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北京育才学校综合模拟 03
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A. 2 B. C. D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．
【详解】解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，且 ．
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．
2. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回
并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球
的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为 ，故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
3. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是菱形，则 的度数为（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC ；
∠ADC= β；
四边形 为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆
中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
5. 如图， 是 的直径， 是圆上两点，连接 ．若 ，则
的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径得出 ，求出 的度数，由圆周角定理即可推出 的度数．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角的有关定理，解题的关键是找到同弧所对的圆周角．6. 如图， 是 的一条弦， 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的半径
为（ ）AB ⊙O OD⊥AB C ⊙O D OA AB=4 CD=1 ⊙O
A. B. C. D.
5 3
【答案】D
【解析】
【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．
【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1，
∵OD⊥ AB，AB=4，
∴AC= AB=2，
在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，
∴r2=22+（r-1）2，
r= ，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
7. 抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是（ ）
A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出方程的两根，让两根之差的绝对值为4列式求值即可．
【详解】解：令y=0，则（x﹣1）2+t=0，
解得：x=1﹣ ，x=1+ ，
1 2
∵抛物线y=（x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，∴|x﹣x|=4，
1 2
∴（1+ ）﹣（1﹣ ）=4，
∴t=﹣4，
经检验t=﹣4是原方程的解．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和
性质是解题的关键．
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交
点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛
物线的对称性得出点 的对称点是 ，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ ，故①正确；∵抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴ ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴ ，即：b=-4a，
∵ ，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点 ，
∴ ，即： ，
∴m=-9a，即： ，故③正确；
∵若此抛物线经过点 ，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ 一定是方程 的一个根，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 二次函数 的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为__________．
【答案】【解析】
【分析】利用根的判别式的意义得到 ，然后解方程即可．
【详解】∵二次函数 的图象与x轴只有一个公共点，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （ 是常数， ）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程； 决定抛物线与x轴的交点个数．也考查
了二次函数的性质．
10. 如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ， ， ， ．若 ，
，则 的周长为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理和切线的性质可得， ， ， 平分 ，则
， 为等边三角形，先计算出 的长，即可得到 的周长．
的
【详解】解： 是 两条切线，
平分 ，，
， 为等边三角形，
在Rt 中， ，
的周长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理和等边三角形的
判定与性质，勾股定理．切线长定理是关键．
11. 如图， 分别切 于点A，B，Q是优弧 上一点，若 ，则 的度数是
________．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】连接 ，根据切线性质可得 ，再根据四边形的内角和为360°求得
，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 分别切 于点A，B，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答
的关键．
的
12. 如图1所示 铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘
轨道（如图2）需用此材料 mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
【答案】900
【解析】
【分析】由弧长公式l= 得到R的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得， = ，解得，R=900（mm）．
答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm．
故答案是：900．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l= ，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．13. 如图，圆锥的底面半径 ，高 ，则圆锥的侧面积等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据圆锥的侧面积计算公式可直接进行求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴圆锥的侧面积为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
14. 如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，连接 ．若
△
，则 ______ ．
【答案】50
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后
根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算
出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．
【详解】解： 绕点 逆时针旋转到 的位置，
△， ，
，
// ，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
15. 考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：_______________________________________________．
【答案】（1）作图见解析；（2）线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的
三个点确定一个圆．
【解析】
【分析】（1）直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；
（2）利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；
（2）作图的主要依据：
线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．16. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同
的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析
可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，即可得出“摸出黑球”的概率．
【详解】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，
故答案为：0.2．
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．
三、解答题（共68分，17题6分，18-23题，每题5分，24-26题，每题6分，27，28题，每
题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接用公式法进行求解；
（2）利用直接开平方法进行求解．
【小问1详解】
解： ，，
，
原方程的解为： ．
【小问2详解】
解： ，
或 ，
，
原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择正确合适的方法是解方程的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求得方程两根，再结合条件判断即可．
【小问1详解】
证明：依题意，得 ，
∵ ，
∴方程总有两个实数根；
【小问2详解】解： ．
，
得 ， ，
∵方程有一个根是正数，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的
判别式的关系是解题的关键．
19. 已知：如图所示， 绕点A，顺时针旋转50°，得到 ，当E在BC边上时：
（1）求证： ；
（2）连接BD，当 时，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，根据三角形的外角性质即可证明 ；
（2）根据旋转的性质得到 ，求得 ，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可知， ，
∵ 是 的外角，
∴ ，∴ ；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
20. 已知二次函数 ．
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 …（2）根据图象回答， 时，x的取值范围是____________；
（3）根据图象回答：当 时，y的取值范围____________．
【答案】（1）见详解；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据解析式将x代入求解y即可得到点的坐标，在坐标系中找到点用线连接起来即可得到答
案；
（2）由图像得到在x轴上方部分x的取值即是所求；
（3）由图像找到端点值坐标及函数最大值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴表格为
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
根据表格描点用平滑的线连接起来如下图，
；【小问2详解】
由（1）中图像可知，
当 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：由（1）中图像可知，
时， ，
时， ，
时， ，
∴当 时， ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查根据二次函数解析式确定点坐标与画图像，利用图像解不等式，解题的关键是熟练掌握
二次函数与不等式之间的关系．
21. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形
后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求
剪掉的正方形纸片的边长．
【答案】4cm
【解析】
【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽
是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解.
解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264．
整理，得 x2 -25x + 84=0．
解方程，得 ， （不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．
22. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，点 旋转后的对应点为 ．
（1）画出旋转后的图形 ，并写出点 的坐标；
（2）求点 经过的路径 的长（结果保留π）．
【答案】（1）见解析，点 的坐标为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）将点 分别绕点 顺时针旋转 得到其对应点，再与点 首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：由题意得， ，
，
所以点 经过的路径 的长为 ．
【点睛】本题主要考查作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．
23. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，
需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿
者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中
随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
【答案】(1)随机；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【详解】(1)根据随机事件的概念，A志愿者被选中是随机事件上，
故答案为：随机．(2)
由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A，B两名志
愿者同时被选中的有2种.
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）=
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
24. 如图， ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点
N，连接AM△．
（1）求证：AM＝BM；
（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2） +
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可求得AF＝BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM＝BM；
（2）连接AO，BO，可求得∠ACB＝60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在
Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由 ，可求得CM，则可求得BC的长．
【详解】（1）证明：
∵直径DE⊥AB于点F，∴AF＝BF，
∴AM＝BM；
（2）连接AO，BO，如图，
由（1）可得 AM＝BM，
∵AM⊥BM，
∴∠MAF＝∠MBF＝45°，
∴∠CMN＝∠BMF＝45°，
∵AO＝BO，DE⊥AB，
∴∠AOF＝∠BOF＝ ，
∵∠N＝15°，
∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝ ．
∴∠AOF＝∠ACB＝60°．
∵DE＝8，
∴AO＝4．
在Rt△AOF中，由 ，得AF＝ ，
在Rt△AMF中，AM＝ ＝ ．得BM= AM＝ ，在Rt△ACM中，由 ，得CM＝ ，
∴BC＝CM+BM＝ + ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，在（2）中注意在不同的直角三角形中利用勾股定理是解
题的关键．
25. “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个
问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸
片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为 ．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径 ，作射线 ，过点 作 的垂线 ；
②如图2，以点 为圆心， 为半径画弧交直线 于点 ；
③将纸片⊙O沿着直线 向右无滑动地滚动半周，使点 ， 分别落在对应的 ， 处；
④取 的中点 ，以点 为圆心， 为半径画半圆，交射线 于点 ；
⑤以 为边作正方形 ．
正方形 即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线 为⊙O的切线，其依据是________________________________．
的
（2）由②③可知， ， ，则 _____________， ____________（用含 代
数式表示）．
（3）连接 ，在Rt 中，根据 ，可计算得 _________（用含 的代数式表示）．由此可得 ．
【答案】（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2） ， ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据切线的定义判断即可．
（2）由 =AC+ ， 计算即可；根据 计算即可．
（3）根据勾股定理，得 即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．
【详解】解：（1）∵⊙O的直径 ，作射线 ，过点 作 的垂线 ，
∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）根据题意，得AC=r， = =πr，
∴ =AC+ =r+πr，
∴ = ；
∵ ，
∴MA= -r= ，
故答案为： ， ；
（3）如图，连接ME，
根据勾股定理，得
=
= ；故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的
定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
的
（1）抛物线 对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶
点为P，若 OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=△4时，抛物线上有两点M（x
1
，y
1
）和N（x
2
，y
2
），若x
1
＜2，x
2
＞2，x
1
+x
2
＞4，试判断y
1
与y
2
的大小，并说明理由．
【答案】（1）y=-x2-6x-5．（2）点P的坐标（1，1）．（3）y＞y．
1 2
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；
（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
【详解】（1）抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x2-6x-5．
（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（ ， ），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴ =
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x，y）和N（x，y）在抛物线上，
1 1 2 2
且x＜2，x＞2，
1 2
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．
∵x+x＞4，
1 2
∴2-x＜x-2，
1 2
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y＞y．
1 2
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，平移的性质，顶点坐标的确定，函数值大小的确定，解本题的关键是熟练掌握抛物线的性质，是一道中等难度的中考常考题．
27. 在 中， ， 于点D， 于点E，连接 ．
（1）如图1，当 为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想 与 之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明．
（2）如图2，当 为钝角时，直接写出线段 ， ， 的数量关系．
【答案】（1）①图形见解析；猜想： ， 理由见解析；②见解析；
（2）线段 ， ， 的数量关系： ．
【解析】
【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出 ， ，即可
得出 ；
②在 上截取 ，可证出 是等腰直角三角形，得出 ，可证明
，得出 ， ，可推出 ，
证出 是等腰直角三角形，即可得出结论 ；
(2) 在 上截取 ，连接 ，由 ， ，可得 ，由可得 ，可证 ，可得 ， ，可
推出 ，可得 是等腰直角三角形故 ，即可得线段 ， ， 的数量
关系．
【小问1详解】
解：①依题意，补全图形，如图1所示．
猜想： ，
理由如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
②证明：如图2，在 上截取 ，
连接
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：依题意补全图形，如图3所示，
在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴线段 ， ， 的数量关系： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证
明三角形全等是解题的关键．
在
28. 平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直
线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l
关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，
①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的
“视角”；
②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；
（2）⊙C的半径为1，
①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（ ，0），若直线l关于⊙C的“视
角”为60°，求k的值；
②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y = x + 关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐
标x 的取值范围．
C
【答案】（1）① 90，60；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3） .
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由题意可知，点P关于⊙O的“视角”是指从点P引出两条射线，当两条射线和⊙O相切时，两条射线
所形成的的夹角就是点P关于⊙O的“视角”；直线 关于⊙O的“视角”是指当直线 与⊙O相离时，直线
上的点Q距离圆心O最近时，点Q关于⊙O的“视角”就是直线 关于⊙O的“视角”；由此可根据已知
条件解答第一问；
（2）①由题意可知，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，则说明在直线 上存在一点P距离点C最近，且点
P关于⊙C的“视角”为60°，则此时点P是 与以点C为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C作CH⊥ 轴于点H，PE⊥ 轴于点E，由已知分析可得DP=DH= ，∠PDE=60°，在△PDE中可求得
DE和PE的长，得到点P的坐标，把P、D的坐标代入直线 的解析式可求得k的值；
②如图2，由已知易得直线 与 轴相交于点A（-1，0），与 轴相交于点B（0， ），若此时直线 关
于⊙C的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC的长，可得点C的坐标；如图3，当沿着 轴向左移动时，
直线 关于⊙C的视角会变大，当直线 和⊙C相切于点P时，由已知条件可求得OC的长，可得此时点C
的坐标；综合起来可得 的取值范围.
试题解析：
（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；
∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为
C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，
即直线y=2关于⊙O的视角为60°.
②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B
（0，2）.
（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（ ，0），
∴ .
∴ .∴直线l: .
设点P在直线 上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．
∵直线l关于⊙C的 “视角”为60°，
∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.
∴CP⊥直线l.
即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．
作过点C作CH⊥ 轴于点H，PE⊥ 轴于点E，
∴点H的坐标为（1，0），
又∵点D的坐标为 ，
∴DH = =PD．
∴tan∠CDH= ，
∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，
∴DE=PD cos60°= ，PE= PD sin60°=3，
∴OE=DH-DE-OH= ，
∴点P的坐标（ ，3）．
把点P的坐标代入l: ，解得： k= ．②如图2，由已知易得直线 与 轴相交于点A（-1，0），与 轴相交于点B（0， ），
若此时直线 关于⊙C的视角∠EPF=120°，
则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，
∴PC= ，AC= ，
∴OC=AC-OA= ，
∴此时 = ；
如图3，当沿着 轴向左移动时，直线 关于⊙C的视角会变大，当直线 和⊙C相切于点P时，连接CP，
∵在△ABO中，AO=1，BO= ，
∴tan∠BAO= ，
∴∠BAO=60°，
∴AC= ，
∴OC=AC-OA= ，
∴此时 = ，
综上所述， 的取值范围为： .点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引
两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于
这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.
