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7.4 几何法求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异
面直线 与 所成角的大小为（ ）
A．30° B．90° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】如图，在正方体中，连接 交 于 ，连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，所
以 ，所以异面直线 与 所成角即 与 所成角，易知 ．
故选C．
2．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中，点E为 的中点， ，且
，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
连接 ，由 可得 或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又 面 ，
面 ，则 ，
则 ，同理可得 ， ，则 ，
，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中， 平面BCD，
，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在四面体ABCD中， 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
即 ，又 ， 平面 ，则有 平面 ，而 平面 ，于是得 ，因P为AC的中点，即 ，而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，从而得 ，
所以直线BP与AD所成的角为 .故选：D
4．（2022·河南省）如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接 ，CD，则 ，
所以 即为异面直线 与 所成角（或补角）．
由题意可得 ，
， ，
所以 ．
故选：B．5．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把展开图还原成正方体如图所示，
由于 且相等，故异面直线 与 所成的角就是 和 所成的角，
故 (或其补角)为所求，
再由 是等边三角形，可得 .
故选：C.题组二 线面角
1．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，
，M是 的中点，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接 ， ．
因为 ，M是 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
在矩形 中，M是 的中点， ， ，所以 ，
所以 ，而 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ．
(2)由（1）知， 平面 ，所以 ，
在直角 中， ，所以 ，
因为 ，所以直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角，
而平面 平面 ，平面 平面 ，又 ，
所以 平面 ，从而平面 平面 ，且平面 平面 ，
过B点作直线 于H，则 平面 ，
所以直线 与平面 所成的角即为 ，在 个， ， ，所以 ， ，
因此直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））如图，菱形ABCD中 ，把△BDC沿BD折
起，使得点C至P处.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若 与平面ABD所成角的余弦值为 ， ，求三棱锥P—ABD的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)1
【解析】(1)如图所示，取AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD为菱形，现把△BDC沿BD折起，使得点C至P处，，∴ ，
∵AC 平面PAC，PO 平面PAC， ,
∴BD⊥平面PAC，又BD 平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．
(2)作 于H点，
∵ ，∴△PAC为直角三角形，
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面 ，
所以PH⊥平面ABCD，所以 ，
∵PA与平面ABD所成角的余弦值为 ，即 ，
∴△PAC为等腰直角三角形，∴H与O重合，
∵ ，菱形ABCD中 ，
∴ ，
.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期末）四棱锥 ，底面ABCD是平行四边形，
，且平面SCD 平面ABCD，点E在棱SC上，直线 平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角 的大小为 ，且 .求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连AC交BD于F，连EF．∵ABCD是平行四边形，∴ ∵直线 平面BDE，
面PAC，面 面 ，∴ ，由 是 中点，∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足 ，不妨设 ∴ ， ∵平面 平面
ABCD，平面 平面 ∴ 平面ABCD，又 平面ABCD，故 ，∵
∴ ∵ ∴ ，∴ ，又 ，
平面 ，∴ 平面 ∴ 是二面角 的平面角∴ ，又 ，
∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴
，∵ ∴ ，∴ 平面ABCD∴ 为直线EB与平面ABCD所成的角 ，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，在三棱锥 中，三角形 是边长为2的正三角形，
， 为 中点．
(1)求证： ；
(2)若二面角 等于 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ， 因为正三角形 ， 为 中点，所以 ，
因为 分别为 中点，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以
平面 ，因为 平面 ，所以 ．（2）因为 ， ，所以 为二面角 的平面角， ，
过 作 的垂线交 于 ，连接 ，因为 平面 ， 平面
，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，所以 为直线 与平
面 所成角，因为三角形 是边长为2的正三角形， ，所以 ，所
以 .
5．（2022·河北保定）如图，已知正方体 .
(1)证明： 平面 ；
A B C D
(2)若 ，求直线 与平面 1 1 1 1所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
A B C D
【解析】（1）连接 .在正方体 中， 平面 1 1 1 1，所以 ，在正方A B C D
形 1 1 1 1中， ，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所
以 ，同理可证得 ，因为 ，所以 平面 ；
（2）过点E作 于点F，连接 ，在正方体 中，因为平面 平面 ，
A B C D
平面 平面 ，所以 平面 ，又因为平面 平面 1 1 1 1，所以
A B C D
为直线 与平面 1 1 1 1所成的角，设正方体的棱长为4，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，在 中，
，由余弦定理得 ，即 ，在
中， ，故直线 与平面A B C D 所成角的正切值为 .
1 1 1 1
6．（2022·浙江）如图，在三棱锥ABCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E
为AC的中点，H为BD的中点.(1)求证：AD⊥BC；
(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
【解析】（1）证明: ， 为 中点，所以 ，又面 面 ，且面 面
，所以 面 ，则 ，又 , , ,所以 面 ，
所以 .
（2）
在CH延长线上取点F，使FH＝HC，且 为 中点，则四边形BCDF为平行四边形，又EH∥AF，EH
面BDE，AF 面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即为AF与面BCD所成的角，又DF＝⊂
BC＝AD，∴⊄∠AFD＝45°，即AF与面BCD所成的角为45°
7．（2022·浙江）如图在四棱锥 中，底面 是边长 的正方形，侧面 底面 ，
且 ，设 ， 分别为 ， 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）连接 ，因为四边形 为正方形，且 为 的中点，所以 为 的中点，又因为
为 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）因为四边形 为正方形，则 ，因为平面 平面 ，平面 平面
， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，又
，所以 ，即 .又 ， 平面 ，所以
平面 ，所以 即为 与平面 所成的角，设 ，则 ， ，在
中，所以 ，因为 ，所以 ，即 与平面所成的角为 .
8．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心）如图，三棱柱 的底面 为菱形，
， 为 的中点，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：以 、 、 为基底，得
， ,，所以
；同理可证 ， 和 是平面 内两相交直线，所以 平面 .
（2）由已知四面体 是正四面体，如图， 是 的中心， 是 的中点， ， 是正
四面体的高，从而 与底面上的直线 垂直， 是 与平面 所成的角，则
，所以 ， ．
题组三 二面角
1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上
的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C-PB-A的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连 ，如图：
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 平面 ，所以 ，
所以 是二面角C-PB-A的平面角，
因为 ， ， ，所以 ，所以 ， ，
，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
在直角三角形 中， ，在直角三角形 中, .
所以二面角C-PB-A的正切值为 .
2（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱 中，E，F分别是棱 ， 上的点，平
面 平面 ，M是AB的中点．
(1)证明： 平面BEF；
(2)若 ，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：在等边 中， 为 的中点，所以 ，
在正三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过 在平面 内作 ，垂足为 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ．
(2)解：由题设 平面 ，平面 平面 ，
，
四边形 是平行四边形，又 且 ，所以 ，
延长 ， ，相交于点 ，连接 ，则 、 分别为 、 的中点，
则平面 与平面 所成的角就是二面角 ，
可知 ， ，所以 平面 ，
是二面角 的平面角，
又 ， ，
所以 ，即平面 与平面 所成的角为 ；
3．（2022·河北邯郸）已知四棱锥 的底面 为矩形， ， ， 平面 ，
是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为45°，求二面角 的正切值.
【答案】(1)详见解析(2)【解析】（1）由条件可知 ， ，满足 ，所以 ，又因为
平面 ， 平面 ，所以 ，且 ，所以 平面 ；
（2）因为 是 与平面 所成的角，所以 ， ，因为 ，
， ，所以 平面 ，取 的中点 ， ，垂足为点 ，连结 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 ， ，所以 平面 ，所以
，即 是二面角 的平面角， , ， ，
所以 ，所以二面角 的正切值为 .
4．（2022·湖南）如图，在三棱锥 中，
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ， . ，又
，故 平面 ，又 平面 ， .
（2） ，又 又 ，故
又 平面 取 的中点 ，连接 ，由 ，得 因
是 在平面 内的射影 是二面角 的平面角，在 中，
. ，故 即二面角 的
正弦值为
.
5．（2022·湖南） 在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ．求二面角 的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取 中点 并连接 ， 是 的中点 ， 是 的中点
， ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）连接 ， ， ， 是 的中点， ，同理可
得 ， ，因为 二面角 的平面角为 ，又
平面 ， 平面 ， ， 直三棱柱
平面 ，又 平面 ， ，又 ， 平面 平面
，易得 ，在 中可得 ，所以二面角
的正切值为
6．（2022·黑龙江·哈九中高一期末）如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝
2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使______，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上
选择下述其中一个条件，然后解答此题．
① ；②AC为四面体ABDC外接球的直径；③平面ABC⊥平面BCD．(1)判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)垂直，理由见解析；(2) .
【解析】（1）若选①： ，在 中， ， ， ， ，可得
，所以 ，又由 ，且 , 平面 ，所以 平面
，又因为 平面 ，所以 ，又由 ，且 , 平面 ，所
以 平面 ，又因为 ， 分别为 ， 中点，可得 ，所以 平面 ．若选②：
为四面体 外接球的直径，则 ，可得 ，又由 ，且 ,
平面 ，所以 平面 ，因为 ， 分别为 ， 中点，可得 ，所以
平面 ．若选③：平面 平面 ，平面 平面 ，因为 ，且
平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，又由 ，且
, 平面 ，所以 平面 ，因为 ， 分别为 ， 中点，可得
，所以 平面 ．
（2）若选①：∵MN⊥平面ABD，AN， 平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且 ，，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点， ，∴ ，∴
，∴ ；若选②：
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴ ，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴ ，在 中，BC
＝2，CD＝1，∴ ，又∵AB＝2，∴ ，即AB⊥BD，∵MN⊥平面ABD，AN，
平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且 ， ，∴∠ANB为二面角的平面角，
∵AB⊥BD，N为BD中点， ，∴ ，∴
，∴ ；若选③：平
面ABC⊥平面BCD，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴ ，∵CD⊥平面ABD， 平面ABD，
∴CD⊥AD，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴ ，∵MN⊥平面ABD，AN， 平面ABD，
∴MN⊥AN，MN⊥BN，且 ， ，∴∠ANB为二面角的平面角，∵AB⊥BD，N为BD中点， ，∴ ，∴ ，
.
7．（2022·内蒙古）如图1， 是等边三角形， 是直角三角形，BD⊥BC， ，将
沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2.
(1)证明：BC⊥平面ABD；
(2)求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥 ，取 的中点 ，连接 ，因为
是等边三角形，所以 ，因为平面 平面 ，平面 平面BCD＝BD，
平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，因为 ， ，所以 平面 ；
（2）解：由（1）知 平面 .因为 平面 ，所以 ，又 ，所以平面 与
平面 所成的角为 ，因为 是等边三角形，所以 ，所以平面 与平面
所成角的正切值 .
