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顺义区 2019——2020 学年度第一学期期末九年级教学质量检测数学试
卷
一、选择题
1. 2019年6月5日12时06分，长征十一号运载火箭在我国黄海海域成功实施首次海上发射，以“一箭七
星”方式，将七颗卫星送入约600000米高度的圆轨道，填补了我国运载火箭海上发射空白．将600 000用
科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数据600000科学记数法表示为6×105．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列多边形中，内角和是外角和的2倍的是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形 的内角和公式（n﹣2）•180°以及多边形的外角和等于360°列方程求出边数，
从而得解．
【详解】解：设多边形边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，所以，这个多边形是六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，熟记公式并列方程求出多边形的边数是解题的关键．
3. 如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定 AOB与 DOC相似的是（ ）
△ △
A. AB∥CD B.
C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，
故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，
且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
4. 关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（ ）
A. 将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象
B. 将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象
C. 将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象
D. 将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象
【4题答案】【答案】D
【解析】
【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;
B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;
C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;
D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状
与大小的关键.
5. 在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+cosB的值为（ ）
△
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
则sinA+cosB＝ + ＝ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
6. 已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
（2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
（3）作直线PQ，连接BP．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A. AP＝BQ B. PQ∥AB
C. ∠ABP＝∠PBQ D. ∠APQ+∠ABQ＝180°
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图过程即可判断．
【详解】解：∵
∴AP＝BQ，
∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA，
∴∠APQ+∠PAB＝180°．
∴∠APQ+∠ABQ＝180°．
所以A、B、D选项正确，C选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理．
7. 如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，
④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A. ②④ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
【7题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵ ，
∴ ， ，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8. 抛物线 经过点(1，0)，且对称轴为直线 ，其部分图象如图所示．对于此抛物线
有如下四个结论：① ＜0； ② ；③9a-3b+c=0；④若 ，则 时的函数值小
于 时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ③④
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；
②根据抛物线的对称轴方程即可判断；
③根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标
为（﹣3，0），即可判断；
④根据m＞n＞0，得出m﹣1和n﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断．
【详解】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣ ＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，
所以③正确；
∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐
标特征．
二、填空题
9. 若分式 有意义，则m的取值范围是____________．
【9题答案】
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴2m+6≠0，
解得：m≠﹣3．
故答案为：m≠﹣3．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
10. 若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是__________．
（写出一个即可）【10题答案】
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】解：∵反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴该反比例函数中，常数 ，如 等（答案不唯一，只要 即可）.
故答案为： （答案不唯一）
11. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，若BE=2，则CD的长为_______．
【11题答案】
【答案】8
【解析】
【分析】连接OC，求出OE＝3，根据垂径定理得出CE＝ED＝ CD，然后在Rt△OEC中由勾股定理求
出CE的长度，即可求出CD的长度．
【详解】解：如图，连接OC．
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝OC＝5，
∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝ED＝ CD．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝3，OC＝5，
∴CE＝ ＝4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为8．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识；由勾股定理求出CE是解决问题的关键．
12. 如图，分别以线段BD的端点B、D为圆心，相同的长度为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接
AB、AD、CB、CD．若AB＝2， ，则四边形ABCD的面积为_______________．
【12题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的判定求出BE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式计
算，得到答案．
【详解】解：连接AC，交BD于点E，
由作图可知，AC所在的直线是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，BE＝ED＝ ，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝1，
∴四边形ABCD的面积＝ ×1×2＝ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上是解题的关键．
13. 小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜
子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m. 他的眼睛距地面
1.5m，那么该建筑物的高是_________．
【13题答案】
【答案】15m
【解析】
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到
△ABP∽△CDP，得到 代入数值求的CD的值即可．
【详解】解：
∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴ ，
即： ，
解得：CD＝15（米）．故答案为：15m
【点睛】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形是解决本题关
键．
14. 已知：如图，在平面直角坐标系 中，点A在抛物线 上运动，过点A作AC⊥x轴
于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AB= AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB
的最小时，即AC的值最小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°
∴AC=
∴AB= AC，
∵y=x2-4x+6
=（x-2）2+2，
∴当x=2时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求
解更简便．
15. 在△ABC中，∠A=30°， ， ，则BC的长为________．
【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】作CD⊥AB于D，如图所示：求得∠ADC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到CD＝
AC＝3，由勾股定理得到AD＝ ，于是得到结论．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝30°，AC＝6，
∴CD＝ AC＝3，
∴AD＝ ，
∵AB＝2 ，
∴BD＝AD﹣AB＝ ，
∴BC＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几
何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形
内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【16题答案】
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，
得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为 =17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
考点：三角形的内切圆与内心．
三、解答题
17. 计算： ．
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】首先计算开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式 的值是多少即可．
【详解】解：原式=
==
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数
是解题关键．
18. 解不等式组：
【18题答案】
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组可化为
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握解不等式的方法是解题关键．
19. 先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2，其中x=﹣3．
【19题答案】
【答案】x﹣5，﹣8．
【解析】
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x＝−3代入化
简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x+1）2
=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2﹣4x﹣1
=x﹣5，
当x=﹣3时，原式=﹣3﹣5=﹣8．
【点睛】本题考查整式的混合运算——化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20. 如图，矩形 中，点E是边 上的一点，且 ．求证：BE⊥CE．【20题答案】
【答案】见解析
【解析】
【分析】易证△ABE∽△DEC，所以∠ABE＝∠CED，由于∠A＝90°．所以∠ABE+∠AEB＝90°，所以
∠CED+∠AEB＝90°．从而可证明∠BEC＝90°．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴△ABE∽△DEC．
∴∠1=∠2．
∵∠A =90°．
∴∠1+∠3=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠BEC=180°-（∠2+∠3）=90°．
∴BE⊥CE．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
21. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去
往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半
径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海轮从B
处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【21题答案】
【答案】（1）70.7海里；（2）有触礁的危险，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作PD⊥AB于点D，由PA=100，∠APD=60°，∠BPD=45°知∠A=30°，从而得PD=50，再
由BD=PD=50知PB=50 ≈70.7．
（2）过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，由OE≈56.07＜60即可判断．
【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D．依题意可知，PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°．
∴∠A＝30°．
∴PD＝50．
在△PBD中，BD＝PD＝50，
∴PB＝50 ≈70.7．
答：B处距离灯塔P约70.7海里．
（2）依题意知：OP＝150，OB＝150﹣50 ．
∴海轮到达B处没有触礁的危险．
过点O作OE⊥AB，交AB延长线于点E，
∵∠OBE＝∠PBD＝45°，
∴OE＝OBsin∠OBE＝（150﹣50 ）× ＝75 ﹣50≈56.07＜60，
∴海轮从B处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PD的长是
解题关键．
22. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC边上的一个动点，（不与B、C重
合）在AC边上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y．
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
②求y的最小值．
【22题答案】
【答案】（1）见解析；（2）① ，②1
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝
∠EDC，根据相似三角形的判定定理证明结论；
的
（2）①根据相似三角形 性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式；
②根据二次函数的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45°+∠2，
∴∠1=∠2．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：①∵△ABD∽△DCE，
∴ ．
∵AB=AC=2，BD=x，AE=y，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴ ．
② ∵ ，
∴y的最小值是1．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，掌握相似三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作
EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；
（2）若BC=5，sin∠ABC= ，求EF的长．
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到 ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，根据等腰三角形的
性质和角平分线的定义得到∠1=∠△3．求得OE∥BF．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到 ．根据勾股定理得到AC=12．根据矩形的性质即可得到结论．
【详解】（1）补全图形如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．
连接OE，
∴OE=OB．
∴∠2=∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴OE∥BF．∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE，
∴EF是 ABC外接圆的切线；
△
（2）在Rt ABC中，BC=5，sin∠ABC= ，
△
∴ ．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=12．
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，
∴四边形CFEH是矩形．
∴EF=HC，∠EHC=90°．
∴EF=HC= AC=6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，切线的判定，
正确的画出图形是解题的关键．
24. 如图，A是 上一动点，D是弦BC上一定点，连接AB，AC，AD．设线段AB的长是xcm，线段
AC的长是 cm，线段AD的长是 cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 ， 随自变量x的变化的关系进行了探究．下面是小腾的探究
过程，请补充完整：（1）对于点A在 上的不同位置，画图、测量，得到了 ， 的长度与x的几组值：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8
x/cm 0.00 0.99 2.01 3.46 4.98 5.84 7.07 8.00
/cm 8.00 7.46 6.81 5.69 4.26 3.29 1.62 0.00
/cm 2.50 2.08 1.88 2.15 2.99 3.61 4.62 m
请直接写出上表中的m值是 ；
（2）在同一平面直角坐标系 中，描出补全后表中各组数据所对应的点(x， )，(x， )，并画出函
数 ， 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AC=AD时，AB的长度约为 cm；当AC=2AD时，AB的长度
约为 cm．
【24题答案】
【答案】（1）5.5；（2）见解析；（3）5.7，4.2
【解析】
【分析】（1）由位置可知，AB＝0时，即AB两点重合，此时AC＝BC＝8，AD＝BD＝2.5，再根据当y ＝
1
AC时，即A与重合即可求出表格中m＝CD．
（2）根据表中数据描点连线即可．
（3）根据函数图象分别找出y＝y 和y＝2y 时对应的x即可．
1 2 1 2的
【详解】解：（1）表中 m值是5.5；
（2）如下图
（3）结合函数图象，解决问题：
当AC=AD时，AB的长度约为5.7cm；
当AC=2AD时，AB的长度约为4.2 cm．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，注意利用数形结合的思想思考问题.
25. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，正方形OABC的顶点B在函数 (k ≠ 0，
x<0) 的图象上，直线 ： 与函数 (k ≠ 0，x<0) 的图象交于点D，与x轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当一次函数 的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；
②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．【25题答案】
【答案】（1）-4；（2）①(-1，1)，(-1，2)，(0，1)，②2＜b≤3
【解析】
【分析】（1）依题意得到B（﹣2，2），于是得到结论；
（2）①根据题意求得一次函数的解析式为y＝﹣x+2，得到D（1﹣ ，1+ ），E（2，0），于是得到
结论；
②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，即可得到b的取值范围是2＜b≤3．
【详解】解：（1）依题意知：B（-2，2）
∴反比例函数解析式为 ．
∴k的值为-4．
（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，
∴E（2，0），
解 得， ， ，
∵x＜0
∴D（1﹣ ，1+ ），
∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，
∴b的取值范围是2＜b≤3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向左平移3个单位长
度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P(-1,-m)，Q(-3,1)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
【26题答案】
【答案】（1）B(-3，-m)；（2）x＝ ；（3）-1≤m＜0
【解析】
【分析】（1）根据抛物线 与y轴交于点A，将点A向左平移3个单位长度，得到点B，
可以先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标；
（2）根据题目中的点A的坐标和（1）中求得的点B的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到m的取值范围．
【详解】解：（1）依题意得：A（0，-m）∴B（-3，-m）
（2）∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为x＝ ；
（3）当m＞0时，点A（0，-m）在y轴负半轴，
此时，点P，Q位于抛物线内部（如图）．
所以，抛物线与线段PQ无交点．
当m＜0时，点A（0，-m）在y轴正半轴，
当AQ与x轴平行，即A（0，1）时（如图2），
抛物线与线段PQ恰有一个交点Q（-3，1）．
此时，m=-1．
当m＞-1时（如图3），结合图象，抛物线与线段PQ无交点．
当-1＜m＜0时（如图4），结合图象，抛物线与线段PQ恰有一个交点．
综上，m的取值范围是-1≤m＜0
【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解
答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．
27. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动．
作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF
（1）依题意补全图形；
（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；
（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．【27题答案】
【答案】（1）见解析；（2）EF=DE+BF，见解析；（3）2π
【解析】
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，证明△CDH≌△CBF（SAS）．得出CH＝CF，∠DCH＝
∠BCF．证明△ECH≌△ECF（SAS）．得出EH＝EF．即可得出结论；
（3）确定点G的运动轨迹，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）补全图形如图1．
（2）线段DE，EF，BF的数量关系是 EF=DE+BF
证明：延长AD到点H，使DH=BF，连接CH（如图2）．
易证△CDH≌△CBF．
∴CH= CF，∠DCH=∠BCF．
∵∠ECF=45°，
∴∠ECH=∠ECD+∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°．
∴∠ECH=∠ECF=45°．
又∵CE= CE，
∴△ECH≌△ECF．
∴EH= EF．
∴EF=DE+BF．
（3）点G运动的路线长为2π【点睛】本题考查是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的
判定和性质、角平分线的性质定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题，属于中考压轴题．
28. 在平面直角坐标系xOy中，若点P和点 关于x轴对称，点 和点 关于直线l对称，则称点 是
点P关于x轴，直线l的二次对称点．
（1）如图1，点A(0，-1)．
①若点B是点A关于x轴，直线 ：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ；
②点C (-4，1)是点A关于x轴，直线 ：x=a的二次对称点，则a的值为 ；
③点D(-1，0)是点A关于x轴，直线 的二次对称点，则直线 的表达式为 ；
（2）如图2， O的半径为2．若 O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线 ：x = b的二次对称
⨀ ⨀
点，且点M′在射线 （x≥0）上，b的取值范围是 ；
（3）E( ，t)是y轴上的动点， E的半径为2，若 E上存在点N，使得点N′是点N关于x轴，直线 ：
0 ⨀ ⨀
的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．
【28题答案】【答案】（1）①(4，1)，②-2，③y =- x；（2）b的取值范围是-1≤b≤ ；（3）-4≤t≤4
【解析】
【分析】（1）①根据题目中二次对称点的定义，可以求得点B的坐标；
②根据题目中二次对称点的定义，可以求得a的值；
③根据题目中二次对称点的定义，可以求得直线l 的表达式；
3
（2）根据题意可以画出相应的图形，利用分类讨论的方法即可解答本题；
（3）根据题意和对称的二次对称点的定义，根据题目中的图形，可以求得t的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：（1）① 点B的坐标为 （4，1）
② a的值为-2
③直线l3的表达式为y =- x
（2）如图2，
设⨀O与x轴的两个交点为 （-2，0）， （2，0），
与射线 (x≥0)的交点为 ，则 的坐标为（1， ）．
关于x轴的对称点为 ．
当点M在 的位置时，b=-1，
当点M在 的位置时，b=1，
当点M在 的位置时，b=1，
当点M在劣弧 上时（如图3），-1≤b≤1，
当点M在劣弧 上时（如图4），b的值比1大，当到劣弧 的中点时，达到最大值（如图5），最大值为 ．综上，b的取值范围是-1≤b≤ ．
（3）∵x轴和直线 关于直线 对称，
直线 和直线 关于x轴对称，
∴⨀E只要与直线 和 有交点即可．
∴t 的取值范围是：-4≤t≤4
.
【点睛】本题是一道一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、和圆有关的计算、对称变换，解答本题
的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的方法
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