文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
专题四 三角函数与解三角形
4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换
五年高考
高考新风向
1.(回归教材)(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
m m
A.-3m B.- C. D.3m
3 3
2.(2024全国甲理,8,5分,中)已知 cosα = ,则tan( π)= ( )
√3 α+
cosα−sinα 4
√3
A.2√3+1 B.2√3-1 C. D.1-√3
2
3. (2024新课标Ⅱ,13,5分,中)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan α·
tan β=√2+1,则sin(α+β)= .
考点1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020课标Ⅱ理,2,5分,易)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
2.(2022全国甲理,8,5分,中)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了
计算圆弧长度的“会圆术”.如图,A´B是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D
CD2
在 A´B上,CD⊥AB.“会圆术”给出 A´B的弧长的近似值 s 的计算公式:s=AB+ .当
OA
OA=2,∠AOB=60°时,s=( )
11−3√3 11−4√3 9−3√3 9−4√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.(2023全国乙文,14,5分,易)若θ∈( π),tan θ=1,则sin θ-cos θ= .
0,
2 3考点2 三角恒等变换
sinθ(1+sin2θ)
1.(2021新高考Ⅰ,6,5分,易)若tan θ=-2,则 = ( )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
1+√5 α
2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,易)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( )
4 2
3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A. B. C. D.
8 8 4 4
1 1
3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,易)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( )
3 6
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
9 9 9 9
4.(2020课标Ⅰ理,9,5分,易)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
√5 2 1 √5
A. B. C. D.
3 3 3 9
5.(2021全国甲,文11,理9,5分,中)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α= ( )
0,
2 2−sinα
√15 √5 √5 √15
A. B. C. D.
15 5 3 3
6.(2022新高考Ⅱ,6,5分,中)若sin(α+β)+cos(α+β)=2 cos( π)sin β,则 ( )
√2 α+
4
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1三年模拟
练速度
1.(2024广东深圳一模,1)若角α的终边过点(4,3),则sin( π)= ( )
α+
2
4 4 3 3
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
2.(2024浙江宁波二模,2)若α为锐角,sin α=4,则sin( π)= ( )
α+
5 3
4+3√3 4−3√3 3+4√3 3−4√3
A. B. C. D.
10 10 10 10
3.(2024湖南长沙师大附中月考,5)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重
合 , 终 边 经 过 点 (-1,t), 若 sin α=2√5, 则 tan( π)=
α−
5 4
( )
1 1
A.-3 B.- C.3 D.
3 3
2
1 cos π
5
4.(2024甘肃二诊,7)计算 3 + = ( )
2cos π 4
5 cos π
5
1
A.2 B.- C.-1 D.-2
2
cos2θ
3√2
5.(2024山东新高考联合质量测评,7)已知 (π )= ,则sin 2θ= ( )
cos −θ 4
4
1 1 7 7
A.- B. C.- D.
4 4 16 16
3
6.(2024安徽皖北协作区联考,6)已知tan(α-β)= ,sin(α-β)=3cos(α+β),则tan α-tan β= (
4
)
1 3 6 5
A. B. C. D.
2 5 5 3
7.(2024河北石家庄二模,7)已知α∈( π),且cos( π)=2cos 2α,则tan( π)= ( )
0, α− α+
2 4 4A.√3 B.√5 C.√7 D.√15
8.(2024湖南长沙长郡中学二模,7)已知sin α-cos α=1,0≤α≤π,则sin( π)= ( )
2α−
5 4
17√2 17√2
A.- B.
50 50
31√2 31√2
C.- D.
50 50
9.(2024福建莆田二模,7)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,把它的
终边绕原点逆时针旋转角β后经过点(4 , 3) tan β= 5 ,β∈ ( 0, π) ,则sin α= ( )
5 5 12 2
16 33 56 63
A. B. C. D.
65 65 65 65
2cosθ+isinθ 4
10.(2024广东广州二模,12)已知复数z= (θ∈R)的实部为0,则tan 2θ=
1+i 3
.
11.(2024广东揭阳二模,13)已知sin2α=sin 2α,则tan α= ,tan( π)= .
α+
4
练思维
1.(2024江苏南通二模,8)若cos α,cos( π),cos( π) 成等比数列,则sin 2α=( )
α− α+
6 3
√3 √3
A. B.-
4 6
1 1
C. D.-
3 4
(23π )
sin −2α
2.(2024湖北百校联考,6)已知α∈( π),tan( π)=2 ,则 18 的值为 ( )
0, α+ √2
2 9 (π )
cos +α
9
4√2 1 2√3 7
A.- B. C. D.
9 3 3 3
3.(2024东北三省三校第二次模拟,7)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象
2 sin2α−cos2α+1
相邻两对称轴之间的距离为π,若sin α+f(α)= ,则 的值为( )
3 1+tanα4 4 5 5
A. B.- C. D.-
9 9 9 9
4.(2024福建厦门二模,7)已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),则tan α= ( )
√3 √3
A. B.-
3 3
C.√3 D.-√3
5.(2024 广东广州一模,8)已知 α,β 是函数 f(x)=3sin( π)-2 在 ( π) 上的两个零点,则
2x+ 0,
6 2
cos(α-β)= ( )
2 √5
A. B.
3 3
√15−2 2√3+√5
C. D.
6 6
6.(2024 辽宁鞍山二模,8)已知 α,β 均为锐角,sin α=3sin βcos(α+β),则 tan α 取得最大值
时,tan(α+β)的值为 ( )
A.√2 B.√3 C.1 D.2
7.(多选)(2024浙江温州二模,9)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,
P(-3,4)为其终边上一点,若角β的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称,则 ( )
3
A.cos(π+α)=
5
π
B.β=2kπ+ +2α(k∈Z)
2
7
C.tan β=
24
D.角β的终边在第一象限
8.(2024江苏南京、盐城一模,14)已知α,β∈( π),且sin α-sin β=-1,cos α-cos β=1,则
0,
2 2 2
tan α+tan β= .
练风向
1.(新定义理解)(多选)(2024安徽芜湖二模,10)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点
b+a
O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边,其终边经过点 M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义 f(θ)=
m
b−a
,g(θ)= ,则 ( )
mA. f(π)+g(π)=1
6 6
B. f(θ)+f2(θ)≥0
f(θ) 3
C.若 =2,则sin 2θ=
g(θ) 5
D. f(θ)g(θ)是周期函数
2.(创新知识交汇)(2024 重庆质量检测,14)已知 x ,x 为方程 x2-[ 1 1 ]x+2=0
1 2 −
tanβ tan(α+β) 3
的两个实数根,且α,β∈(
0,
π),x
1
=3x
2
,则tan α的最大值为 .
2
专题四 三角函数与解三角形
4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换
五年高考
高考新风向
1.(回归教材)(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( A )m m
A.-3m B.- C. D.3m
3 3
2.(2024全国甲理,8,5分,中)已知 cosα = ,则tan( π)= ( B )
√3 α+
cosα−sinα 4
√3
A.2√3+1 B.2√3-1 C. D.1-√3
2
4. (2024新课标Ⅱ,13,5分,中)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan α·
2√2
tan β=√2+1,则sin(α+β)= - .
3
考点1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020课标Ⅱ理,2,5分,易)若α为第四象限角,则 ( D )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
2.(2022全国甲理,8,5分,中)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了
计算圆弧长度的“会圆术”.如图,A´B是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D
CD2
在 A´B上,CD⊥AB.“会圆术”给出 A´B的弧长的近似值 s 的计算公式:s=AB+ .当
OA
OA=2,∠AOB=60°时,s=( B )
11−3√3 11−4√3 9−3√3 9−4√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.(2023全国乙文,14,5分,易)若θ∈( π),tan θ=1,则sin θ-cos θ= -√10 .
0,
2 3 5
考点2 三角恒等变换
sinθ(1+sin2θ)
1.(2021新高考Ⅰ,6,5分,易)若tan θ=-2,则 = ( C )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
1+√5 α
2.(2023新课标Ⅱ,7,5分,易)已知α为锐角,cos α= ,则sin = ( D )
4 23−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A. B. C. D.
8 8 4 4
1 1
3.(2023新课标Ⅰ,8,5分,易)已知sin(α-β)= ,cos αsin β= ,则cos(2α+2β)= ( B )
3 6
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
9 9 9 9
4.(2020课标Ⅰ理,9,5分,易)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( A )
√5 2 1 √5
A. B. C. D.
3 3 3 9
5.(2021全国甲,文11,理9,5分,中)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α= ( A )
0,
2 2−sinα
√15 √5 √5 √15
A. B. C. D.
15 5 3 3
6.(2022新高考Ⅱ,6,5分,中)若sin(α+β)+cos(α+β)=2 cos( π)sin β,则 ( C )
√2 α+
4
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1三年模拟
练速度
1.(2024广东深圳一模,1)若角α的终边过点(4,3),则sin( π)= ( A )
α+
2
4 4 3 3
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
2.(2024浙江宁波二模,2)若α为锐角,sin α=4,则sin( π)= ( A )
α+
5 3
4+3√3 4−3√3 3+4√3 3−4√3
A. B. C. D.
10 10 10 10
3.(2024湖南长沙师大附中月考,5)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重
合 , 终 边 经 过 点 (-1,t), 若 sin α=2√5, 则 tan( π)=
α−
5 4
( C )
1 1
A.-3 B.- C.3 D.
3 3
2
1 cos π
5
4.(2024甘肃二诊,7)计算 3 + = ( D )
2cos π 4
5 cos π
5
1
A.2 B.- C.-1 D.-2
2
cos2θ
3√2
5.(2024山东新高考联合质量测评,7)已知 (π )= ,则sin 2θ= ( D )
cos −θ 4
4
1 1 7 7
A.- B. C.- D.
4 4 16 16
3
6.(2024安徽皖北协作区联考,6)已知tan(α-β)= ,sin(α-β)=3cos(α+β),则tan α-tan β= (
4
C )
1 3 6 5
A. B. C. D.
2 5 5 3
7.(2024河北石家庄二模,7)已知α∈( π),且cos( π)=2cos 2α,则tan( π)= ( D
0, α− α+
2 4 4)
A.√3 B.√5 C.√7 D.√15
8.(2024湖南长沙长郡中学二模,7)已知sin α-cos α=1,0≤α≤π,则sin( π)= ( D )
2α−
5 4
17√2 17√2
A.- B.
50 50
31√2 31√2
C.- D.
50 50
9.(2024福建莆田二模,7)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,把它的
终边绕原点逆时针旋转角β后经过点(4 , 3) tan β= 5 ,β∈ ( 0, π) ,则sin α= ( A )
5 5 12 2
16 33 56 63
A. B. C. D.
65 65 65 65
2cosθ+isinθ 4
10.(2024广东广州二模,12)已知复数z= (θ∈R)的实部为0,则tan 2θ=
1+i 3
.
11.(2024 广东揭阳二模,13)已知 sin2α=sin 2α,则tan α= 0 或 2 ,tan( π)= 1
α+
4
或 - 3 .
练思维
1.(2024江苏南通二模,8)若cos α,cos( π),cos( π) 成等比数列,则sin 2α=( B )
α− α+
6 3
√3 √3
A. B.-
4 6
1 1
C. D.-
3 4
(23π )
sin −2α
2.(2024湖北百校联考,6)已知α∈( π),tan( π)=2 ,则 18 的值为 ( D
0, α+ √2
2 9 (π )
cos +α
9
)
4√2 1 2√3 7
A.- B. C. D.
9 3 3 33.(2024东北三省三校第二次模拟,7)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象
2 sin2α−cos2α+1
相邻两对称轴之间的距离为π,若sin α+f(α)= ,则 的值为( D )
3 1+tanα
4 4 5 5
A. B.- C. D.-
9 9 9 9
4.(2024福建厦门二模,7)已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),则tan α= ( D )
√3 √3
A. B.-
3 3
C.√3 D.-√3
5.(2024 广东广州一模,8)已知 α,β 是函数 f(x)=3sin( π)-2 在 ( π) 上的两个零点,则
2x+ 0,
6 2
cos(α-β)= ( A )
2 √5
A. B.
3 3
√15−2 2√3+√5
C. D.
6 6
6.(2024 辽宁鞍山二模,8)已知 α,β 均为锐角,sin α=3sin βcos(α+β),则 tan α 取得最大值
时,tan(α+β)的值为 ( D )
A.√2 B.√3 C.1 D.2
7.(多选)(2024浙江温州二模,9)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,
P(-3,4)为其终边上一点,若角β的终边与角2α的终边关于直线y=-x对称,则 ( ACD )
3
A.cos(π+α)=
5
π
B.β=2kπ+ +2α(k∈Z)
2
7
C.tan β=
24
D.角β的终边在第一象限
8.(2024江苏南京、盐城一模,14)已知α,β∈( π),且sin α-sin β=-1,cos α-cos β=1,则
0,
2 2 2
8
tan α+tan β= .
3
练风向
1.(新定义理解)(多选)(2024安徽芜湖二模,10)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点b+a
O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边,其终边经过点 M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义 f(θ)=
m
b−a
,g(θ)= ,则 ( ACD )
m
A. f(π)+g(π)=1
6 6
B. f(θ)+f2(θ)≥0
f(θ) 3
C.若 =2,则sin 2θ=
g(θ) 5
D. f(θ)g(θ)是周期函数
2.(创新知识交汇)(2024 重庆质量检测,14)已知 x ,x 为方程 x2-[ 1 1 ]x+2=0
1 2 −
tanβ tan(α+β) 3
的两个实数根,且α,β∈(
0,
π),x
1
=3x
2
,则tan α的最大值为 1 2
√2
.
2
