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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若集合A={x|－2<x<1}，B={x|x<－1或x>3}，则AᴨB=
（A）{x|－2<x<－1} （B）{x|－2<x<3}
（C）{x|－1<x<1} （D）{x|1<x<3}
（2）若复数（1－i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）(–∞，1) （B）(–∞，－1)
（C）(1，+∞) （D）(–1，+∞)
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
3 8
5
2 5
（A）2 （B） （C） （D）
3
（4）若 x，y 满 足 x≤3，
x + y≥2，则x + 2y的最大值为y≤x，
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
x
（5）已知函数 f(x)3x
1
，则 f(x)
3
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
（6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“
mn＜0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度
为
（A）3
2
（B）2
3
（C）2
2
（D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的
M
原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是
N
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若双曲线 y2 的离心率为 ，则实数m=_______________.
x2 1 3
m
a
（ 10 ） 若 等 差 数 列 a 和 等 比 数 列 b 满 足 a 1 =b 1 =–1 ， a 4 =b 4 =8 ， 则 2
n n b
2=__________.
（11）在极坐标系中，点A在圆 上，点P的坐标为(1,0)，
2 2cos4sin40
则|AP|的最小值为 .
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。
1
若sin ，则cos()= .
3
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，
b，c的值依次为______________________________.
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 A的横、纵
i
坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B的横、纵坐标分别为第i名工
i
人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。
①记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q ，Q ，Q 中最大的是_________。
i 1 2 3
②记 p 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p ，p ，p 中最大的是
i 1 2 3
_________。
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
3
在△ABC中，A =60°，c= a.
7
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB
上，PD//平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
6
(I)求证：M为PB的中点；
(II)求二面角B-PD-A的大小；
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组
不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“* ”表
示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人
数，求 的分布列和数学期望E（ ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大
小.（只需写出结论）
（18）（本小题14分）
已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,1 )作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，
2
过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数f(x)=excosx−x.
（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
2（20）（本小题13分）
设{a }和{b }是两个等差数列，记
n n
c =max{b –a n,b –a n,…,b –a n}(n=1,2,3,…)，
n 1 1 2 2 n n
其中max{x ,x ,…,x}表示x ,x ,…,x 这s个数中最大的数．
1 2 s 1 2 s
（Ⅰ）若a =n，b =2n–1，求c ,c ,c 的值，并证明{c }是等差数列；
n n 1 2 3 n
c
n M
（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， n ；或者存在正整数
m，使得c ,c ,c ,…是等差数列．
m m+1 m+22017 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）答案
一、
（1）A （2）B （3）C （4）D
（5）A （6）A （7）B （8）D
二、
（9）2 （10）1
（11）1 （12）
（13） （答案不唯一） （14）Q p
1 2
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为 ， ，
所以由正弦定理得 .
（Ⅱ）因为 ，所以 .
由余弦定理 得 ，
解得 或 （舍）.
所以△ABC的面积 .
（16）（共14分）解：（I）设 交点为 ，连接 .
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
因为 是正方形，所以 为 的中点，所以 为 的中点.
（II）取 的中点 ，连接 ， .
因为 ，所以 .
又因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 是正方形，所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 .
令 ，则 ， .于是 .
平面 的法向量为 ，所以 .
由题知二面角 为锐角，所以它的大小为 .（III）由题意知 ， ， .
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标 的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于60的概率为 .
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标 的值大于1.7的有2人：A和C.
所以 的所有可能取值为0,1,2.
.
所以 的分布列为
0 1 2
故 的期望 .
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得 .
所以抛物线C的方程为 .
抛物线C的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 .
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ，.
由 ，得 .
则 ， .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为 ，点A的坐标为 .
直线ON的方程为 ，点B的坐标为 .
因为
，
所以 .
故A为线段BM的中点.
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（ Ⅱ ） 设 ， 则.
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）
，
.
当 时， ，
所以 关于 单调递减.
所以 .
所以对任意 ，于是 ，
所以 是等差数列.
（Ⅱ）设数列 和 的公差分别为 ，则.
所以
①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 .
此时， 是等差数列.
②当 时，对任意 ，
此时， 是等差数列.
③当 时，
当 时，有 .
所以
对任意正数 ，取正整数 ，
故当 时， .
