文档内容
北京市大兴区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
阅卷人
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选
项只有一个
得分
1．下列图形不是轴对称图形的为（ ）
A．线段
B．角
C．有一个锐角为30°的直角三角形
D．等边三角形
2．下列各组线段的长，能组成三角形的是（ ）
A．6，7，14 B．5，6，10 C．4，4，8 D．3，4，8
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
4．有一个内角是36°的等腰三角形，其它两个内角的度数分别是（ ）
A．36°，36° B．36°，72°
C．36°，108°或72°，72° D．36°，144°
5．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，
连接BD．若AD＝14，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐
标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（ ）
1 / 23A．点A B．点B C．点C D．点D
7．已知，△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，如果∠BAD＋∠BCD＝160°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
8．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（
）
A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30°
C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60°
阅卷人
二、填空题（共16分，每题2分）
得分
9．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
10．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为
11．一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是 边形．
12．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积
是 ．
13．如图，在△ABC中，∠A＝89°，∠B＝40°，则∠ACD＝ °．
2 / 2314．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE＝2，BC＝6，则
△BCE的面积为 ．
15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、
F，则图中全等的三角形的对数是 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，
则这样的点P共有 个．
阅卷人
三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25每题6分，第
26-28每题7分）
得分
17．如图，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1各顶点的坐标：A1 ▲ ，
B1 ▲ ，C1 ▲ ．
18．把下列证明过程补充完整．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠E＝∠F，EC∥FB．
3 / 23求证：EA＝FD．
证明：∵AB＝CD（已知），
∴AB+BC＝CD+BC．
∴AC＝DB．
∵EC∥FB（已知），
∴∠1＝∠2（ ▲ ）．
在△AEC和△DFB中，
{∠E=∠F
∠1=∠2 ，
AC=DB
∴△AEC≌△DFB（ ▲ ）．
∴EA＝FD（ ▲ ）．
19．把下列证明过程补充完整．
已知：如图，AC＝AD，∠C＝∠D，∠1＝∠2．
求证：AB＝AE．
证明：∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．
∴∠ ▲ ＝∠EAD．
在△ABC和△AED中，
{ ()
() ．
∠（）=∠EAD
∴ ▲ ．
∴AB＝AE．
4 / 2320．把下列证明过程补充完整．
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．
求证：AC平分∠BAD．
证明：∵∠B＝∠D＝90°．
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
{ （）
，
AB=AD
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（ ▲ ）．
∴∠ ▲ ＝∠ ▲ ．
∴AC平分∠BAD．
21．把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．
求证：∠CAD＝∠BCE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ ▲ ，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD ▲ BC（三线合一）．
∴∠ADC＝90°．
∴∠CAD+∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°．
∵∠ ▲ +∠B＝90°，
5 / 23∴∠CAD＝∠BCE．
22．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
23．已知：如图，D是BC上一点，AB＝BD，DE∥AB，∠A＝∠DBE．
求证：AC＝BE．
24．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF.求证：
（1）AF=CF；
（2）CA平分∠DCF.
25．已知：如图，点A，B分别在线段CD，CE上，EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．求
∠AEC的度数．
5 8−5 6 8−6 9 8−9 11 8−11
26．已知： + ＝2，…， + ＝2，…， + ＝2，…， + ＝2⋯
5−4 4−5 6−4 4−6 9−4 4−9 11−4 4−11
（1）观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是 ；
（2）若（1）中的a是△ABC的一边长，且4，8是△ABC的另两边长，
6 / 23①a的取值范围是 ；
②当△ABC是等腰三角形时，按上述规律对应的等式是 ．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAC＝60°，BC＝1，点E，F分别在AB，AC边上，
且∠AED+∠AFD＝180°．
（1）用等式表示线段DE与DF的数量关系，并证明；
（2）求AE+AF的长．
28．对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：连接OP，过点O作OP的垂线OW，
在垂线OW上取一点P′，使OP′＝OP，点P′在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M
关于原点O的“关联垂点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（2，3）．
（1）在点P1（﹣1，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2），P4（﹣1，3）中，点 是线段AB
关于原点O的“关联垂点”（只填写字母）；
（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“关联垂点”，求m的取值范围．
7 / 23答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．线段是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．角是轴对称图形，故本选项不合题意
C．有一个锐角为30°的直角三角形，不是轴对称图形，故本选项符合题意
D．等边三角形是轴对称图形，故本选项不合题意
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、6+7<14，故不能构成三角形，不符合题意；
B、5+6>10，故能构成三角形，符合题意；
C、4+4=8，故不能构成三角形，不符合题意；
D、3+4<8，故不能构成三角形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，逐项
分析判断即可求解．
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A选项中，BE与AC不垂直；
B选项中，BE与AC不垂直；
C选项中，BE与AC不垂直；
∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结
合图形进行判断．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
1
【解析】【解答】解：①当36°的角是顶角时，底角为： ×(180°−36°)=72°，
2
②当36°的角是底角时，顶角为：180°−36°×2=108°，
所以等腰三角形其它两个内角的度数分别是72°，72°或36°，108°，
8 / 23故答案为：C．
【分析】由于36°的角可能是顶角，也可能是底角，因此根据等腰三角形的性质分类讨论，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AD=14
∴BD=AD=14，
∴∠A=∠ABD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2×15°=30°，
又∵∠ACB=90°，
1
∴BC= BD=7；
2
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质得出AD=BD，得出∠A=∠ABD=15°，进而根据三角形的外角的性质
得出∠BDC=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
6．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形
【解析】【解答】如图所示：
原点可能是D点．
故答案为：D．
【分析】结合题意直接利用对称图形的定义可得出答案
7．【答案】C
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】如图，∵△ABC和△ADC关于直线AC轴对称，
9 / 23∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，
1 1
∴∠BAC＋∠ACB＝ （∠BAD＋∠BCD）＝ ×160°＝80°，
2 2
在△ABC中，∠B＝180°－（∠BAC＋∠ACB）＝180°－80°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选C．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，然后求出∠BAC＋
∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠B，然后判断三角形的形状即可．
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=2(180°−∠BOC)，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−2(180°−∠BOC)=2∠BOC−180°，
又∵90°<∠BOC<120°，
∴0<∠A<60°；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，得出
∠ABC+∠ACB=2(180°−∠BOC)，进而利用三角形内角和定理得出∠A=2∠BOC−180°，然后根
据90°<∠BOC<120°，即可求解．
9．【答案】（2，3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．
10．【答案】20或22
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①腰长为6时，三边为6、6、8，能构成三角形，
三角形的周长=6+6+8=20；
②腰长为8时，三边为8、8、6，能构成三角形，
三角形的周长=8+8+6=22．
故答案为：20或22．
【分析】分类讨论，分别求出①腰长为6，②腰长为8时三角形的周长，并根据三角形的三边关系进行判
10 / 23断．
11．【答案】四
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4，
∴这个多边形为四边形．
故答案为：四．
【分析】根据题意先求出（n﹣2）•180°＝360°，再求解即可。
12．【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】 【解答】解：∵点D、E分别是BC、AB的中点，
∴S =2S ，S =2S ，
△ABC △ABD △ABD △AED
∵S =2，
△AED
∴S =4S =8，
△ABC △AED
故答案为：8．
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出S =2S ，S =2S ，进
△ABC △ABD △ABD △AED
而根据已知条件代入，即可求解．
13．【答案】129
【知识点】三角形的外角性质
【解析】 【解答】解：∵△ABC中∠A=89°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=129°．
故答案为：129．
【分析】根据三角形外角的性质，即可求解．
14．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】 【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
11 / 23∴EF=DE=2，
1 1
则△BCE的面积为 BC·EF= ×6×2=6．
2 2
故答案为：6．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，即可求解．
15．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
{AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
{OA=OC
OE=OE
AE=CE
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
{
BD=CD
∠BDO=∠CDO
OD=OD
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
{AC=AB
OA=OA
OC=OB
∴△AOC≌△AOB；
故答案是：4.
【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。
16．【答案】8
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
12 / 23【解析】【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案为：8．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
17．【答案】解：如图所示．
由图可知，A（3，2），B（4，﹣3），C（1，﹣1）．
1 1 1
故答案为：（3，2），（4，﹣3），（1，﹣1）．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】 【分析】根据轴对称的性质，先找到点A、B、C对应点A 、B 、C ，然后顺次连接即可，然
1 1 1
后根据坐标系写出点的坐标即可．
18．【答案】证明：∵AB＝CD（已知），
∴AB+BC＝CD+BC．
13 / 23∴AC＝DB．
∵EC∥FB（已知），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等）．
在△AEC和△DFB中，
{∠E=∠F
∠1=∠2 ，
AC=DB
∴△AEC≌△DFB（ AAS）．
∴EA＝FD（ 全等三角形的对应角相等）．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】 【分析】根据平行线的性质，利用ASA证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质，完成证
明即可．
19．【答案】证明：∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD．
∴∠BAC＝∠EAD．
在△ABC和△AED中，
{
(∠C=∠D)
(AC=AD) ，
∠(BAC)=∠EAD
∴ △ABC≌△AED （ ASA ） ，
∴AB＝AE．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用ASA证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质即可求解．
20．【答案】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADC中，
{(AC=AC)
，
AB=AD
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AC平分∠BAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC．
21．【答案】证明：∵AB＝AC，
14 / 23∴∠B＝∠ACB，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC（三线合一）．
∴∠ADC＝90°．
∴∠CAD+∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°．
∵∠BCE+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB，由三线合一得到∠ADC=90°，则
∠BCE+∠B=90°，等量代换可得∠CAD=∠BCE．
22．【答案】解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∵∠C=65°，
∴∠CAD=90°-65°=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=65°求出
∠CAD的度数，进而可得出结论．
23．【答案】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠CBA，
而∠A＝∠DBE，AB＝BD，
∴△ABC≌△BDE（ASA），
∴AC＝BE．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠CAB=∠ADE，然后利用ASA证明△ABC≌△DAE，再根据全等
三角形对应边相等证明即可．
24．【答案】（1）证明：如图.
15 / 23∵BF 平分 ∠ABC ，
∴∠ABF=∠CBF ．
在△ABF与△CBF中，
{
AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BF
∴△ABF≌△CBF．
∴AF=CF
（2）解：∵AF=CF ，
∴∠FCA=∠FAC ．
∵AF ∥ DC ，
∴∠FAC=∠DCA ．
∴∠FCA=∠DCA ，即 CA 平分 ∠DCF ．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据BF平分∠ABC⇒∠ABF=∠CBF，再加上AB=BC，BF=BF就可以推出
△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF；（2）根据（1）中所得出的结论可
以推出∠FCA=∠FAC；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC、∠DCA相等，等量代换后，就可推出
CA平分∠DCF．
25．【答案】解：连接DE，
∵EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．
∴CE＝DE，DC＝DE，
∴CD＝CE＝DE，
∴∠C＝60°，
∵∠CAE＝90°，
16 / 23∴∠AEC＝30°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接DE，根据线段垂直平分线的性质得到CD=CE=DE，可得△CDE是等边三角形，
根据三线合一即可得证．
a 8−a
26．【答案】（1） + =2
a−4 4−a
8 8−8
（2）4＜a＜12； + =2
8−4 4−8
【知识点】等腰三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：观察上面式子的规律，把这个规律用含字母a的式子表示是：
a 8−a
+ =2，
a−4 4−a
a 8−a
故答案为： + =2；
a−4 4−a
（2）①∵4，8是△ABC的另两边长，
∴8−4
