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2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x||x|≤2，x R}，B={x| ≤4，x Z}，则 A∩B=（
）
∈ ∈
A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）平面向量 ，已知 =（4，3）， =（3，18），则 夹
角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知复数Z= ，则|z|=（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2
5．（5 分）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，
2），则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （
0
，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大
致为（ ）A． B．
C． D．
7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
8．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=
（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或
x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
10．（5分）若cos α=﹣ ，α是第三象限的角，则sin（α+ ）=（ ）A． B． C． D．
11．（5分）已知 ▱ABCD的三个顶点为 A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣
2），点（x，y）在 ▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（ ）
A．（﹣14，16） B．（﹣14，20） C．（﹣12，18） D．（﹣12，20）
12．（5 分）已知函数 ，若 a，b，c 互不相等，且 f
（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为 ．
14．（5分）设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，
且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，
x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的
均匀随机数x ，x ，…，x 和y ，y ，…，y ，由此得到N个点（x，y）（i﹣
1 2 n 1 2 n
1，2…，N）．再数出其中满足y ≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N ，那么由
1 1
随机模拟方法可得S的近似值为 ．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几
何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③
三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°．
若AC= AB，则BD= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设等差数列{a }满足a =5，a =﹣9．
n 3 10
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）求{a }的前n项和S 及使得S 最大的序号n的值．
n n n18．（10 分）如图，已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，
AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB= ，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样
方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
性别 男 女
是否需要志愿者
需要 40 30
不需要 160 270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有
关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需
要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828附：K2= ．
20．（10分）设F ，F 分别是椭圆E：x2+ =1（0＜b＜1）的左、右焦点，过
1 2
F 的直线l与E相交于A、B两点，且|AF |，|AB|，|BF |成等差数列．
1 2 2
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
21．设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）若a= ，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
22．（10分）如图：已知圆上的弧 ，过C点的圆的切线与BA的延长线交
于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C （t为参数），C （θ为参数），
1 2
（Ⅰ）当α= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
（Ⅱ）过坐标原点O做C 的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P
1
点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．
