文档内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学乙卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答
案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z）+3(z-z)=4+6i，则z=( ).
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )
A.∅ B.S
C.T D.Z
3.已知命题 p：∃x∈R，sinx＜1；命题 q：∀x∈R，𝑒|x|≥1，则下列命题中为真
命题的是（ ）
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q D.¬(pVq)
1−𝑥
4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
1+𝑥
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
5.在正方体 ABCD-A BCD 中，P 为 B D 的中点，则直线 PB 与 AD 所成的角为（ ）
1 1 1 1 1 1 1
π π
A. B.
2 3
π π
C. D.
4 6
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进
行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的
第1页 | 共6页分配方案共有（ ）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
1
7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所
2
π π
得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ）
3 4
𝑥 7π 𝑥 π
A.sin( − ) B. sin( + )
2 12 2 12
7π π
C. sin(2𝑥− ) D. sin(2𝑥+ )
12 12
7
8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
4
7 23
A. B.
4 32
9 2
C. D.
32 9
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量
海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等
高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目
距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.
表高× 表距 表高× 表距
A： +表高 B： −表高
表目距的差 表目距的差
表高× 表距 表高× 表距
C： +表距 D： −表距
表目距的差 表目距的差
10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（ ）.
A：a＜b B：a＞b
C：ab＜a2 D：ab＞a2
11.设 B 是椭圆
C：x2
+
y2
=1（a＞b＞0）的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满
a2 b2
足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）.
第2页 | 共6页A： 2,1 B： 1 ,1
2 2
C： 0, 2 D： 0, 1
2 2
12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c= 1.04−1，则（ ）.
A：a＜b＜c B：b＜c＜a
C：b＜a＜c D：c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线
C：x2
−y2=1（m>0）的一条渐近线为 3x+my=0，则 C 的焦距
m
为 .
14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ= 。
15.记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 3，B=60°，
a2+c2=3ac，则b= .
16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，
组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写
出符合要求的一组答案即可）.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
第3页 | 共6页某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提
高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数
据如下：
旧设 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
备
新设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
备
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别
记为s2和s2
1 2
（1） 求x，y， s2，s2；
1 2
（2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-
x≥2 s2 1 +s2 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提
2
高，否则不认为有显著提高）.
18.(12分)
如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，
且PB⊥AM，
（1） 求BC；
（2） 求二面角A-PM-B的正弦值。
19.（12分）
2 1
记S 为数列{a}的前n项和，b 为数列{S}的前n项和，已知 + =2.
n n n n 𝑆 b
n n
第4页 | 共6页（1） 证明：数列{b}是等差数列；
n
（2） 求{a}的通项公式.
n
20.（12分）
设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1） 求a；
x+f（x）
（2） 设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
xf（x）
21.（12 分）
己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的
距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求ΔPAB的最大值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.
第5页 | 共6页（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.
第6页 | 共6页
