0，１）。所以 · = 0-1+1=0， · =－１＋０＋１＝０。所以
CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知， =（ ， ，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的
法向量 =（x,y,z）,则 · =0， · =0。
即
所以x=0，且z= y。令y=1，则z= 。所以n=（ ），从而cos（ ， ）=
因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为 。
17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ ”是对立的，所以该
生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
（II）由题意可知，
整理得pq= 。
（III）由题意知，18解：（I）当 时，
由于 所以曲线 处的切线方程为
。即
（II） 当 时，
因此在区间 上， ；在区间 上， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，得 ;
因此，在区间 和 上， ；在区间 上， ；
即函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， . 的递增区间为
；
当 时，由
，得
因此，在区间 和 上， ，在区间 上， ；
即函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为 ，则 ，由题意得 ，
化简得： 。即P点轨迹为：
（2）因 ，可得 ，
又 ，
若 ，则有 ， 即
设 P 点坐标为 ，则有： 解得： ，又因 ，解得
。
故存在点P使得 与 的面积相等，此时P点坐标为 或
20,解：（1）设
因 ，故 ，
即
又
当 时，有 ；
当 时，有
故
（2）设
记
记 ，由第一问可知：即 中1的个数为k， 中1的个数为l，
设t是使 成立的i的个数，则有 ，
三个数中至少有一个是偶数。
由此可知， 不可能全为奇数，即
（3）显然P中会产生 个距离，也就是说 ，其中
表示P中每两个元素距离的总和。
分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了 个1， 那么自然有 个
0，因此在这个位置上所产生的距离总和为 ，
那么n个位置的总和
即
