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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市朝阳外国语学校
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8题，共24分，每小题3分）
1. 如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转 后得到的图案（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2. 若点 在抛物线 上，则h的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据 纵坐标一样，结合二次函数对称性可得对称轴为直线 即可解
题．
【详解】∵ ，
∴由二次函数对称性可得对称轴为直线 ，
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∴抛物线 ，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数对称性．
3. 关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程的定义，可知 ；一根是 ，代入 可得
的值可求．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程， ，即
由一个根是 ，代入 ，可得 ，解之得 ；
由 得
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．解题时须注意，此为易
错点．否则选C就错了．
的
4. 如图， 绕点O逆时针旋转 到 位置，已知 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，可得 ，即可求解．
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【详解】解：∵ 绕点O逆时针旋转 到 的位置，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线
所构成的旋转角相等．
5. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔
各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各
是多少步？”设矩形田地的长为 步，根据题意可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．
【详解】设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，
整理得 ：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
6. 如图，点 A 在函数 的图象上，点 B 在函数 的图象上，且 轴，
轴于点C，则四边形 的面积为（ ）
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】延长 交 轴于点 ，根据反比例函数 值的几何意义得到 ， ，
根据四边形 的面积等于 ，即可得解．
【详解】解：延长 交 轴于点 ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵点A在函数 的图象上，
∴ ，
∵ 轴于点C， 轴，点B在函数 的图象上，
∴ ，
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∴四边形 的面积等于 ；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中 的几何意义，是解题的关
键．
7. 已知二次函数 （m为常数），当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值是
（ ）
A. B. 1 C. 2或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分 和 ，两
种情况进行分析，求得m的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
①当 时，抛物线的开口向上，
∵当 时，函数值y的最小值为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 ．
②当 时，抛物线的开口向下，
∵当 时，函数值y的最小值为 ，
∴当 时， ，
∴ ，解得：
故选：C．
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8. 将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直
线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式 ，可求与x轴的两个交点A、B，直线 表示的图像可看
做是直线 的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线 经过B点时，
恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线 经过C点时，恰与所给图像有
三个交点，即直线 与函数 关于x轴对称的函数 图像只有一个交点，
即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】解：由 知，当 时，即
解得：
作函数 的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
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平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当 时，只有一个交点
当 的函数图像由 的图像关于x轴对称得到
当 时对应的解析式为
即 ，整理得：
综上所述 或
故答案是：A．
【点睛】本题主要考查二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方
程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的
条件．
二、填空题（共8题，共计24分，每小题3分）
9. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即 ），已知200度近视眼镜的镜片
焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是______．
【答案】 ．
【解析】
【详解】由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴ ．
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故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为： ．
10. 二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则满足 的
x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可得， 的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上
方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：根据函数图象可得， 的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图
象上方部分的x的取值范围
由图像可知， 时二次函数图象在一次函数图象上方．
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
11. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
的
【分析】由方程有两个不相等 实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
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整理得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
12. 若点A（m，﹣2）在反比例函数 的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是__．
【答案】x≤﹣2或x＞0
【解析】
【分析】根据题意可求点A的坐标；画出草图，运用观察法求解．
【详解】解：∵点A（m，-2）在反比例函数 的图象上，
∴-2m=4，m=-2．
∴A（-2，-2）．
∴当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是 x≤-2或x＞0．
故答案为x≤-2或x＞0．
13. 一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转 ，使得三角板ADE的一边所
在的直线与BC垂直，则 的度数为______.
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【答案】15°或60°.
【解析】
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算 的度数即可解答.
【详解】解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为： ＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
（2）当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为： ＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【点睛】本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.
14. 已知 是方程 的两个不等的实数根，则 的值为__．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解定义及根与系数的关系可得 ， ，得到
，将 化为 ，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解： 是方程 的两个根，
由根与系数的关系可得： ， ，
，
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，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ．
15. 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航班抵达
北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在
一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的
一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此
时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状
及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面__________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移后的抛
物线与 轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
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、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移
动前后抛物线的解析式．
16. 如图，点C为线段 的中点，E为直线 上方的一点，且满足 ，连接 ，以 为腰，
A为直角顶点作等腰 ，连接 ，当 最大，且最大值为 时，则 _________．
【答案】2
【解析】
【分析】如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．首先证明
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△DAH≌△EAC（SAS），推出DH＝CE，由CD≤DH＋CH，推出当D，C，H共线时，DC最大，如图2
中，设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= ，列方程，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．
∵∠DAE＝∠HAC＝90°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵DA＝EA，HA＝CA，
∴△DAH≌△EAC（SAS），
∴DH＝CE，
∵CD≤DH＋CH，，
∴当D，C，H共线时，DC最大值= ，如图2中，
设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= ，
∴ +x= ，解得：x=1，
∴AB=2AC=2．
故答案是：2．
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【点睛】点评：本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关
系等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造全等三角形．
三、解答题（共8大题，共计52分，其中17题8分、18题7分、19-23每小题8分、24题7
分）
17. 解方程
(1) (2)
【答案】(1) , ；(2) ,
【解析】
【详解】试题分析：(1)用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可.
试题解析：(1)
x=-1+ ，x=-1- ;
1 2
(2)
,
x=3，x= .
1 2
18. 解方程： ．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，
根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
可根据方程特点设 ，则原方程可化为 ，解一元二次方程求y，再求x．
【详解】设 ，则原方程化为
，
即 ，
解得 ， ．
当 时， ，该方程无解，
当 时， ．
解得 ， ，
检验：当 时，原方程左边 右边，
当 时，原方程左边 右边，
∴ ， 都是原方程的根，
∴原方程的根是 ， ．
19. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程 ，根的判别式为△= ，进行化简即可
证明；
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（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明： ，
∵ ，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x，则另外一个根为2 x ，
1 1
则 ，
由①得 ，
代入②可得： ，
解之得 ， ，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
20. 如图，等腰 中， ，点D在 上，将 绕点B沿顺时针方向
旋转 后，得到 ，
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（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数；
（2）根据勾股定理求出 的长，根据 ，可得 和 的长，根据旋转的性质可得
，再根据勾股定理即可得 的长．
【小问1详解】
解：∵ 为等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可知 ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ， ，
，
，
， ，
由旋转的性质可知： ,
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握旋转的性质．
21. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人 米跳台决
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赛中，陈芋汐以 分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过
程中，全红婵选择了一个极具难度的 （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系
．如果她从点 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直
高度 （单位：米）与水平距离 （单位：米）近似满足函数关系式 ．
图1图2
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离 4
0 3
．
竖直高度
根据上述数据，直接写出 的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 与水平距离 近似满足函数关系，
记她训练的入水点的水平距离为 ；比赛当天入水点的水平距离为 ，则 ____
（填 ）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点 开始计时，若点 到水平面的距离为 ，则她到水面
的距离 与时间 之间近似满足 ，如果全红婵在达到最高点后需要 秒的时间才能完成极具
难度的 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
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【答案】（1） ，
（2）
（3）不能，见详解
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；
（2）分别求出两个解析式当 时，x的值，进行比较即可；
（3）先求出c的值，再求出 时的y值，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，图象过点 ，
，
，
，
解得∶ ，
故答案为∶ ， ；
【小问2详解】
，
当 时∶ ，
解得∶ 或 (不合题意，舍去)；
（米），
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当 时∶ ，
解得∶ 或 (不合题意，舍去)；
故答案为∶ ；
【
小问3详解】
当 时
即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作．
22. 在平面直角坐标系 中，记函数 的图象为 ，直线 ： 经过 ，
与图象 交于 ， 两点．
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（1）求 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 在 ， 之间的部分与线段 围成的区域（不含边
界）为 ．
①当 时，区域 内的整点个数为________个；
②各区域 内恰有4个整点，结合函数图象， 的取值范围为________．
【答案】（1）4 （2）①6；②
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数关系式可得答案；
（2）①结合图象分析可得答案；
②考虑临界位置，结合图象得出答案．
【小问1详解】
∵直线 经过点 ，
∴ ，
解得 ，
所以 ；
【小问2详解】
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①如图所示，区域W内的整点有 ， ， ， ， ， ，共6个．
故答案为：6；
②当 时，区域W内有4个整点，如图所示．
当 时，区域W内有4个整点，如图所示．
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所以区域W内有4个整点，m的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数（反比例函数）
关系式，理解新定义等，确定临界点是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）当 时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于 ，都有 ，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为 ，将 代入，即可求出m
和n的值，再比较即可；
（2）由函数解析式可得出其对称轴为直线 ，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而
增大．根据对于 ，都有 ，得出 ，当 时， ，即 ，
从而可求出 ．由对于 ，都有 ，又可得出 ，两边平方并整理，
得： ，即得出 ，最后取其公共解即可．
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【小问1详解】
解： ．
理由：当 时，抛物线解析式为 ，点 ，
将 代入 ，
得： ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵该函数解析式为 ，
∴其图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
∵ ，
∴点B在点A右侧．
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴当 时， ，即 ，
解得： ．
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
两边平方，得： ，
整理，得： ，
∴ ．
综上可知 ．
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【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 ，以点A为中心，
顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（
）．
（1）如图①，当 时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点E落在 的延长线上时，求点D的坐标；
（3）当点D落在线段 上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点 作 轴，根据旋转得到 ，利用含30度角的直角
三角形的性质，求出 的长，即可；
（2）过点D作 轴于G， 于H，则 ，由勾股定理得出 的长，
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等面积法求出 ，进而求出 ，勾股定理求出 ，即可；
（3）连接 ，作 轴于G，由旋转的性质得出 ，由等腰三角形的性
质得出 ，得出 ，证出 ，由平行线的性质的 ，
证出 ，证明 ，得出 ，得出
，即可得出答案．
【小问1详解】
解：四边形 是矩形，点 ，点 ，
∴ ，
过点 作 轴，则： ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ；
【小问2详解】
过点D作 轴于G， 于H，如图所示：
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∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵矩形 ， ，
∴ ， ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 即： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点D的坐标为 ；
【小问3详解】
连接 ，作 轴于G，如图所示：
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由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形 的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性
质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，
属于中考压轴题．
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