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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合 A={x|x=3n+2，n N}，B={6，8，10，12，14}，则集合
A∩B中元素的个数为（ ）
∈
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量 =（﹣4，﹣3），则向量
=（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（ ）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个
数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成
一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意
思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆
底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（ ）A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）已知{a }是公差为1的等差数列，S 为{a }的前n项和，若S =4S ，
n n n 8 4
则a =（ ）
10
A． B． C．10 D．12
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递
减区间为（ ）
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k z
∈ ∈
C．（k﹣ ，k+ ），k z D．（ ，2k+ ），k z
∈ ∈
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=
（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知函数f（x）= ，且f（a）=﹣3，则f（6﹣
a）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，
该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为
16+20π，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣
2）+f（﹣4）=1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
二、本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）在数列{a }中，a =2，a =2a ，S 为{a }的前n项和，若S =126，
n 1 n+1 n n n n
则n= ．
14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点
（2，7），则a= ．
15．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最大值为 ．
16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C的左支上一点，A
（0，6 ）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，
sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a= ，求△ABC的面积．
18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面
ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧
面积．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，
对近8年的年宣传费x 和年销售量y（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，
i i
得到下面的散点图及一些统计量的值．
（x﹣ ）2 （w﹣ ）2 （x﹣ ）（y﹣ （w﹣ ）（y﹣
i i i i i i） ）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中w= ， =
i i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年
宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果
回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u v ），（u v ）…..（u v ），其回归线v=α+βu的斜率和
1 1 2 2 n n
截距的最小二乘估计分别为： = ， = ﹣ ．
20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣
3）2=1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 • =12，其中O为坐标原点，求|MN|．
21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln ．
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线C ：x=﹣2，圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以
1 2
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C ，C 的极坐标方程；
1 2
（Ⅱ）若直线C 的极坐标方程为θ= （ρ R），设C 与C 的交点为M，N，求
3 2 3
∈
△C MN的面积．
2六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合 A={x|x=3n+2，n N}，B={6，8，10，12，14}，则集合
A∩B中元素的个数为（ ）
∈
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A={x|x=3n+2，n N}={2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B={8，14}，
∈
故集合A∩B中元素的个数为2个，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量 =（﹣4，﹣3），则向量
=（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】顺序求出有向线段 ，然后由 = 求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到 =（3，1），向量 =
（﹣4，﹣3），则向量 = =（﹣7，﹣4）；
故选：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意
有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（ ）
A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z﹣1，
进一步求得z．
【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1= ，
∴z=2﹣i．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个
数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成
一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，
2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，
4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基
本事件，属于基础题．
5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后
求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．
【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点（c，0）与抛
物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，
可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为： ，
抛物线的准线方程为：x=﹣2，
由 ，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
|AB|=6．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问
题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆
底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则 r=8，
解得r= ，
故米堆的体积为 × ×π×（ ）2×5≈ ，
∵1斛米的体积约为1.62立方，
∴ ÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5分）已知{a }是公差为1的等差数列，S 为{a }的前n项和，若S =4S ，
n n n 8 4
则a =（ ）
10
A． B． C．10 D．12【考点】83：等差数列的性质．
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【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵{a }是公差为1的等差数列，S =4S ，
n 8 4
∴8a + ×1=4×（4a + ），
1 1
解得a = ．
1
则a = +9×1= ．
10
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递
减区间为（ ）
A．（kπ﹣ ，kπ+ ），k z B．（2kπ﹣ ，2kπ+ ），k z
∈ ∈
C．（k﹣ ，k+ ），k z D．（ ，2k+ ），k z
∈ ∈
【考点】HA：余弦函数的单调性．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（ ﹣ ）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得 +ϕ= ，k z，即 ϕ= ，f（x）
∈
=cos（πx+ ）．
由2kπ≤πx+ ≤2kπ+π，求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ，故f（x）的单调递减区间为
（ ，2k+ ），k z，
故选：D． ∈
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求
出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=
（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出
变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得
答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S= ，m= ，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S= ，m= ，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S= ，m= ，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常
采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）已知函数f（x）= ，且f（a）=﹣3，则f（6﹣
a）=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】3T：函数的值．
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【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6﹣a）．
【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；
a＞1时，﹣log （a+1）=﹣3，∴α=7，
2
∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，
该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为
16+20π，则r=（ ）A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为： ×4πr2+ ×πr2 2r×2πr+2r×2r+ ×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法
的积累，属于中档题．
12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣
2）+f（﹣4）=1，则a=（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
菁优网版权所有【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用．
【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的
反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．
【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，
y=log x﹣a（x＞0），
2
即g（x）=log x﹣a，（x＞0）．
2
∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，
∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log （﹣x）+a，x＜0，
2
∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，
∴﹣log 2+a﹣log 4+a=1，
2 2
解得，a=2，
故选：C．
【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的
方法等相关知识和方法，属于基础题
二、本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）在数列{a }中，a =2，a =2a ，S 为{a }的前n项和，若S =126，
n 1 n+1 n n n n
则n= 6 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由a =2a ，结合等比数列的定义可知数列{a }是a =2为首项，以2为
n+1 n n 1
公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：∵a =2a ，
n+1 n
∴ ，
∵a =2，
1
∴数列{a }是a =2为首项，以2为公比的等比数列，
n 1∴S = = =2n+1﹣2=126，
n
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的
关键是熟练掌握基本公式．
14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点
（2，7），则a= 1 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而
f（1）=a+2，
切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），
所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
15．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最大值为 4 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，
由图可知，当直线y=﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，
此时z有最大值为3×1+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C的左支上一点，A
（0，6 ）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 1 2 ．
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出
△APF周长最小时，该三角形的面积．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|
AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为 与x2﹣ =1联立可得y2+6 y﹣96=0，∴P的纵坐标为2 ，
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为 ﹣ =12 ．
故答案为：12 ．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关
键．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，
sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a= ，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可
得出．
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得： ＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB= = = ．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a= ，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c= ．∴S = =1．
△ABC
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面
ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧
面积．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
⊂
解：（Ⅱ）设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC=120°，得 AG=GC= x，GB=GD= ，
∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，
∴EG= AC=AG= x，
则BE= = x，
∵三棱锥E﹣ACD的体积V= = = ，
解得x=2，即AB=2，
∵∠ABC=120°，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2× =12，
即AC= ，
在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，
则AE2+EC2=AC2=12，
即2AE2=12，
∴AE2=6，
则AE= ，
∴从而得AE=EC=ED= ，
∴△EAC的面积S= =3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，
则AE= ，AF= = ，
则EF= ，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S= = ，
故该三棱锥的侧面积为3+2 ．【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌
握相应的判定定理以及体积公式．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，
对近8年的年宣传费x 和年销售量y（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，
i i
得到下面的散点图及一些统计量的值．
（x﹣ （w﹣ （x﹣ （w﹣
i i i i
）2 ）2 ）（y﹣ ）（y﹣
i i
） ）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中w= ， =
i i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年
宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果
回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u v ），（u v ）…..（u v ），其回归线v=α+βu的斜率和
1 1 2 2 n n
截距的最小二乘估计分别为： = ， = ﹣ ．
【考点】BK：线性回归方程．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w= ，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，
问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量y关于年宣
传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w= ，先建立y关于w的线性回归方程，由于 = =68，
= ﹣ =563﹣68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为 =100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为 =100.6+68 ，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 =100.6+68
=576.6，
年利润z的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值 =0.2（100.6+68 ）﹣x=﹣
x+13.6 +20.12，当 = =6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的
关键，属于中档题．
20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣
3）2=1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 • =12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．
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【专题】26：开放型；5B：直线与圆．
【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，
根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交
的弦长公式进行求解．
【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ＜1，
故当 ＜k＜ ，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1
相交于M，N两点．
（2）设M（x ，y ）；N（x ，y ），
1 1 2 2
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）
2+（y﹣3）2=1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，
∴x +x = ，x •x = ，
1 2 1 2
∴y •y =（kx +1）（kx +1）=k2x x +k（x +x ）+1
1 2 1 2 1 2 1 2= •k2+k• +1= ，
由 • =x •x +y •y = =12，解得 k=1，
1 2 1 2
故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|=2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长
公式的计算，考查学生的计算能力．
21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln ．
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研
究函数的最值．
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【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在
定理，即可求出；
（Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x ，根据函数f（x）的单
0
调性得到函数的最小值f（x ），只要最小值大于2a+aln ，问题得以证明．
0
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2e2x﹣ ．
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点，
当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣ 单调递增，
∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，又f′（a）＞0，
假设存在b满足0＜b＜ln 时，且b＜ ，f′（b）＜0，
故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x ，
0
当x （0，x ）时，f′（x）＜0，
0
当x （x +∞）时，f′（x）＞0，
∈ 0
故f（x）在（0，x ）单调递减，在（x +∞）单调递增，
∈ 0 0
所欲当x=x 时，f（x）取得最小值，最小值为f（x ），
0 0
由于 ﹣ =0，
所以f（x ）= +2ax +aln ≥2a+aln ．
0 0
故当a＞0时，f（x）≥2a+aln ．
【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点
存在定理，属于中档题．
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．
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【专题】5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE
是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2= ，解方程可得x
值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2 ，BE= ，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2= ，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线C ：x=﹣2，圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以
1 2
坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C ，C 的极坐标方程；
1 2
（Ⅱ）若直线C 的极坐标方程为θ= （ρ R），设C 与C 的交点为M，N，求
3 2 3
∈△C MN的面积．
2
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C ，C 的极坐标方程．
1 2
（Ⅱ）把直线 C 的极坐标方程代入 ρ2﹣3 ρ+4=0，求得ρ 和ρ 的值，结合圆
3 1 2
的半径可得C M⊥C N，从而求得△C MN的面积 •C M•C N的值．
2 2 2 2 2
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C ：x=﹣2 的
1
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
2
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C 的极坐标方程θ= （ρ R）代入
3
∈
圆C ：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
2
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ =2 ，ρ = ，
1 2
∴|MN|=|ρ ﹣ρ |= ，由于圆C 的半径为1，∴C M⊥C N，
1 2 2 2 2
△C MN的面积为 •C M•C N= •1•1= ．
2 2 2
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不
等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简
函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，
从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x
轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即 ①，或 ②，
或 ③．
解①求得x ，解②求得 ＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
∈∅
综上可得，原不等式的解集为（ ，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|= ，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （ ，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣ ]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思
想，属于中档题．
