文档内容
北京景山学校 2022~2023 学年度第一学期
七 年 级 数 学 期 末 试 卷
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题 2 分，共 16 分）
1. 在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和可求解 的一内角为 ，进而可判断三角形的形状．
【详解】解：设这个三角形为 ，且 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. a.a2=a3 C. 3a6÷a3=3a2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方法则分别进行计算，然后选择正确选
项．
【详解】A．不是同类项项，不能合并，故本选项错误；
B．a•a2=a3，计算正确，故本选项正确；
C．3a6÷a3=3a3，计算错误，故本选项错误；
D．（ab）3=a3b3，计算错误，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方等运算，掌握运算法则是解答
第1页/共24页
学科网（北京）股份有限公司本题的关键．
3. 如图，红旗中学七年级（6）班就上学方式作出调查后绘制了条形图，那么乘车上学的同学人数占全班
人数的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】乘车的同学占全班的比例为 ，计算即得答案．
【详解】解：由图中得乘车上学的人数是8人，全班人数为24+8+16＝48（人），
∴乘车上学 同学人数占全班人数的 ，
的
故选：B．
【点睛】本题考查了条形统计图，熟练掌握观察条形统计图的方法来解答．
4. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与 全等的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
B选项符合边角边判定，
故选B．
第2页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．
5. 已知 ， ，则 的值是（ ）
A. 6 B. 18 C. 36 D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方得出 ，再代入数据即可得出
答案．
【详解】解：当 ， 时，
，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方，正确变形、计算是解题的关键．
6. 已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对
应点D的坐标为（ ）
A. （1，2） B. （2，9） C. （5，3） D. （–9，–4）
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A(−1，4)的对应点为C(4，7)，
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B(−4，−1)的对应点D的坐标为(1，2).
故选：A
7. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180（n﹣2）=1080，
解得：n=8．
故选C．
第3页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程．
8. （n为非负整数）当 ，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了 展开后
各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为 展开式中所有项系数的和应该
是（ ）
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
【答案】C
【解析】
【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，
•••
当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，
第4页/共24页
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律即可求解．
二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
9. 已知点P的坐标是 ，则点P到x轴的距离是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求解．
【详解】解：因为点P的坐标是 ，
所以点P到x轴的距离是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 轴的距
离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
10. 如图， ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为_______ ．
△
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD-BE=2
11. 若 ，则m=______，n=______．
【答案】 ①. 4 ②. 8
【解析】
【分析】根据平方差公式，进行乘法运算，找到m、n的值便可求解．
【详解】解：
第5页/共24页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：4，8．
【点睛】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键．
12. 若 是完全平方式，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵ ， 是完全平方式，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面
积为_____cm2
【答案】6
【解析】
【分析】根据角平分线的性质计算即可；
【详解】作 ，
第6页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴ ；
故答案是6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
14. 在 中， 是 边上的中线，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】延长 到E，使 ，可证得 ，可得 ，再根据三角形的三边
关系，即可求解．
【详解】解：如图，延长 到E，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
第7页/共24页
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，根据题意得到
是解题的关键．
15. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角
的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：
“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【解析】
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
【详解】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
16. 如图 1，△ABC 中， AD 是∠BAC 的平分线，若 AB＝AC＋CD，那么∠ACB与∠ABC 有怎样的
第8页/共24页
学科网（北京）股份有限公司数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图 2，延长 AC 到 E，使 CE＝CD，连接 DE．由 AB＝AC＋CD，可得 AE＝AB．又因为AD是
∠BAC 的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC 的数量关系．
（1）判定△ABD 与△AED 全等的依据是__________；
（2）∠ACB 与∠ABC 的数量关系为：_________．
【答案】 ①. SAS ②.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AE＝AB，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
故答案为：SAS；
（2）
理由如下：
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的
关键．
三、解答题（本题共 68 分，第 17 题 6 分，第 18 题-20 题每题 5 分，第 21 题 6 分，
第22-24 题，每题 5 分，第 25-26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分)解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程.
第9页/共24页
学科网（北京）股份有限公司17. 计算：
（1）
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18. 已知 ，求 ， 的值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
第10页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式 是解答本题的关键．
19. 如图， ， 交于点 ， . 请你添加一个条件 ，使得
，并加以证明.
【答案】添加条件 （ 或 ）,理由见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【详解】添加条件 （ 或 ）.
证明：∵ ，∴ .
在 和 中，
∴ .
添加OD=OC或AD=BC同法可证．
为
故答案 OA=OB或OD=OC或AD=BC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题.
第11页/共24页
学科网（北京）股份有限公司20. 如图，在 中， 于 D， 平分 ．若 ， ，求 的
度数．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据垂直的定义得到 ，利用角平分线的定义得到 ，再根据三角
形内角和定理计算即可；
【详解】解：∵ 于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∵ ， ，
第12页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线 的性质计算是解题的关键．
21. 已知点 .
（1）若点 在第三象限，求 的取值范围；
（2）点 到 轴的距离为11，求点 的坐标.
【答案】（1）
（2）点P的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标若在第三象限可知 ，进而问题可求解；
（2）根据点P到y轴的距离为11可知 ，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
解得： ；
【小问2详解】
解：由题意得： ，
解得： 或 ，
∴当 时，则 ；
当 时，则 ，
∴点P的坐标为 或 ．
第13页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查点的坐标所在的象限，熟练掌握点的坐标的几何意义是解题的关键．
22. 已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2+c2=2ab+2bc-2b2，请你判断△ABC的形状，并说明理
由．
【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
【详解】解： ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+c2=2ab+2△bc-2b2
∴a2-2ab+ b2+ b2- 2bc +c2=0
∴（a-b）2+（b-c）2=0
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于CD
（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】要使点 到 的距离等于 ，只能是 的角平分线，按照角平分线的作图方法作出图
形即可．
【详解】解：作出 的角平分线和 交于点 ，如下图所示：
【点睛】本题主要考查角平分线 的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及角平分线的画法是解决本
题的关键．
第14页/共24页
学科网（北京）股份有限公司24. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取
部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下
列问题：
抽取的学生作业时间统计表
组别 调查结果 人数（人）
A 120
B a
C 180
D 90
（1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数 ______；
（2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数；
（3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议．
【答案】（1）600，210
（2）该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人
（3）建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据总人数=A组人数÷A组所占百分比，总人数×B组百分比，即可求出本题答案；（2）
1500×不低于90分钟学生的百分比，即可求出结果；（3）合理即可．
【小问1详解】
这次调查抽取学生的总人数是600，B组的学生人数 ；
故答案为：600，210；
【
小问2详解】
第15页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（人），
答：该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人；
【小问3详解】
该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数占比高达45%，建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．
（答案不唯一，理由合理即可，没有结合数据得1分）
【点睛】本题考查统计表和扇形统计图，考查数据处理和分析的能力，解题关键在从不同的图中读出相应
的统计量．
25. 如图， 中，点D是 边上一点，点E是 的中点，过点C作 交 的延长线于
点F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据点E是 的中点，得出 ，再根据平行线的性质得出 ，
，即可解得．
（2）根据平行线的性质得出 ，再根据 得出 ，再根据已知可得
，即可求得．
【小问1详解】
证明：∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
第16页/共24页
学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质
等知识，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26. 如图，已知 、 是 的边 、 上的高，P是 上的一点，且 ，Q是 的
延长线上的一点，且 ，求证： 且 ．
【答案】见解析
【解析】
第17页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【分析】先利用 定理证出 ，再根据全等三角形的性质可得 ，
，然后根据直角三角形的两个锐角互余、等量代换即可得．
【详解】证明： 、 是 的边 、 上的高，
， ，
，
．
在 和 中，
，
．
， ．
又 ，
，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，正确找出两个全等三角形是
解题关键．
27. 如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ，且 ．
第18页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（1）求a，b的值；
（2）在y轴的上存在一点M，使 ，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作 轴交y轴于点D，点P为线段 延长线上一动点，连接 平分
， ．当点P运动时 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【答案】（1）
（2） 或 ，
（3） 的值是定值， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可进行解答；
（2）先根据A、B、C的坐标求出求出 的值，再根据y轴上点的坐标特征，设 ，最后根据
三角形的面积公式将 表示出来即可；
（3）根据 ，得出 ， ，再根据 平分 得
出 ， 进 而 得 出 ， 最 后 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出
即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵ ，
第19页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，则 ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴点C到x轴距离为2，
∴ ，
∵当M在y轴上时，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
【小问3详解】
如图2中，结论： 的值是定值，
理由：∵ ，
∴ ，
第20页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌
握相关知识点并灵活运用．
28. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式 ，若将其写成
的 形 式 ， 就 能 看 出 不 论 字 母 取 何 值 ， 它 都 表 示 正 数 ； 若 将 它 写 成
的形式，就能与代数式 建立联系．下面我们改变 的值，研究一
下 ， 两个代数式取值的规律：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
10 5 2 1 2 5
17 p 5 2 1 2
（1）表中p的值是 ；
（2）观察表格可以发现：
第21页/共24页
学科网（北京）股份有限公司若 时， ，则 时， ．我们把这种现象称为代数式A参
照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式 参照代数式 取值延后，请直接写出 的值．
【答案】（1）10 （2）① ；②7
【解析】
【分析】（1）将 代入即可求得；
（2）① ；
②由①可得 ，设延后值为 ， ，则可求 ．
【小问1详解】
解：将 代入 得， ，
故答案为：10；
【小问2详解】
代数式 参照代数式 取值延后，相应的延后值为2，
， ， ^
；
② 代数式 参照代数式 取值延后，
设延后值为 ，
时， ，
时， ，
，
，
，
第22页/共24页
学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为7．
【点睛】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
