文档内容
北京市朝阳区 2020~2021 学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）
（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
2. 用配方法解方程 ，将方程变为 的形式，则 的值为（ ）
A. 9 B. －9 C. 1 D. －1
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法将 化简，然后得出结果即可．
【详解】解：方程 可化为：
则有 ，
∴ ，
则 ，故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3. 正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解．
【详解】解：∵正方体有6个表面，
∴y=6x2，
∴y与x关系式为y=6x2，
故选：C
【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键．
4. 若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由
可得结果．
【详解】解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为 ，
，
n的值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．
5. 下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可．
【详解】A． ，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B． ，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故B不符合题意．
C． ，所以该一元二次方程有一个实数根，故C不符合题意．
D． ，所以该一元二次方程无实数根，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，熟练运用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情
况是解答本题的关键．
6. 如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，
转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边
的扇形），则下列说法正确的是（ ）
A. 指针指向黄色 概率为
的
B. 指针不指向红色的概率为
C. 指针指向红色或绿色的概率为
D. 指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
【答案】B
【解析】
【分析】将所用可能结果和指针指向颜色的结果列举出来，然后根据概率公式进行求解，再进行判断即可．
【详解】解： 转盘分成8个相同的图形，其中黄色有3个，绿色有3个，红色有2个，
∴ （指针指向黄色） ，（指针不指向红色） ，
（指针指向红色或绿色） ，
（指针指向绿色） ，
则 （指针指向绿色） （指针指向黄色），
综上所述，正确的只有B，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法，熟悉相关性质是解题的关键．
7. 如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90º，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），
OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】连接AB，由垂径定理可得点C、D分别是AP、PB的中点，然后由勾股定理及三角形中位线可进
行求解．
【详解】解：连接AB，如图所示：
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC=CP，PD=DB，
∴点C、D分别是AP、PB的中点，∴ ，
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查垂径定理及三角形中位线、勾股定理，熟练掌握垂径定理及三角形中位线、勾股定
理是解题的关键．
8. 如图，抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象
可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等
的实数根，从而可判断；
【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a
＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a ＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a ＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象与
x轴有两个交点，故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关
键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为____cm．
【答案】1.5
【解析】
【分析】根据题意可得圆与地面墙面相切，然后由切线定理可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：圆与地面墙面都相切，
由切线定理及图形可得圆的半径为1.5cm；
故答案为1.5．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，切线的性质定理，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关
键．
10. 如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 ____
（用含α的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断
PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数．
△
【详解】设网格的长度为1，则AP= ,PC= ，AC=6PAC为等腰直角三角形
△
∠CPA=
∠BPC=∠CPA−∠APB=
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11. 一元二次方程 的根为________．
【答案】
【解析】
【分析】观察方程，用公式法解方程即可．
【详解】a=1，b=−3，c=1，
∵ =9−4=5，
△
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
12. 下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面
上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是____（只填写序号即可）
【答案】②
【解析】
【分析】根据随机事件的定义分析，即可得到答案．
【详解】通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件；
人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票，是不确定事件；
在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，是不可能事件；∴不确定事件的是②
故答案为：②．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握随机事件的分类，从而完成求解．
13. 在同一坐标系中，二次函数 ， ， 的图象如图，则 ， ， 的大小关系
为______ （用“ ”连接）
【答案】
【解析】
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由 的值决定的，系数绝对值越大，开口越小．
【详解】解：∵抛物线开口都向上，
∴二次项系数都大于0.
二次函数 的开口最小，二次函数 的开口最大，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2（a≠0）的性质，是基础知识，需熟练掌握．熟练掌握抛物线开口大小
与|a|有关，|a|越大图象开口越小，|a|越小图象开口越大是解答本题的关键．
14. 响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，
今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月
份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可
得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
15. 如图，平面直角坐标系xOy中，等边△ABC在的顶点A在y轴的正半轴上，B（ ，0），C（5，
0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60º得到△ABE，则弧BC的长度为____，线段AE的
长为____，图中阴影部分面积为____．
【答案】 ①. ②. 14 ③.
【解析】
【分析】根据题意可知AB的长和 ，再利用弧长公式计算即可；根据旋转的性质可知
，求出AD的长即可；根据图形可知 ，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】根据题意可知AB=BC=AC=10， ，
∴ 的长 ；
根据题意可知OC=5，
∴ ，即A点坐标为(0， )．
又∵ ABE是由 ACD绕点A顺时针旋转60º得到，
△ △
∴ ；
根据图形可知 ，
∵ ABE是由 ACD绕点A顺时针旋转60º得到，
△ △∴ ，
∴ ．
故答案为： ；14； ．
【点睛】本题考查求弧长、扇形的面积以及旋转的性质．熟记弧长和扇形面积的计算公式是解答本题的关
键．
16. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后
放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到
红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40
所有合理推断的序号是_____．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论．
【详解】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；
②推断合理；
③20 0.35=7，故推断合理；
④摸×到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合
理．故答案为：②③．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题共31分，第17－20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分）
17. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）m=1；
【解析】
的
【分析】（1）根据一元二次方程根 判别式可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可选择一个合适的值，然后代入进行求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意得： ，
解得 ；
（2）由（1）及题意取当m=1时，此时方程为 ，
∴方程的根为 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题
的关键．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D （A，B，C，D是网格
线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C
是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．【答案】（1）见解析；（2）C（0，0），F（4，2）
【解析】
【分析】（1）将△ABC向右平移2个格，向上平移2个格，绕点D旋转 作图；
（2）如以点C为原点，根据点在坐标系中的位置直接得到点坐标．
【详解】解：（1）答案不唯一，如：
．
（2）C（0,0），F（4,2）．
．
【点睛】此题考查平移作图，旋转作图，确定直角坐标系中的点的坐标，掌握平移的性质、旋转的性质是
解题的关键．
19. 已知：如图，△ABC中， C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；的
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l 一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP．∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： 连接OC，
∵l为AB的垂直平分线
∴OA＝ ．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（ ）（填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）OB；同弧所对的圆周角相等．
【解析】
【
分析】（1）根据作图过程即可补全图形．
（2）根据圆的性质即可补全证明．
【详解】（1）如图即为补全后的图形．
（2）OB；同弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查利用尺规作图以及掌握圆周角定理．准确画出图形是解答本题的关键．20. 12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞
答”活动中的成绩的频数分布表：
（1）频数分布表中，m＝ ；
（2）从70≤x＜75中，随即抽取2名学生，那么所抽取的学生，至少有1人是一班学生的概率是多少？
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）由表可得一班的总人数，根据“各班人数相同”可知四班的总人数，然后用总人数减去四班其
他分数段的人数即可求出m的值；
（2）利用列举法将所有情况都列举出来，再找出来“至少有1人是一班学生”的结果数，然后根据概率公式
求解．
【详解】解：（1）总人数为2+0+3+7+8+0=20（人）
m=20-3-7-5-2=3（人）
（2）一班有2人，分别记为A，B；四班有3人，分别记为C，D，E.
随即抽取2人的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，
至少有1人是一班的的情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE共7种，
所以至少有1人是学生概率是 .
【点睛】本题考查了列举法求概率及概率公式．利用列举法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率
21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线
于点E，连接AD．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到 ，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的
性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得
CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解．
【详解】（1） 证明：如下图所示，连接 ，
∵D是弧BC的中点，
即
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线.；
（2）解：如下图所示，连接OC，
∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝OD
由（1）可得，AC∥OD，
∴ 四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，
∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，
∠CDE=90°－60°＝30°，
∵DE⊥AE, ∠CED＝90°
∴CE=1．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，
菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－3与直线y＝－x－1交于点A（－1，0），B
（m，－3），点P是线段AB上的动点．
（1）① m＝ ；
② 求抛物线的解析式；
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2＋bx－3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标
【答案】（1）①2；②y＝x2－2x－3；（2）P（ ，－ ）
【解析】
【分析】（1）①直接将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1即可求解；
②利用待定系数法即可求解；（2）根据题意可设点P、Q的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）① 将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1得：
－3＝－m－1
解得：m＝2，
故答案为：2；
② 由①得点B（2,－3）
∵点A（－1，0），B（2，－3）在抛物线y＝ax2+bx－3上，
∴
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
（2）设点P的横坐标为x，其中－1≤x≤2，
∴点P（x，－x－1），点Q（x， ），
∴PQ＝－x2+x+2，
∴当 时，PQ最大，
此时点P的坐标是（ ，－ ）．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析中，二次函数的最值，解题的关键是熟练
掌握二次函数的性质，并利用数形结合的思想．
四、解答题（本题共21分，每小题7分）
23. 在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动
点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP ＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．【答案】（1）见解析；①见解析；②BC-BD= BP；见解析；（2）BD-BC= BP
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可：
①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；
②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明 BPD≌△FPC，即可得到结论；
（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于△点H，证明 HPC≌ BPD即可．
【详解】解：（1）补全图形，如图． △ △
①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．
根据题意可知，∠CPD=90°．
∵BC⊥l，
∴∠DBC=90°．
∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．
∵∠BED=∠PEC
∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD= BP．
证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．
∵AB= AC， A=90°，
∴∠ABC=45°．
∴BP=PF，∠PFB=45°．
∴∠PBD=∠PFC=135°．
∴△BPD≌△FPC．
∴BD=FC．
∵BF= BP，
∴BC-BD= BP．
（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，
∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC
∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°
∴∠HBP=45°
∴∠DBP=45°
∵∠BPH=90°
∴∠BHP=45°
∴HP=BP
∴
又∠DPC=90°
∴∠HPC=∠BPD，
在 HPC和 BPD中，
△ △
∴ HPC≌ BPD
△ △
∴BD=HC=HB+BC=
∴BD-BC= BP．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，
熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
24. 已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为______；
（2）若该抛物线的顶点在 轴上，求抛物线的函数表达式；
（3）设点 、 在该抛物线上，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）直线 ；（2） 或 ；（3）当 时， 或
；当 时， ．
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．
（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．（3）分类讨论当m＞0时和m＜0时二次函数的性质，即可求出n的取值范围．
【详解】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴 ．
为
故答案 ： ．
（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为 ，
∴顶点坐标为(-1，0)．
将顶点坐标代入二次函数解析式得： ，
整理得： ，
解得： 或 ．
∴抛物线解析式为 或 ；
（3）∵对称轴为直线 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
根据二次函数的性质分类讨论．
（ⅰ）当m＞0时，抛物线开口向上，若y＞y，即点M在点N或 的上方，两点NN′外侧，则 或
1 2
；
（ⅱ）当m＜0时，抛物线开口向下，若y＞y，即点M在点N或 的上方，两点内部，则 ．
1 2
【点睛】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌
握二次函数的性质是解答本题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段
AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段A
A´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为 d（AB，⊙O）．
（1）若点A（4，0）．
①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P（2，0），P（1，0），P（1，0），P（，
1 2 3 4
0）中，连接点A与点 的线段的长度为d（AB，⊙O）；②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；
（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
【答案】（1）① ；② ；（2）
【解析】
【分析】（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；
②根据题意可得当 ⊥x轴于点M，M为 中点时，线段A A´长度为线段AB到⊙O的“极大距离”，
根据勾股定理即可得出A´的坐标；
（2）根据题意知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，
A A´最小，过点A作AF⊥x轴，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最小值；连接AO并
延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，根据勾股定理即可得出OA的长度，继而可得A A´的最大值，
从而得出d（AB，⊙O）的取值范围．
【详解】（1）①由题意知AB=1，AP 的长度即为d(AB，⊙O)；
3
②如图， ⊥x轴于点M，M为 中点.∵ =1，
∵ ，
∵OA´=2，
∴ .
∴ .
（2）如图，∵点A（4，4），
∴点B在以A为圆心，1为半径的圆上，
连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，A A´最小，过点A作AF⊥x轴，
∵AF=4，OF=4，
∴OA= ，
∵OA´=OB´-A´B´=1
∴A A´=OA+OA´= +1；
如图，连接AO并延长AO交⊙O于点A´，此时，A A´最大，
∵AF=4，OF=4，
∴OA= ，
∵OA´=2，
∴A A´=OA+OA´= +2，
故 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移变换等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
