文档内容
2024 年新高考Ⅰ卷真题知识点平行模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新高考全部内容。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式可得集合 ，进而可得 .
【详解】 , ，
所以 ，
故选：B．
2．设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】借助复数的四则运算与模长定义计算即可得.【详解】由题意可得 ，
所以 ．
故选：B.
3．已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
解得 .
故选：D
4．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 ，再根据和角公式计算即可.
【详解】因为 ，
又 ，即 ，则 ，
所以 ，故 .
故选：D
5．如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某
规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥的半径为 ，高为 ，母线长为 ，结合题意面积比得到 ，再计算二者的体积比即
可.
【详解】设圆锥的半径为 ，高为 ，母线长为 ，
则母线长为 ，
所以圆锥的侧面积是 ，
半球的面积 ，
由题意可得 ，
解得 ，
所以圆锥的体积为 ，半球的体积为 ，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为 ，
故选：A.
6．已知 ，函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 是减函数，所以 ．
又因为函数 5） 图像的对称轴是直线 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故选:A．
7．函数 在 上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将函数 在 上的零点个数问题转化为函数
的图象的交点的个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意函数 在 上的零点，即为 ，即 的根，
也即函数 的图象的交点的横坐标，
作出 的图象如图示：
由图象可知在 上两函数图像有3个交点，
故函数 在 上的零点个数为3，
故选：C
8．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列 ：1，1，2，3，5，8…，其中从第3
项起，每一项都等于它前面两项之和，即 ， ，这样的数列称为“斐波那契数列”.
若 ，则 （ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
【答案】B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得
，然后将 中的 倍展成和的形式（如 ）即可
求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， ，
由 ，得 ，所以 ，
，
，
，
将这 个式子左右两边分别相加可得：
，
所以 .
所以
.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随机变量 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．随机变量X的密度曲线比随机变量 的密度曲线更“矮胖”
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答.
【详解】随机变量 ，对于A，当 时， ，故A正
确；
对于B，由于 ，则随机变量 的密度曲线比随机变量 的密度曲线更“矮胖”，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，
而 ，因此 ，故D错误．
故选：ABC.
10．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值域是
B．任意 且 ，都有
C．任意 且 ，都有
D．规定 ，其中 ，则
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性和单调性判断AB；作出函数 的图象，结合图形即可判断C；根据递推公式
可得 的表达式即可判断D.
【详解】A： ，则 为奇函数，
当 时， ，当 时， ，
故函数 的值域为 ，故A错误；
B： ，则 为奇函数，又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故函数 在R上单调递增，故B正确；
C：作出函数 的图象，如图，
由图可知，函数 上为上凹函数，
则对于 ，设 ，
则 为图中A点对应函数值， 为图中B点对应函数值，
所以 ，故C正确；
D：由 ，
得 ， ，
，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
11．（多选）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺
术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的 符号，我们把形状类似 的曲线称为“ 曲线”．在平面
直角坐标系 中，把到定点 ， 距离之积等于 的点的轨迹称为“ 曲线” ．已知点 是“ 曲线” 上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“ 曲线” 关于原点 中心对称
B．
C．“ 曲线” 上满足 的点 有两个
D． 的最大值为
【答案】AB
【分析】对A，设动点 ，求出轨迹方程判断A的正误；对B，通过三角形等面积法转化求解推出
，判断B的正误；对C，通过 ，则 在 的中垂线即 轴上．说明
，即 ，仅有一个，判断C的正误；对D，因为 ，利用余弦定理得
，结合 ，得 ，判断D的正误．
【详解】对A，设动点 ，由题意可得 的轨迹方程为 ，把 关
于原点对称的点 代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；
对B，因为 ，故 ，
又 ，所以 ，
即 ，故 ，故B正确；
对C，若 ，则 在 的中垂线即 轴上．
故此时 ，代入 ，
可得 ，即 ，仅有一个，故C错误；对D，因为 ，
故 ， ，
因为 ， ，
故 ．
即 ，
所以 ．
又 ，当且仅当 ， ， 共线时取等号．
故 ，
即 ，解得 ，故D错误．
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：根据距离之积的关系得 ，根据多三角形问题，利用互补和余弦定理得
.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知F，A分别是双曲线 的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双
曲线于M，N两点，若 ，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】由条件根据双曲线的对称性可得 ，从而可求离心率.【详解】设 ，将 代入 ，得 ，所以 ，
因为 ，且 ，由双曲线的对称性可知， ,
所以 ，即 ,即 ，
所以 ，即 ，
，
所以双曲线的离心率为2，
故答案为：2.
13．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 .
【答案】 /
【分析】根据导数的几何意义可得曲线 在点 处的切线方程，再次利用导数的几何意义求得
的切点 ，从而得解.
【详解】因为 的导数为 ，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又切线 与曲线 相切，设切点为 ，
因为 ，所以切线斜率为 ，解得 ，
所以 ，则 ，解得 .
故答案为； .
14．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，
小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，
这5个数字未知，且 为奇数，则 的概率为 .9 7
4 5
【答案】
【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；
【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：
a b c d e
2 1 6 3 8
2 1 8 3 6
6 1 2 3 8
6 1 8 3 2
8 1 2 3 6
8 1 6 3 2
2 3 6 1 8
2 3 8 1 6
6 3 2 1 8
6 3 8 1 2
8 3 2 1 6
8 3 6 1 2
共有12种等可能的结果，其中 的结果有8种，
所以 的概率为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 ．(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）利用正弦定理求出 即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 的周长为 .
16．已知椭圆C关于x轴，y轴都对称，并且经过两点 ， ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l经过椭圆C的左焦点且垂直于椭圆的长轴，与椭圆C交于D，E两点，求 的面积．【答案】(1) ；
(2) .
【分析】
（1）设出椭圆方程 ，代入点的坐标，求出椭圆方程；
（2）在第一问的基础上，得到D､E两点的坐标，从而求出三角形的面积.
【详解】（1）
依题意，设椭圆方程为： ，
则有 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）
由（1）知，椭圆 的左焦点为 ，直线l的方程为： ，
将 代入 中，解得： ，不妨设 ，
则 ，而点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积 .
17．如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中， ，点 为弧 的中点，且 四点共面.
(1)证明： 四点共面；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 长.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】
（1）连接 ，由题意可得 ，根据平行线性质有 ，即可证结论；
（2）法1：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角列方程求线段长；法2：取 中点 ，连接
，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，利用线面垂直及面面角定义有
是平面 与平面 所成的夹角，根据已知列方程求线段长.
【详解】（1）连接 ，因为 ，
所以直棱柱的底面为等腰直角三角形， ，
在半圆 上， 是弧 中点，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 四点共面.
（2）法1：直棱柱中 ，以 为原点，建立如图空间直角坐标系，设 ，则 ，
设面 的法向量为 ，则 ，取 ，所以 ，
，
设面 的法向量为 ，则 ，取 ，所以 ，
平面 与平面 所成夹角，即 与 夹角或其补角，
所以 ，解得 ，所以
法2：设 ，由（1）知 四点共面，则面 面 .
取 中点 ，连接 ，则 ，而 面 ， 面 ，
故 ， ， 面 ，则 平面 ，
过 作 于 ，又 平面 ，所以 平面 ，
过 作 于 ，连接 ，则 ，又 是锐角.所以 是平面 与平面 所成的夹角，则 ，
所以在Rt 中， ，
在 中，根据等面积法 ，
在 中， .
所以 .
所以 ，解得 ，即 ，
所以 .
18．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在 ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 的值，若不存在，说明理由.
(3)证明： 时， 在 上不存在极值
【答案】(1)
(2)存在 满足题意，理由见解析.
(3)证明见解析【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最
后求解切线方程即可；
（2）首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法
可得关于实数 的方程，解方程可得实数 的值，最后检验所得的 是否正确即可；
（3）求出函数的导函数 ，令 ， ，利用
导数说明函数的单调性，即可得到 的单调性，从而得证.
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .即存在 满足题意.
（3）因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，
则 ，
当 时 ，所以 在区间 上单调递增，
则 ，
又 ，所以 恒成立，即 在 上单调递减，
故函数 在 上不存在极值.
19．对于数列 ，数列 称为数列 的差数列或一阶差数列. 差数列的差数列，称为 的
二阶差数列.一般地， 的 阶差数列的差数列，称为 的 阶差数列.如果 的 阶差数列为常数
列，而 阶差数列不是常数列，那么 就称为 阶等差数列.
(1)已知20，24，26，25，20是一个 阶等差数列 的前5项.求 的值及 ；
(2)证明：二阶等差数列 的通项公式为 ；
(3)证明：若数列 是 阶等差数列，则 的通项公式是 的 次多项式，即 （其中 （
）为常实数）【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义直接进行求解，得到 ，并根据二阶差数列的第4项为 ，求出一阶差数列的
第5项为 ，得到方程，求出 ；
（2）令 ，根据二阶等差数列的定义得到 ，再利
用累加法求出 ；
（3）数学归纳法证明出 为 的 次多项式，利用引理可证出结论.
【详解】（1） 的一阶差数列为4，2， ， ；二阶差数列为 ， ， ；
三阶差数列为 ， ， 为常数列，故 为三阶等差数列，即 ，
二阶差数列的第4项为 ，故一阶差数列的第5项为 ，即 ，故 .
（2）令 ，
因为 是二阶等差数列，所以 ，
因此 ，
所以
，命题得证.（3）证明：先证一个引理：记 ， 是 的 次多项式，
数学归纳法：当 时， 是 的2次多项式，
假设 是 的 次多项式，对 都成立，
由二项式定理， ，规定 ，
将 取0，1，2，…， ，得 ， ，
，……， ，
求和可得
，
则 ，
故 是 的 次多项式，引理得证.
回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是 的2次多项式，
假设 阶等差数列 的通项公式是 的 次多项式，
对于 阶等差数列，它的差数列 是 阶等差数列，即 ，
故 ，
由引理可知，此为 的 次多项式，命题得证.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公
式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合
等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
