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门头沟区 2020—2021 学年度第一学期期末调研试卷
九年级数学
2021年1月
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式解析式的性质解答．
【详解】抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质， 的顶点坐标是（h，k）．
2. 的半径为3，点 在 外，点 到圆心的距离为 ，则 需要满足的条件（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的关系解答.
【详解】∵点 在 外， 的半径为3，
∴点 到圆心的距离为 >3，
故选：A.
【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r
时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．
3. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（ ）A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先证明△BDA∽△ADC，然后再根据相似三角形的性质列出比例式，最后代入已知数据计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵AD⊥ BC，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴△BDA∽△ADC，
∴ ，即 ，解得：DC＝ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件证得△BDA∽△ADC是解答本题的关键．
4. 点 ，点 ，在反比例函数 的图象上，且 ，则（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的性质知 的图像在各象限内y随x的增大而减小即可得到结果．
【详解】由题意知 的图像在一，三象限，且每个象限内y随x的增大而减小，又 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查反比例函数图像的性质：当k大于0时，在各象限内y随x的增大而减小，难度一般．
5. 如图，在 中， ， ，则 的度数是（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得
的度数．
【详解】解： ， ，
．
故选： ．
【点睛】此题考查了圆周角定理，此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧
或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半定理的应用．
6. 如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】解：由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即求得这个多边形的
边数为360÷60=6．故答案选D.
考点：多边形外角与边数的关系．7. 在大力发展现代化农业的形势下，现有 、 两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做
了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 100 300 500 1000 3000
出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97
出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以 、 两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加， 种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽
的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种， 种子的出芽率可能会高于 种子．其中合理的是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解
答可得．
【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种
子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽
的概率是0.97，故(②推断合理；
③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96， 种子的出芽率可能
会高于 种子，故正确，
故选：D．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．
8. 如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路
线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似
满足函数关系 ．下图记录了原子滑车在该路段运行的 与 的三组数据 、
、 ，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水
平距离 满足（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式，再根据对称轴或者
顶点可求出答案．
【详解】由图得A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），代入解析式：
，解得 ，则 ，
当 时，滑车运行到最低点，所以 ，即 ，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 如图：在 中， ， ， ，则 ________．
【答案】9
【解析】【分析】由 ，证得△ADE∽△ABC，推出 ，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴相似比= ，
∵ ， ，
∴AB=AD+BD=3，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比
的平方，由此证明三角形相似解答．
10. 如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 ，则该二次函数表达式可以为______．（任意写出一
个符合条件的即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】函数图象的开口方向故a<0，对称轴为直线x=1，得h=1，取k的任意值代入即可得到函数解析式．
【详解】由题意设 ，
∵二次函数图象开口向下，对称轴为 ，
∴a=-1，h=1，
当k=1时，函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查二次函数的性质，熟记顶点式解析式 中各字母的值与函数图象的关系
是解题的关键．
在
11. 如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4，则cosA=___________．【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴cosA=
故答案为： ．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；
正切等于对边比邻边．
12. 如图，圆心角为120°，半径为4的弧，则这条弧的长度为是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长的公式 进行计算即可．
【详解】解：根据弧长的公式 ，
得到： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
13. 如图所示的网格是正方形网格，则 ______°（点 ， ， ， 是网格线交点）
【答案】45
【解析】
【分析】做线段BA关于BC的对称线段BE，连接DE，先证明 ，再证明
△BDE为等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，问题得证．
【详解】解：如图，做线段BA关于BC的对称线段BE，连接DE，
则∠ABC=∠EBC，
∴ ，
根据勾股定理得 ， ， ，
∴BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBE=45°，
∴ ．
故答案为：45【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理在网格中应用，根据题意作出线段BA关于BC的对称线段BE是
解题关键．
14. 已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm．
【答案】
【解析】
【详解】分析：运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径．
详解：∵正方形的边长为2,
由中心角只有四个可得出：
∴中心角是：
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC
∵
∴
故答案为
点睛：考查正多边形和圆，涉及垂径定理，解直角三角形，比较简单.15. 抛物线 向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是______．
【答案】 +3
【解析】
【分析】根据抛物线平移的规律解答．
【详解】解：抛物线 向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是 +3，
故答案为： +3．
【点睛】此题考查抛物线平移的规律：左右平移时，x的值左加右减；上下平移时，h值上加下减；熟记规
律是解题的关键．
16. 如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，
到图③的位置停止运动．如果设运动时间为 ，三角形与正方形重叠部分的面积为 ，在下面的平面直角
坐标系中，线段 表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象， 点表示的是停止运动后图象的结束
点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是______．
【答案】乙
【解析】
【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前，重叠部分为直角三角形．当三角形即将出正方形之后，
重叠部分为直角梯形．利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象．
【详解】设直角三角形的底为a，高为b，运行速度为v．由题意可知当三角形没全进入正方形之前，重叠部分为与原三角形相似的直角三角形．
∵重叠部分的直角三角形的底为vx，
∴根据三角形相似，可知： ，
即重叠直角三角形的高 ，
∴ ，
∵a， b， v都为常数且大于0，
∴ 是一个开口向上的曲线．
当三角形即将出正方形之后，重叠部分为去掉与原三角形相似的直角三角形的直角梯形．
为
设正方形边长 l，
则该梯形的高为 ，下底为b，
根据三角形相似可知： ，
即梯形上底 ，
∴ ．
∵a， b， v，l都为常数且大于0，
∴ 中 项的系数为 ，
∴ 是一个开口向下的曲线．
∴只有乙符合．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象．理解三角形运动过程中的分界点，利用三角形和梯形的面积公式列出关于x的方程来判断其图象是解题关键．
三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出
答案．
【详解】解：原式 ．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：已知：如图1，在 中， ，请在图中的
内（含边），画出使 的一个点 （保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步
骤找到了点 ：
①以 为直径，做 ，如图2；
②过点 作 的垂线，交 于点 ；
③以点 为圆心， 为半径作 ，分别交 、 边于 、 ，在劣弧上任取 一点 即为所
求点，如图3．
问题：
（1）在②的操作中，可以得到 ______°（依据：______）
（2）在③的操作中，可以得到 ______°（依据：______）
【答案】（1）90；直径所对的圆周角等于90度 （2）45；同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．【解析】
【分析】根据作图的步骤和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵ 为直径，
∴ 90°，此种作法的依据是直径所对的圆周角等于90°；
（2）∵ 为直径
∵∠ANB=90°
∵ 45°，此种作法的依据是同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
的
故答案为:（1）90；直径所对 圆周角等于90度 （2）45；同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一
半．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
19. 已知二次函数 ．
（1）用配方法将其化为 的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系 中，画出它的图象．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；
（2）利用二次函数解析式找出顶点坐标和该函数与x轴的交点，画出二次函数图象即可．
【详解】解：（1） .
（2）∵ ，
∴ 顶点坐标为 (1,−4) ，对称轴方程为 x=1 ．∵ 该函数的开口向上，顶点坐标为 (1,−4) ，
与x轴的交点为 (3,0) ， (-1,0) ，
∴ 其图象为：
【点睛】本题考查二次函数的配方法，用特殊点画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．
20. 如图，点 是反比例函数 的图象上的一点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）设直线 与双曲线 的两个交点分别为 和 ，当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】（1）将点P代入 ，可求得m的值，从而可得反比例函数的解析式．
（2） 将点P代入 ，可求出k的值．然后根据两解析式组成的方程组可求得 点的坐标，结合图像，当 时，即直线 的图像在 图像的上方，由P、 的坐标可得到x的取值范围．
【详解】解：（1） 点 在反比例函数 的图象上，
由 得 .
反比例函数的解析式为 .
的
（2） 点 在反比例函数 图象上，
，
由 得
当 时，即直线 的图像在 图像的上方
或 .
【点睛】本题考察反比例函数解析式的求法及比较大小问题，利用好数形结合思想是解决本题的关键．
21. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后
开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点 处测得旗杆顶部 的仰角 为45°，旗杆底部 的俯角 为60°．室外测量组测得 的
长度为5米，求旗杆 的高度．
【答案】 米
【解析】
【分析】此题根据题意作 ，利用 和 分别求出PB，AP
即可求出AB的长．
【详解】解：过点 作 于点 ，
在 中， ， ， ， ，
在 中， ， ，
米．
【点睛】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．
22. 如图，已知 是 的直径，点 在 的延长线上， ， 切 于点 ，交 于点
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，如果 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，由OA=OD，BA=BE，得 ，从而OD//BE；由PD切圆
O于点D得 ，从而 ，即BE⊥PC；
（2）在Rt PDO中，先求出∠POD=60°，再求出OD，OP，PB，在Rt PCB中，求出PC，再求CD，最
后在Rt CD△O中，利用勾股定理求出OC. △
△
【详解】（1）证明：连结 .
， ，切圆 于点 ， ，
， ， ，
，
.
（2）解： ， ，
，
， ，
， ，
， .
， ， ，
， ，
（舍负）.
故答案为： .
【点睛】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作
辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
23. 已知：抛物线 经过点 和 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 点关于对称轴的对称点为 ，抛物线 与线段 恰有一个公共点，结合函数
图象，求 的取值范围．【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先根据点B坐标和对称轴求出点E坐标，然后通过图象求出临界状态时a的值，即可得到范围．
【详解】解：（1）把 和 分别代入 ，
得： ，解得： ，
抛物线的表达式为： ；
是
（2） ，对称轴 直线 ，
点关于对称轴的对称点 点坐标为 ，
如图，当 过 、 点时为临界点，代入 ，则 ，
代入 ，则 ，
．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握二次函数解析式的求解方法，函数图象和已知线段有交点
时函数解析式中系数范围的求解方法．
24. 在菱形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ， ，将线段
绕点 逆时针旋转 并延长得到射线 ，交 的延长线于点 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ；
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系：_____________________________．【答案】（1）见解析（2）见解析（3） .
【解析】
【分析】（1）按照题目中的条件结合图形旋转的性质补全图形即可；
（2）要证明 成立，连接BE，根据条件证明 ≌ 即可；
（3）由（2）可得：EG=BC,BG=EC,所以AE+BG=AE+EC=AC,然后在等腰三角形ABC中，利用等腰三角
形的性质和勾股定理可得AC= BC,从而得出结论.
【详解】（1）补全图形，如图1所示．
图1 图2
（2）方法一：
证明：连接BE，如图2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴ ．
．
由菱形的对称性可知，，
．
．
．
，
．
．
在 与 中，
∴ ≌ ．
．
方法二：
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3．
图3
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．，
．
是菱形ABCD的对角线，
∴ ．
．
由菱形的对称性可知，
， ．
，
．
．
在 与 中，
∴ ≌ ．
．
（3）由（2）得，EC=BG，EG=BC
在三角形ABC中，BA=BC，
．
考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰三角形的性质；4.勾股定理.
25. 在平面直角坐标系 中，对于任意三点 、 、 我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距
相等，我们称这三点为“等距点”．
已知：点 ，点 ：
（1）在点 ， ， 中，与点 、 为等距点的是______；
（2）点 为 轴上一动点，若 、 ， 三点为等距点， 的值为______；
（3）已知点 ，有一半径为1，圆心为 的 ，若 上存在点 ，使得 ， ， 三点
为等距点，直接写出 的取值的范围．
【答案】（1）点 ； （2）-2或3 ； （3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“等距点”的定义即可判断；
（2）根据“等距点”的定义构建方程即可解决问题；
（3）根据“等距点”的定义画出图形即可．
【详解】解：（1）已知 ，点 ， ， ， 中，代入R、S、T，得
3-(-2)=5，5-0=5，符合等距点；3-(-2)=5,1-(-2)=3，不符合等距点；1-(-4)=5，1-(-3)=4不符合等距点；
∴符合等距点的是R(3,5)
故答案为R．
（2）∵A、B、P为等距点，∴横距=3=纵距，
①t＞1时，t-0=1-（-2），解得t=3
②0＜t＜1时，纵距=1(舍去)③t＜0时，1-t=1-（-2），解得t=-2，
故答案为-2或3．
（3）由A(-2，0)，D(2，0)，圆心为 ，半径为1，
∴Q点的横坐标的范围为： ，
∴Q点的横坐标不是最大或最小，
∴横距=4，则纵距也等于4，
即圆经过y=4或y=-4的直线，故 或
画出如图所示的图像.
【点睛】本题考查了“等距点”的定义，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用．
