文档内容
2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集
合 （A∩B）中的元素共有（ ）
U
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∁
2．（5分）已知 =2+i，则复数z=（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相
切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同
选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
6．（5分）设 、 、 是单位向量，且 ，则 • 的最小值为
（ ）
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣1 D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为
1
（ ）A． B． C． D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那
么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β
的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（
）
A．1 B．2 C． D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF
∈
交C于点B，若 =3 ，则| |=（ ）
A． B．2 C． D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =81，则a +a +a = ．
n n 9 2 5 8
15 ． （ 5 分 ） 直 三 棱 柱 ABC﹣A B C 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若
1 1 1
AB=AC=AA =2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．
1
16．（5分）若 ，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣
c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，
AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的
胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期
望．
20．（12分）在数列{a }中，a =1，a =（1+ ）a + ．
n 1 n+1 n
（1）设b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交
于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12 分）设函数 f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x 、x ，且 x [﹣1，
1 2 1
0]，x
2
[1，2]．
∈
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的
∈
点（b，c）的区域；
（2）证明： ．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集
合 （A∩B）中的元素共有（ ）
U
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∁
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
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【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
A∩B={4，7，9}∴ （A∩B）={3，5，8}故选A．
U
也可用摩根律： （A∩B）=（ A）∪（ B）
U∁ U U
故选：A．
∁ ∁ ∁
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
2．（5分）已知 =2+i，则复数z=（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
【考点】A1：虚数单位i、复数．
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【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．
【解答】解： ，∴z=1﹣3i
故选：B．
【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}
【考点】7E：其他不等式的解法．
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【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，
也可两边平方去绝对值．
【解答】解：∵ ＜1，
∴|x+1|＜|x﹣1|，
∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．
∴x＜0．
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是
去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相
切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b
的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．
【解答】解：由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，
代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，
因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，
即 ，故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线
的离心率，基础题．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同
选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．
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【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组
两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C 1•C 1•C 2=225种选法；
5 3 6
（2）乙组中选出一名女生有C 2•C 1•C 1=120种选法．故共有345种选法．
5 6 2
故选：D．
【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分
类，后分步！
6．（5分）设 、 、 是单位向量，且 ，则 • 的最小值为
（ ）
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣1 D．1﹣
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由题意可得 = ，故要求的式子即 ﹣（ ）• + =1﹣
cos =1﹣ cos ，再由余弦函
数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵ 、 、 是单位向量， ，∴ ， = ．
∴ • = ﹣（ ）• + =0﹣（ ）• +1=1﹣
cos
=1﹣ cos ≥ ．
故选：D．
【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为
1
（ ）
A． B． C． D．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
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【分析】首先找到异面直线AB与CC 所成的角（如∠A AB）；而欲求其余弦值
1 1
可考虑余弦定理，则只要表示出A B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A B C
1 1 1 1
的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A D、AD、A B，易知θ=∠A AB即为异面
1 1 1
直线AB与CC 所成的角；
1
并设三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长为1，则|AD|= ，|A D|= ，|A B|
1 1 1 1 1
= ，由余弦定理，得cosθ= = ．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那
么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HB：余弦函数的对称性．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称，令x=
代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点 中心对称．
∴ ∴ 由此易得 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的
导数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x ，y ），则y =x +1，y =ln（x +a），
0 0 0 0 0 0又∵
∴x +a=1
0
∴y =0，x =﹣1
0 0
∴a=2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
10．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β
的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（
）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD
则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°， ，
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面
之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础
题．
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
【考点】3I：奇函数、偶函数．
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【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，
∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，
故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），
函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．
∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），
f（﹣x+3）=﹣f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF
∈
交C于点B，若 =3 ，则| |=（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性
质可知FN=1，进而根据 ，求出BM，AN，进而可得|AF|．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意 ，
故FM= ，故B点的横坐标为 ，纵坐标为±
即BM= ，
故AN=1，
∴ ．
故选：A．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣ 240．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C 0anb0+C 1an﹣1b1+C 2an﹣2b2++C ran﹣
n n n n
rbr++C na0bn，各项的通项公式为：T =C ran﹣rbr．然后根据题目已知求解即可．
n r+1 n
【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含 x7y3的项为 C 3x10﹣3y3（﹣1）3=﹣
10
C 3x7y3，
10
含x3y7的项为C 7x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C 7x3y7．
10 10
由C 3=C 7=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．
10 10
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（ a+b）
n=C 0anb0+C 1an﹣1b1+C 2an﹣2b2++C ran﹣rbr++C na0bn，属于重点考点，同学们需要
n n n n n
理解记忆．
14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =81，则a +a +a = 2 7 ．
n n 9 2 5 8
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
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【分析】由s 解得a 即可．
9 5
【解答】解：∵
∴a =9
5
∴a +a +a =3a =27
2 5 8 5
故答案是27
【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．
15 ． （ 5 分 ） 直 三 棱 柱 ABC﹣A B C 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若
1 1 1
AB=AC=AA =2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．
1
【考点】LR：球内接多面体．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O'，球心为O，
在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径 ，
故此球的表面积为4πR2=20π
故答案为：20π
【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三
角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能
力，计算能力．
16．（5分）若 ，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣ 8 ．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将
tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．
【解答】解：令tanx=t，∵ ，∴
故填：﹣8．
【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题
是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以
最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣
c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
【考点】HR：余弦定理．
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【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据
a2﹣c2=2b即可得到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．
又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．
又a2﹣c2=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得 ，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，
AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作
NE⊥AB 交AB 于E，连 ME、NB，则 MN⊥面ABCD，ME⊥AB， 设
MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中
点；
法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求
出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；
法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造
空间向量，然后数乘向量的方法来证明．
（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空
间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，
设MN=x，则NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴ ．
在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而 ∴M为侧棱SC的中点M．
（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣
xyz，则 ．
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则 ， ，
由题得 ，
即
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）
所以M是侧棱SC的中点．
（I）证法三：设 ，
则
又
故 ，
即 ，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
又 ， ，
设 分别是平面SAM、MAB的法向量，
则 且 ，
即 且
分别令 得z =1，y =1，y =0，z =2，
1 1 2 2
即 ，
∴
二面角S﹣AM﹣B的大小 ．
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦
值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的
胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为
0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期
望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机
变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利
需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事
件的概率公式得到结果．
（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ
的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．
【解答】解：记A表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）
i
B表示第j局乙获胜，j=3、4
i
（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，
∵前2局中，甲、乙各胜1局，
∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，
∴B=A A +B A A +A B A
3 4 3 4 5 3 4 5
由于各局比赛结果相互独立，
∴P（B）=P（A A ）+P（B A A ）+P（A B A ）
3 4 3 4 5 3 4 5
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取
值是2、3
由于各局相互独立，得到ξ的分布列
P（ξ=2）=P（A A +B B ）=0.52
3 4 3 4
P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48
∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．
【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这
是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．
20．（12分）在数列{a }中，a =1，a =（1+ ）a + ．
n 1 n+1 n
（1）设b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
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【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（1）由已知得 = + ，即b =b + ，由此能够推导出所求的
n+1 n
通项公式．
（2）由题设知 a =2n﹣ ，故 S =（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+
n n
），设 T=1+ + + +…+ ，由错位相减法能求出 T=4﹣ ．从而
n n
导出数列{a }的前n项和S ．
n n
【解答】解：（1）由已知得b =a =1，且 = + ，
1 1
即b =b + ，从而b =b + ，
n+1 n 2 1
b =b + ，
3 2
b =b + （n≥2）．
n n﹣1
于是b =b + + +…+ =2﹣ （n≥2）．
n 1
又b =1，
1
故所求的通项公式为b =2﹣ ．
n
（2）由（1）知a =2n﹣ ，
n故S =（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），
n
设T=1+ + + +…+ ，①
n
T= + + +…+ + ，②
n
①﹣②得，
T=1+ + + +…+ ﹣
n
= ﹣ =2﹣ ﹣ ，
∴T=4﹣ ．
n
∴S =n（n+1）+ ﹣4．
n
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减
法的合理运用．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交
于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物
线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充
要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．
（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、
两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得
到最大值时的点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方
程，
消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的
充要条件是：
方程（1）有两个不相等的正根
∴
即 ．
解这个方程组得 ， ．
（II）设四个交点的坐标分别为
、 、 、 ．
则直线 AC、BD 的方程分别为 y﹣ = •（x﹣x ），y+ =
1
（x﹣x ），
1解得点P的坐标为（ ，0），
则由（I）根据韦达定理有x +x =7，x x =16﹣r2，
1 2 1 2
则
∴
令 ，
则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．
由 三 次 均 值 有 ：
当且仅当7+2t=14﹣4t，即 时取最大值．
经检验此时 满足题意．
故所求的点P的坐标为 ．
【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强
化复习．
22．（12 分）设函数 f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x 、x ，且 x [﹣1，
1 2 1
0]，x
2
[1，2]．
∈
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的
∈
点（b，c）的区域；
（2）证明： ．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区
域；R6：不等式的证明．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x 、x 是导函数等于零的两个根，
1 2
根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数 b，利用参数c表示出f（x ）的值域，再利用参数 c
2
的范围求出f（x ）的范围即可．
2
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x 、x ，且x [﹣1，0]，x [1，2]
1 2 1 2
等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
∈ ∈
由此得b，c满足的约束条件为 （4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）
（Ⅱ）由题设知f'（x ）=3x 2+6bx +3c=0，
2 2 2
则 ，
故 ．（8分）
由于x [1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，
2
∈
故 ．
又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）
所以 ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式
（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．
