文档内容
2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=
（ ）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
2．（5分） =（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F到C
的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C． m D．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、
周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的
始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点
M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致
为（ ）A． B．
C． D．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k分别为1，2，3，则输出
的M=（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）设α （0， ），β （0， ），且tanα= ，则（ ）
∈ ∈
A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
9．（5分）不等式组 的解集记为D，有下列四个命题：
p ： （x，y） D，x+2y≥﹣2 p ： （x，y） D，x+2y≥2
1 2
p ： （x，y） D，x+2y≤3p ： （x，y） D，x+2y≤﹣1
3 ∀ ∈ 4 ∃ ∈
∀ ∈ ∃ ∈其中真命题是（ ）
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 4 1 2 1 3
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ ）
A． B．3 C． D．2
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞
0 0
0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣
2）
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ．（用数字填
写答案）
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的夹角为 ．
16．（5分）已知 a，b，c分别为△ABC的三个内角 A，B，C的对边，a=2且
（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题
17．（12分）已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，a ≠0，a a =λS ﹣1，其中
n n 1 n n n+1 n
λ为常数．
（Ⅰ）证明：a ﹣a =λ
n+2 n
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a }为等差数列？并说明理由．
n
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质
量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据
用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，
σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若 Z～N（μ，σ2）则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）
=0.9544．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面BB C C为菱形，AB⊥B C．
1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明：AC=AB ；
1
（Ⅱ）若AC⊥AB ，∠CBB =60°，AB=BC，求二面角A﹣A B ﹣C 的余弦值．
1 1 1 1 1
20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点 A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求 l
的方程．21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处
得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的
延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值．选修4-5：不等式选讲
24．若a＞0，b＞0，且 + = ．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5 分）已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=
（ ）
A．[1，2） B．[﹣1，1] C．[﹣1，2） D．[﹣2，﹣1]
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B=[﹣2，2），
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分） =（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，
计算求得结果．
【解答】解： = =﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i的幂运算性质，
属于基础题．
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题
的关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点 F到C
的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C． m D．3m
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点
到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为 ，
∴一个焦点为（ ，0），一条渐近线方程为 =0，
∴点F到C的一条渐近线的距离为 = ．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础
题．
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、
周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．
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【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六
周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有
24=16种情况，
周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，
∴所求概率为 = ．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时
先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A包含的基本事件
的个数和试验中基本事件的总数．
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的
始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点
M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角
三角形的锐角三角函数的定义即可得到 f（x）的表达式，然后化简，分析周
期和最值，结合图象正确选择．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx|•|sinx|= |sin2x|，
其周期为T= ，最大值为 ，最小值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题
的关键，同时考查二倍角公式的运用．
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k分别为1，2，3，则输出
的M=（ ）A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ，a=2，b= ，n=2；
第二次循环M=2+ = ，a= ，b= ，n=3；
第三次循环M= + = ，a= ，b= ，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M= ．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序
是解答此类问题的常用方法．
8．（5分）设α （0， ），β （0， ），且tanα= ，则（ ）
∈ ∈A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β=
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关
系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
【解答】解：由tanα= ，得：
，
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）=cosα=sin（ ），
∵α （0， ），β （0， ），
∈ ∈
∴当 时，sin（α﹣β）=sin（ ）=cosα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择
题，是基础题．
9．（5分）不等式组 的解集记为D，有下列四个命题：
p ： （x，y） D，x+2y≥﹣2 p ： （x，y） D，x+2y≥2
1 2
p ： （x，y） D，x+2y≤3p ： （x，y） D，x+2y≤﹣1
3 ∀ ∈ 4 ∃ ∈
其中真命题是（ ）
∀ ∈ ∃ ∈
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
2 3 1 4 1 2 1 3
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．
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【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】作出不等式组 的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p ：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故： （x，y） D，x+2y≥﹣2成立；
1
p ：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内， （x，y） D，x+2y≥2，
2 ∀ ∈
故p
2
： （x，y） D，x+2y≥2正确；
∃ ∈
p ：由图知，区域 D 有部分在直线 x+2y=3 的上方，因此 p ： （x，y） D，
3 ∃ ∈ 3
x+2y≤3错误；
∀ ∈
p ：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域 D下方，故p ： （x，
4 4
y） D，x+2y≤﹣1错误；
∃
综上所述，p 、p 正确；
∈ 1 2
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正
确分析是关键，属于难题．
10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（ ）
A． B．3 C． D．2
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
∵ =4 ，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜率为﹣ =﹣2 ，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2 （x﹣2），
与y2=8x联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基
础题．
11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞
0 0
0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣
2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
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【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定
函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（ ）= ﹣3• +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数
的零点的判定的应用，属于基础题．
12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A．6 B．6 C．4 D．4
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．
【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：
4，
∴ ．AC= =6，AD=4 ，
显然AC最长．长为6．
故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 ﹣ 20 ．（用数字填
写答案）
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．
【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．
含x2y6的系数是28，
∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 A ．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
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【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中
的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任
一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础
题．
15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若 = （ + ），则 与 的
夹角为 90 ° ．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．
【解答】解：在圆中若 = （ + ），
即2 = + ，
即 + 的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则 ⊥ ，
即 与 的夹角为90°，
故答案为：90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题
的关键，比较基础．
16．（5分）已知 a，b，c分别为△ABC的三个内角 A，B，C的对边，a=2且
（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，
由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，
⇒
又因为：a=2，
⇒
所以： ，
△ABC面积 ，
而b2+c2﹣a2=bc
b2+c2﹣bc=a2
b2+c2﹣bc=4
⇒
bc≤4
⇒
⇒
所以： ，即△ABC面积的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式
在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题
17．（12分）已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，a ≠0，a a =λS ﹣1，其中
n n 1 n n n+1 n
λ为常数．
（Ⅰ）证明：a ﹣a =λ
n+2 n
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a }为等差数列？并说明理由．
n
【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．
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【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用a a =λS ﹣1，a a =λS ﹣1，相减即可得出；
n n+1 n n+1 n+2 n+1
（Ⅱ）假设存在λ，使得{a }为等差数列，设公差为d．可得λ=a ﹣a =（a ﹣
n n+2 n n+2a ）+（a ﹣a ）=2d， ．得到 λS = ，根据
n+1 n+1 n n
{a }为等差数列的充要条件是 ，解得λ即可．
n
【解答】（Ⅰ）证明：∵a a =λS ﹣1，a a =λS ﹣1，
n n+1 n n+1 n+2 n+1
∴a （a ﹣a ）=λa
n+1 n+2 n n+1
∵a ≠0，
n+1
∴a ﹣a =λ．
n+2 n
（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a }为等差数列，设公差为d．
n
则λ=a ﹣a =（a ﹣a ）+（a ﹣a ）=2d，
n+2 n n+2 n+1 n+1 n
∴ ．
∴ ， ，
∴λS =1+ = ，
n
根据{a }为等差数列的充要条件是 ，解得λ=4．
n
此时可得 ，a =2n﹣1．
n
因此存在λ=4，使得{a }为等差数列．
n
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、
等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能
力、分类讨论的思想方法，属于难题．
18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取 500件，测量这些产品的一项质
量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2（同一组中数据
用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，
σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： ≈12.2．
若 Z～N（μ，σ2）则 P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）
=0.9544．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线
所表示的意义．
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【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），
注意运用所给数据；
（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别
为：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02
=200，s2= （ ﹣ 30 ） 2×0.02+ （ ﹣ 20 ） 2×0.09+ （ ﹣ 10 ）
2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知 Z～N（200，150），从而 P（187.8＜Z＜212.2）=P
（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为
0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及
概率求解，考查运算能力．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面BB C C为菱形，AB⊥B C．
1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）证明：AC=AB ；
1
（Ⅱ）若AC⊥AB ，∠CBB =60°，AB=BC，求二面角A﹣A B ﹣C 的余弦值．
1 1 1 1 1
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】（1）连结BC ，交B C于点O，连结AO，可证B C⊥平面ABO，可得
1 1 1
B C⊥AO，B 0=CO，进而可得AC=AB ；
1 1 1
（2）以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方
向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可
得两平面的法向量，可得所求余弦值．
【解答】解：（1）连结BC ，交B C于点O，连结AO，
1 1
∵侧面BB C C为菱形，
1 1∴BC ⊥B C，且O为BC 和B C的中点，
1 1 1 1
又∵AB⊥B C，∴B C⊥平面ABO，
1 1
∵AO 平面ABO，∴B C⊥AO，
1
又B 0=CO，∴AC=AB ，
1⊂ 1
（2）∵AC⊥AB ，且O为B C的中点，∴AO=CO，
1 1
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB 两两垂直，
1
以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度，
的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB =60°，∴△CBB 为正三角形，又AB=BC，
1 1
∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B （0， ，0），C（0， ，0）
1
∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1，
，0），
设向量 =（x，y，z）是平面AA B 的法向量，
1 1
则 ，可取 =（1， ， ），
同理可得平面A B C 的一个法向量 =（1，﹣ ， ），
1 1 1
∴cos＜ ， ＞= = ，
∴二面角A﹣A B ﹣C 的余弦值为
1 1 1
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关
键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点 A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求 l
的方程．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx﹣2，设 P（x ，y ），Q（x ，y ）将 y=kx﹣2 代入
1 1 2 2
，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出
△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线
方程．
【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知 ，得 又 ，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．…．（5分）
（Ⅱ）依题意当 l⊥x 轴不合题意，故设直线 l：y=kx﹣2，设 P（x ，y ），Q
1 1
（x ，y ）
2 2
将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时，
从而
又点 O 到直线 PQ 的距离 ，所以△OPQ 的面积 =，
设 ，则t＞0， ，
当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2．…（12
分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的
应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处
得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，
解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，函
数h（x）= ，只需证明g（x） ＞h（x） ，利用导数可分别求得g
min max
（x） ，h（x） ；
min max
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）= + ，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+ ，
∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴lnx＞ ﹣ ，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x （0， ）时，g′（x）＜0；当x （ ，+∞）时，g′（x）＞0．
∈ ∈
故g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而g（x）在
（0，+∞）上的最小值为g（ ）=﹣ ．
设函数h（x）=xe﹣x﹣ ，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x （0，1）时，h′（x）＞0；当x （1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∈ ∈
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣ ．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，
考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的
延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由
CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得
∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于
中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参
数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到 P
到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．
对于直线l： ，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为 ．
则 ，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，
体现了数学转化思想方法，是中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．若a＞0，b＞0，且 + = ．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【考点】RI：平均值不等式．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得 ab≥2，再利用基本不等式求得
a3+b3的最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得
2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = ，
∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，
当且仅当a=b= 时取等号．
∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，
∴a3+b3的最小值为4 ．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件
是否具备，属于基础题．
