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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则 M∩N=
（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
2．（5分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
3．（5分）设z= +i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 + =（
）
A． B． C． D．
7．（5 分）在函数① y=cos|2x|，② y=|cosx|，③ y=cos（2x+ ），④ y=tan
（2x﹣ ）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k分别为1，2，3，则输出
的M=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x ，y ）是C上一点，AF=|
0 0
x |，则x =（ ）
0 0
A．1 B．2 C．4 D．8
11．（5分）设 x，y满足约束条件 且z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞
0 0
0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣
2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本
数学书相邻的概率为 ．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
15．（5分）设函数f（x）= ，则使得f（x）≤2成立的x的取值
范围是 ．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，
从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；
从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）已知{a }是递增的等差数列，a ，a 是方程x2﹣5x+6=0的根．
n 2 4（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求数列{ }的前n项和．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105， [115，
115） 125）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面BB C C为菱形，B C的中点为
1 1 1 1 1 1
O，且AO⊥平面BB C C．
1 1
（1）证明：B C⊥AB；
1
（2）若AC⊥AB ，∠CBB =60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A B C 的高．
1 1 1 1 1
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C
交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
21．（12 分）设函数 f（x）=alnx+ x2﹣bx（a≠1），曲线 y=f（x）在点
（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；（2）若存在x ≥1，使得f（x ）＜ ，求a的取值范围．
0 0
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的
延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且 + = ．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则 M∩N=
（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，
则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
【考点】GC：三角函数值的符号．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴ ，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．
3．（5分）设z= +i，则|z|=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
【解答】解：z= +i= +i= ．
故|z|= = ．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．
【解答】解：由题意，
e= = =2，
解得，a=1．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题
的关键．
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 + =（
）
A． B． C． D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量加法的三角形法则，将 ， 分解为 + 和 + 的形式，
进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量
及向量加法的平行四边形法则得到答案．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴ + =（ + ）+（ + ）= + = （ + ）= ，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角
形法则和平行四边形法则是解答的关键．
7．（5 分）在函数① y=cos|2x|，② y=|cosx|，③ y=cos（2x+ ），④ y=tan
（2x﹣ ）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【考点】H1：三角函数的周期性．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，
②y=丨cosx丨的最小正周期为 =π，
③y=cos（2x+ ）的最小正周期为 =π，
④y=tan（2x﹣ ）的最小正周期为 ，
故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的
三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．
【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的
三视图，
可知几何体如图：几何体是三棱柱．
故选：B．【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k分别为1，2，3，则输出
的M=（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+ = ，a=2，b= ，n=2；
第二次循环M=2+ = ，a= ，b= ，n=3；第三次循环M= + = ，a= ，b= ，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M= ．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序
是解答此类问题的常用方法．
10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x ，y ）是C上一点，AF=|
0 0
x |，则x =（ ）
0 0
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x ，y ）是C上一点，AF=| x |，x ＞0．
0 0 0 0
∴ =x + ，
0
解得x =1．
0
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
11．（5分）设 x，y满足约束条件 且z=x+ay 的最小值为 7，则 a=（
）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
【考点】7F：基本不等式及其应用．
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【专题】5B：直线与圆．【分析】如图所示，当 a≥1 时，由 ，解得 ．当直线
z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．
【解答】解：如图所示，
当a≥1时，由 ，
解得 ，y= ．
∴ ．
当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，
∴ ，化为a2+2a﹣15=0，
解得a=3，a=﹣5舍去．
当a＜1时，不符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结
合的思想方法，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x ，且x ＞
0 0
0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣
2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．
菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定
函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x= 时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3• +1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数
的零点的判定的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本
数学书相邻的概率为 ．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数
最后根据概率公式计算即可．
【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有 =6种结果，
其中 2 本数学书相邻的有（数学 1，数学 2，语文），（数学 2，数学 1，语
文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本
数学书相邻的概率P= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足
条件的基本事件．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 A ．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
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【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中
的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任
一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础
题．15．（5分）设函数f（x）= ，则使得f（x）≤2成立的x的取值
范围是 x ≤ 8 ．
【考点】5B：分段函数的应用．
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【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，结合 f（x）≤2，解不等式，即可求出使得 f（x）≤2
成立的x的取值范围．
【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，
∴x≤ln2+1，
∴x＜1；
x≥1时， ≤2，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
故答案为：x≤8．
【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于
基础题．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，
从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；
从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= 15 0 m．【考点】HU：解三角形．
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【专题】12：应用题；58：解三角形．
【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，
由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算
求得结果．
【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，
∴AC= =100 ．
△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，
∴∠AMC=45°，由正弦定理可得 ，解得AM=100 ．
Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100 ×sin60°=150（m），
故答案为：150．
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）已知{a }是递增的等差数列，a ，a 是方程x2﹣5x+6=0的根．
n 2 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求数列{ }的前n项和．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．
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【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 a ，a 的值，从而解出通
2 4
项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a }是递增的等差数列，
n
故a =2，a =3，可得2d=1，d= ，
2 4
故a =2+（n﹣2）× = n+1，
n（2）设数列{ }的前n项和为S ，
n
S = ，①
n
S = ，②
n
①﹣②得 S = = ，
n
解得S = =2﹣ ．
n
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考
查的主要方式．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85） [85，95） [95，105） [105， [115，
115） 125）
频数 6 26 38 22 8
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中
点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；
（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．
（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．
【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：
（ 2 ） 质 量 指 标 的 样 本 平 均 数 为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，
质 量 指 标 的 样 本 的 方 差 为 S2= （ ﹣ 20 ） 2×0.06+ （ ﹣ 10 ）
2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，
这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不
低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，侧面BB C C为菱形，B C的中点为
1 1 1 1 1 1
O，且AO⊥平面BB C C．
1 1
（1）证明：B C⊥AB；
1
（2）若AC⊥AB ，∠CBB =60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A B C 的高．
1 1 1 1 1
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
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【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接BC ，则O为B C与BC 的交点，证明B C⊥平面ABO，可得
1 1 1 1
B C⊥AB；
1
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB 为
1
等边三角形，求出B 到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A B C 的高．
1 1 1 1
【解答】（1）证明：连接BC ，则O为B C与BC 的交点，
1 1 1
∵侧面BB C C为菱形，
1 1
∴BC ⊥B C，
1 1
∵AO⊥平面BB C C，
1 1
∴AO⊥B C，
1
∵AO∩BC =O，
1
∴B C⊥平面ABO，
1
∵AB 平面ABO，
∴B C⊥AB；
1 ⊂
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB =60°，
1
∴△CBB 为等边三角形，
1
∵BC=1，∴OD= ，
∵AC⊥AB ，∴OA= B C= ，
1 1
由OH•AD=OD•OA，可得AD= = ，∴OH= ，
∵O为B C的中点，
1
∴B 到平面ABC的距离为 ，
1
∴三棱柱ABC﹣A B C 的高 ．
1 1 1
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学
生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C
交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由 与 数
量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公
式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，
代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则 ， ．
由题意可得： ．
即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心， 为半径的圆，
由于|OP|=|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k =3，
ON
∴直线l的斜率为﹣ ．
∴直线PM的方程为 ，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为 ．
又N到l的距离为 ，
∴|PM|= = ．
∴ ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量
的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．21．（12 分）设函数 f（x）=alnx+ x2﹣bx（a≠1），曲线 y=f（x）在点
（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x ≥1，使得f（x ）＜ ，求a的取值范围．
0 0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a分类讨论：当a 时，当 a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究
函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）= （x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+
，
∴ = ．
①当a 时，则 ，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x ≥1，使得f（x ）＜ 的充要条件是 ，即 ，
0 0
解得 ；
②当 a＜1时，则 ，
则当x 时，f′（x）＜0，函数f（x）在 上单调递减；
∈当x 时，f′（x）＞0，函数f（x）在 上单调递增．
∈
∴存在x ≥1，使得f（x ）＜ 的充要条件是 ，
0 0
而 = + ，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）= ，成立．
综上可得：a的取值范围是 ．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值
等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力
和计算能力，属于难题．
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的
延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由
CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于
中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C： + =1，直线l： （t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参
数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P
到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C： + =1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为 ，（θ为参数）．
对于直线l： ，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为 ．
则 ，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为 ．
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为 ．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，
体现了数学转化思想方法，是中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．若a＞0，b＞0，且 + = ．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【考点】RI：平均值不等式．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得 ab≥2，再利用基本不等式求得
a3+b3的最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得
2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = ，
∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，
当且仅当a=b= 时取等号．
∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，
∴a3+b3的最小值为4 ．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．
而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件
是否具备，属于基础题．
