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2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5 分）设集合 U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则
U
（M∩N）=（ ）
∁
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
2．（5分）函数y= （x≥0）的反函数为（ ）
A．y= （x R） B．y= （x≥0） C．y=4x2（x R） D．y=4x2（x≥0）
∈ ∈
3．（5分）设向量 、 满足| |=| |=1， • =﹣ ，| +2 |=（ ）
A．. B． C．、 D．.
4．（5 分）若变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最小值为（
）
A．17 B．14 C．5 D．3
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
6．（5分）设S 为等差数列{a }的前n项和，若a =1，公差d=2，S ﹣S =24，
n n 1 k+2 k
则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移 个单
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．（5 分）已知直二面角 α﹣l﹣β，点 A α，AC⊥l，C 为垂足，点 B β，
BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则 ∈CD=（ ）
∈
A．2 B． C． D．1
9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙 3门课程中选修 1门，则恰有2人选修
课程甲的不同选法共有（ ）A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．（5分）设f（x）是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣
x），则 =（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．（5分）设两圆C 、C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心
1 2
的距离|C C |=（ ）
1 2
A．4 B． C．8 D．
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面
β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为： ．
14．（5分）已知a （π， ），tanα=2，则cosα= ．
∈
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A B C D 中，E为C D 的中点，则异面直线 AE
1 1 1 1 1 1
与BC所成的角的余弦值为 ．
16．（5分）已知F 、F 分别为双曲线C： 的左、右焦点，点A C，
1 2
∈
点M的坐标为（2，0），AM为∠F AF 的平分线，则|AF |= ．
1 2 2
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设等比数列{a }的前n项和为S ，已知a =6，6a +a =30，求a 和
n n 2 1 3 n
S ．
n18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c．已知asinA+csinC
﹣ asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边
三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
∈
（Ⅱ）若f（x）在x=x 处取得极小值，x （1，3），求a的取值范围．
0 0
∈
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在y轴正半轴上的焦
点，过F且斜率为﹣ 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 ．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
