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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年度第一学期期中练习题
年级：初三 科目：数学 班级：___________ 姓名：___________
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题28道小题．满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
4．考试结束后，试卷和答题纸一律上交．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后，就得到抛物线（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2. 如图， 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于（ ）
A. 68° B. 64° C. 58° D. 32°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC．
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【详解】解：∵ 是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ ，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已
知有关系的角．
3. 已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程 的一个根，则点P在（ ）
A. 的内部 B. 的外部
C. 上或 的内部 D. 上或 的外部
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若 ，则点P在 的外部，若
，则点P在 的内部，若 ，则点P在 上，即可解答．
【详解】解：解方程 可得， ， ，
∵点P到圆心O的距离d为方程 的一个根，
∴ ，
∴点P在 的内部，
故选A
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答
的关键．
4. 用配方法解一元二次方程x2-4x-7=0，可变形为（ ）
A. （x-2）2=7 B. （x-2）2=11 C. （x+2）2=7 D. （x+2）2=11
【答案】B
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【解析】
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】解：∵x2-4x=7，
∴x2-4x+4=7+4，即（x-2）2=11，
故选：B．
【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，
再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据函数图象，可以判断开口方向，对称轴的位置和抛物线与 轴交点位置，
记忆方法：开口向下， ，开口向上， ， 的符号结合对称轴位置即可判定， 的符号可直接读
取．
【详解】由题可知，抛物线开口向下；
∴ ；
∵对称轴 ，结合 ；
∴ ；
∵抛物线交 轴负半轴；
∴ ；
∴ ， ；
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∴点 位于第三象限；
故选
6. 如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 至 ，且 ，B， 三点共线．
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，以及等边对等角的性质及三角形的内角和、外角定理，平角定义等，熟
练运用这些知识是正确解题的关键．
根 据 旋 转 的 性 质 可 以 得 到 对 应 边 ， 对 应 角 ， 旋 转 角
，根据三角形的内角和及外角定理可求得旋转角进而即可求出 ．
【详解】解：由旋转可得： ， ， ，
， ，
，
，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，过点 作 的切线 ， ，切点分别是 ， ，连接 ．过 上一点 作 的切
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线，交 ， 于点 ， ．若 ， 的周长为4，则 的长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出 ， ， ，再
根据三角形周长等于4，可求得 ，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵ ， 是 的切线，切点分别是 ， ，
∴ ，
∵ 、 是 的切线，切点是D，交 ， 于点 ， ，
∴ ， ，
∵ 的周长为4，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
8. 如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 为边 上一点，过点 作
， ，垂足分别为 ， ，点 从点 出发沿 运动至点 ．设 ，
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，四边形 的面积为 ，在运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B. y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D. y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数
求最值．由等腰直角三角形的性质可得 ，再由 ， ，推出
和 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可
得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，四边形 是矩形，
， ，
，
即 ，
y与x满足一次函数关系，
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，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．
故选：A．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
9. 请你写一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与 轴无交点，这个二次函数可以是___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】开口向下，则二次项系数小于零，与 轴无交点，则顶点坐标的纵坐标小于零，由此即可求解，
本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，顶点式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得， ，
故答案为： （答案不唯一）．
10. 已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入方程 ， 然后解关于 的方程即可．
【详解】解：把 代入方程 得 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数
的值是一元二次方程的解．
11. 菱形 的对角线交于点 ，点 ，则点C的坐标为___________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标．熟练掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键．
由菱形的性质可知， 为 的中点，进而可求点C的坐标．
【详解】解：∵菱形 ，
∴ 为 的中点，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 抛物线 经过原点，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，将 代入解析式，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 经过原点，
∴
解得：
故答案为： ．
13. 如图， 是 的直径， 是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），
若 ，则 等于______．
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【答案】 ##35度
【解析】
【分析】首先可求得 的度数，再根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．
14. 已知二次函数 ，当自变量 分别取 ， ，2时，所对应的函数值分别为
，则 的大小关系为___________（用“>”或“<”连接）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出
的值，结合 ，即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
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，
，
为
故答案 ： ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A
的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为_______.
【答案】（3，2）．
【解析】
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，
故可得出答案．
【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD= OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
【点睛】本题考查 的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名
句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，吉祥物一开售，就深受大
家的喜爱，经统计，某商店4月份某款亚运会吉祥物的销售量为256件，6月份的销售量为400件，设该款
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吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．设月平均增长率为 ，根据4月及6月的销售量，即
可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设月平均增长率为 ，
根据题意得： ．
故答案为： ．
17. 已知一次函数 和二次函数 的部分自变量和对应的函数值如
下表：
x … 1 2 3 4 5 …
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 3 8 …
（1）二次函数的表达式为___________；
（2）关于x的不等式 的解集是___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数；
（1）把 ， ， 代入 ，求出a、b、c的值，即可得出 的表达式；
（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为 和 ， 时， ，从而得出不等式
的解集．
解题关键在于掌握对于二次函数 （a、b、c是常数， ）与不等式的关系，利用两个
函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函
数解析式列成不等式求解．
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【详解】解：（1）把 ， ， 代入 得：
，
解得：
∴ ；
故答案 ：为；
（2）当 时， ；当 时， ，
∴直线与抛物线的交点为 和 ，
而 时， ，
∴不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
18. 如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，以 为直径在x轴上方作半圆，直线l
的解析式为 ，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是___________．
【答案】 或
【解析】
的
【分析】根据题意得到当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点，利用等腰直角三角形 性质
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求出 ，然后利用勾股定理得到 ，然后利用 是
等腰直角三角形得到 ，进而得到 ，当直线l经过点O时，直线l与半圆有两
个公共点，得到 ，当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点，求出 ，进而结合图
形求解即可．
【详解】如图所示，直线与x轴的夹角为 ，当直线l与半圆相切时，直线l与半圆只有一个公共点，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∵点A的坐标为 ，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴此时 ，
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当直线l经过点O时，直线l与半圆有两个公共点，
∴此时 ，
当直线l经过点A时，直线l与半圆只有一个公共点，
∴将 代入 ，得
解得 ，
∴当 时，直线l与半圆只有一个公共点，
综上所述，当 或 时，直线l与半圆只有一个公共点．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解
题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决实际问题．
三、解答题（本题共64分，19题10分，20题5分，21题6分，22题5分，23-26题每题6
分，27、28题每题7分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
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（2） ，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）运用因式分解进行计算即可得；
（2）移项，系数化为1，运用配方法进程计算即可得；
掌握因式分解法，配方法是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
，
， ；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
， ．
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20. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 ，使得 ．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线l的下方取一点O；
（2）以点O为圆心， 长为半径画弧， 交直线l于点C，D（点C在左侧），连接CP；
（3）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点Q（点Q与点P位于直线l同侧）；
（4）作直线 ；所以直线 即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ___________（填推理的依据）．
∴ ___________．
∴ ___________（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析； （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查作图 复杂作图，
（1）根据要求作图即可；
（2）根据圆的有关性质和平行线的判定求解即可．
【小问1详解】
解：直线 如图所示．
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；
【小问2详解】
证明：连接
∵
∴ （在同圆中，等弦所对的弧相等）．
∴ （在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案为：在同圆中，等弦所对的弧相等； ；内错角相等，两直线平行．
21. 已知关于 的一元二次方程 （ 为实数），
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（2）若 为整数，且该方程有一个根是负整数，求 的值．
【答案】（1） 或 且
（2） 的值为
【解析】
【分析】（1）运用一元二次方程的根的判别式“ ”，解不等式即可求解；
（2）运用求根公式分别计算出方程的两个根据，根据方程有一个根是负整数，不等式的性质即可求解；
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元一次不等式，掌握根的判别式，求根公式，求不等式
的解集是解题的关键．
【小问1详解】
解：关于 的一元二次方程 （ 为实数），
∴ ， ， ，
∵方程有两个不相等的实数根，
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∴ ，整理得， ，
∴ ，解得， 或 ，
∵是关于 的一元二次方程，
∴ ，解得， ，
∴ 的取值范围为： 或 且 ．
【小问2详解】
解：关于 的一元二次方程 （ 为实数），
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ， ，
∵方程有两个不相等的实根，且该方程有一个根是负整数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的值为 ；
22. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如
图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．
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【答案】该门洞的半径为 ．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
设圆心为点O，洞高为 ，入口宽为 ，门洞的半径为 ，
根据题意，得 ， ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
答：该门洞的半径为 ．
23. 已知二次函数 ．
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（1）将 化成 的形式：___________；
（2）补全表格，则 ___________， ___________ ，并在坐标系中利用描点法画出次二次函
数的图象；
x … 0 m 2 n 4 …
y … 0 k 0 …
（3）若关于x的方程 在 的范围内有解，则t的取值范围是___________．
【答案】（1）
（2）1，3，图象见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可；
（2）令 ，即可求得 ， ，然后根据表格中数据描点、连线即可；
（3）由题意可知要使得方程在 的范围内有解，只需函数 与 有交点即可，由
图可知， 在 与 轴之间，进而可得 ．
【小问1详解】
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解： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
令 ， ，解得： ， ，
∴ ， ；
则，在坐标系中描点、连线：
故答案为：1，3；
【小问3详解】
∵ ，
∴ ，
即：方程 的解可看作函数 与 交点的横坐标，
要使得方程在 的范围内有解，只需函数 与 有交点即可，
由图可得： 在 与 轴之间，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的
关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．
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24. 如图， 为 的直径，C为 上一点， 于点E，交 于点F，直线 与直线
交于点H， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线，；
（2）若F为 中点， 半径为2，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质和已知求出 ，求出 ，即可得出答案；
（2）连接 ， ， ，证明四边形 是菱形，推出 是等边三角形，求得 ，
利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是半径，
即直线 是 的切线；
【小问2详解】
解：连接 ， ， ，
∵F为 中点，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，则四边形 是菱形，
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∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形性质，菱形的判定和性质，勾股定理， 直角三角形的
性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
25. 第 届杭州亚运会成功举办，中国女篮在最后时刻取得了令人振奋的胜利，黄思静在最后一秒稳稳地
抢下后场篮板，最后由王思雨完成绝杀，以 比 险胜日本成功卫冕亚运会冠军，如图1，球场上，一
名 米的运动员，当跳离地面的高度 米时，球在头顶上方 米处出手，然后准确落入篮框．已
知篮框中心到地面的距离为 米，当球与篮框的水平距离为 米时，达到最大高度 米．
（1）篮球出手处距离地面的高度是___________米；
（2）运动员投篮时站在三分线内还是三分线外，并说明理由（图2为篮球场平面示意图，三分线与篮框的
水平距离是 米）．
【答案】（1）
（2）运动员投篮时站在三分线内，理由见详解
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【解析】
【分析】（1）根据球员投球时的数量关系即可求解；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，可得顶点坐标为，设抛物线的解析式为 ，且抛
物线过 ，运用待定系数法即可求解抛物线解析式，当投球高度为 米可算运动员与蓝框的距
离，由此即可求解；
本题主要考查二次函数的实际运用，理解题目中数量关系，掌握顶点式解实际问题的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵一名 米的运动员，当跳离地面的高度 米时，球在头顶上方 米处出手，
∴篮球出手处距离地面的高度是 （米），
故答案为： ．
【小问2详解】
解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，
∵球与篮框的水平距离为 米时，达到最大高度 米，
∴投球的抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，已知篮框中心到地面的距离为 米，即抛物线过 ，
∴ ，解得， ，
∴抛物线的解析式为 ，
由（1）可知，球的出手高度为 米，即 ，
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∴ ，解得， ， （不符合题意，舍去），
∵ ，
∴运动员投篮时站在三分线内．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 在抛物线 上．
（1）①抛物线的对称轴为直线 ___________；
的
②当 时，抛物线在x轴下方，当 时，抛物线在x轴上方，求此时抛物线 表达式；
（2）若抛物线上存在点 ， ，其中 满足 且 ，使得
，求a的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）把 代入解析式，确定 ，代入 计算即可；；
（2）根据题意，结合对称轴 对称，可知抛物线经过 和 ，代入解析式确定 ， 的值即
可
（3）由二次函数的性质结合题意可知 ， ，由 可得
，则 ，进而可知 ，要使得 ，即
，只需要使得 成立即可，进而可得 ．
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【小问1详解】
解：①将 代入解析式 ，
得： ，解得： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
故答案为： ；
②∵抛物线的对称轴为直线 ，则设 ，
∴当 时， ，当 时， ，
即： 与 关于对称轴 对称，
∵当 时，抛物线在x轴下方，当 时，抛物线在x轴上方，
∴ ，即：抛物线经过 和 ，
将 和 代入解析式 ，
得： ，解得： ，
∴此时抛物线的表达式 ；
【小问2详解】
由（1）可知：抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ ，当 时， 随 的增大而增大，则 ，
， ，
则： ，
∵ ，
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∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，可得： ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵要使得 ，
即： ，
只需要使得 成立即可，
∴ ，
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对
称性，利用二次函数与不等式的性质得 ， 是解题的关键．
27. 在学习旋转时，老师提出这样一个问题：
已知 ，点 为其内部一点，在 与 上分别求作点 ，使得 为等腰直角三角形，
其中 ， ．
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以下是同学们思考后的两种正确作法：
作法1：如图1，作 于 ，以 为旋转中心将线段 顺时针旋转 到 ，作 交
于 ，连接 ，在 延长线确定一点 ，使得 ，连接 ，则 即为所
求．
作法2：如图2，过点 作 于点 ，以 为圆心， 为半径作图，交 于点 ，连接
．作 交 于 ，连接 ．作 交 于 ，连接 ，则 即
为所求，
（1）请选择其中的一个作法，证明它是正确的．
（2）从下列题目任选一题作答，
①如图3，若 ，在图1中，连接 ，交 于点 ．求证： ；
②如图4，若 ，在图2中，过点 作 ，交 于点 ．求证： ．
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【答案】（1）证明过程见详解
（2）证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）作法 1，根据题意证明 ；作法 2，根据题意证明
即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的判定和性质，可证 ，由此即求解；②证明方法同
①．
【小问1详解】
证明：作法1，∵ ， ，
∴ ，
∵以 为旋转中心将钱段 顺时针旋转 到 ，
∴ ， ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形；
作法2，∵ 于点 ，以 为圆心， 为半径作图，
∴ ，且 是 的直径，
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∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形．
【小问2详解】
证明：①如图所示，根据作图及证明可知 都是等腰直角三角形， ，
， ，延长 交 与点 ，连接 交 与点 ，连接 ， 与 交于
点 ， 与 交于点 ，
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∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴对角线 相互平分，点 是 的中点，
∵ ， ，即 ，
∴ ，且 ， ，
∴ ，
∴ ，则 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
同理， 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，即点 是 的中点，
∵点 是 的中点，
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∴ 是 的中位线，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，过点 作 延长线于点V， 与 交于点 ，连接 ，可得正方形 ，
是对角线，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，则延长 交于点 ，
证明方法同上， ， ，
∴ ， ， ，
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∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，作图，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，添加辅助线，构造三角形全等，中位线的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 （不在坐标轴上）给出如下定义：以 为圆心， 为半径的
与y轴的另一个交点为 ，若在线段 ， 上分别存在点 ， ，使得 为等腰直角三
角形，其中 ，则称点 是完美点．
如图，若点 的坐标为点 ，则在线段 ， 上分别存在点 ， ，使得 为
等腰直角三角形，其中 ，所以点 是完美点．
（1）下列点中是完美点的有___________（填序号）；
① ；②
（2）已知 为抛物线 上一点，若 为完美点，求 的取值范围：
（3）已知直线l： ，点 为直线 上一点，若以 为圆心，半径为 的 上无完美点，
求 的取值范围．
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【答案】（1）② （2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义分析，设 ，则 ，得出当 时，
是完美点，进而分别判断①，②；
（2）依题意， ，根据 为完美点，得出 ，解不等式，即可求解．
（3）依题意，当 时，半径为 的 上有完美点，则当 时，半
径为 的 上无完美点，依题意 ，解不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意， 是等腰直角三角形，
∴ ，
则 在半径为 的 上，
设 ，则 ，根据直线与圆的位置关系，可得，
当 时， 是完美点，
∵① ；②
∴ ，
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而 ，则 不是完美点
∵ ,
∴点 是完美点；
故答案为：②
【小问2详解】
解：∵ 为抛物线 上一点
∴
∵ 为完美点，
∴
即
即
解得:
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：如图所示，当 为圆心，半径为 的 上有唯一完美点，
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依题意，当 时，半径为 的 上有完美点，
∴当 时，半径为 的 上无完美点
∵ 在 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了几何新定义，勾股定理，二次函数的性质，一次函数的性质，解不等式,直线与圆的
位置关系，理解新定义是解题的关键．
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